Introducao a Algebra Abstrata

iterações necessárias para a obtenção do máximo divisor de dois inteiros 
positivos dados.
Para isto consideremos o conjunto B2 = {z ∈ ℤ|z = 2n, para algum inteiro n ≥ 0}, o conjunto 
das potências de dois e a função de ℤ em B2, indicada por ⌊ ⌋2 e chamada função menor potência 
de dois, definida por ⌊z ⌋2= y , tal que y ≥ z e se m ∈ B2 e m ≥ z então m ≥ y.
Por exemplo, ⌊5 ⌋2=8 , ⌊−4 ⌋2=1, ⌊60 ⌋2=64 .
Consideremos também a função de B2 em ℤ, indicada por lg2 e chamada função logarítmica 
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Introdução à Álgebra Abstrata – Jaime Evaristo/Eduardo Perdigão
na base dois restrita às potências de dois, definida por lg2 x = y se x = 2y. Por exemplo, lg2 1 = 0, 
pois 1 = 20, lg2 32 = 5, pois 25 = 32.
Proposição 9.9
A função acima definida é crescente no sentido de que se x, y ∈ B2 e x > y, então lg2 x > lg2 y.
Demonstração
Sejam lg2 x = m e lg2 y = n. Então 2m = x e 2n = y e, portanto 2m > 2n. Daí, pelo exercício 3.16, 
m > n.
Proposição 10.9
Sejam a e b dois inteiros positivos, com a ≥ b, e n o número de iterações do algoritmo de 
Euclides no cálculo de mdc(a, b). Então n < 2 . (1 + lg2 ⌊b ⌋2 ).
Demonstração
Do algoritmo de Euclides temos
a = b . q1 + r2, 0 ≤ r2 < b
b = r2 . q2 + r3, 0 ≤ r3 ≤ r2
r2 = r3 . q3 + r4, 0 ≤ r4 < r3
. . . . . 
rn-1 = rn . qn + rn+1, rn > 0 e rn+1 = 0.
Pondo r1 = b, pela proposição 4.5, temos que, para todo i = 1, 2, ..., n-1, ri+2 < 
ri
2
.
Assim, levando em conta o fato de que rn ≥ 1, 1 ≤ rn < 
r n−2
2

rn−4
2
 . . . 
r
n−⌈ n−1
2
⌉
2
⌈ n−1
2
⌉
≤ b
2
⌈ n−1
2
⌉
 
e, portanto 2
⌈
n−1
2
⌉
b .
Como, por definição b ≤ ⌊b ⌋2 , temos que 2
⌈
n−1
2
⌉
≤⌊b ⌋2 e então, pela proposição anterior,
lg2 2
⌈
n−1
2
⌉
≤ lg2 ⌊b ⌋2 . Daí, ⌈
n−1
2
⌉ ≤ lg2 ⌊b ⌋b e, como ⌈
n−1
2
⌉≥n−1
2
−1
2 , temos 
n−1
2
−1
2
≤ 
≤ lg2 ⌊b ⌋2 donde segue, n ≤ 2 . (1 + lg2 ⌊b ⌋2 ).
Por exemplo, para se calcular mdc(325.678, 125.786) temos b = 125.786, ⌊125 .786 ⌋2=
= 131.072 e lg2 ⌊125 .786 ⌋2= 17 e n < 36.
Cabe alertar que as funções maior potência de dois e logarítmica restrita às potências de dois 
não fazem parte da literatura matemática. Provavelmente, o leitor conhece a função logarítmica 
definida nos reais e deve estar estranhando a introdução destas funções. A nossa intenção foi manter 
a filosofia de só utilizar conceitos estudados previamente (e o conjunto dos reais ainda não o foi) e 
dar uma ideia de como pode ser desenvolvida uma pesquisa (com certeza, ingênua) em matemática, 
quando novas definições são formuladas em função do que se pretende provar.
9.7 Exercícios
9.1. Sejam a, b, c e d números inteiros, com b ≠ 0 e d ≠ 0. Mostre que se 
a
b
= c
d , então
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a) 
ab
b
= cd
d .
b) 
ac
bd
= c
d .
c) 
a−b
b
= c−d
d .
d) 
ab
a−b
= cd
c−d , se a ≠ b e c ≠ d.
e) 
a
c
=b
d , se c ≠ 0.
9.2. Seja z um inteiro positivo. Mostre que se a equação x2 - z = 0 não tem solução em ℤ, 
então ela não tem solução em ℚ.
9.3. Mostre que a relação de ordem definida em ℚ é compatível com a soma. Isto é, prove que 
se 
a
b
, a '
b'
, c
d
Î ℚ e ab
≤a '
b ' , então 
a
b
 c
d
≤a '
b '
 c
d .
9.4. Sejam a, b ∈ ℚ, com b ≠ 0. Mostre que existe um inteiro n tal que n . b ≥ a.
9.5. Sejam a, b ∈ ℚ. Mostre que a > b > 0 se e somente se b-1 > a-1 > 0.
9.6. Prove que todo domínio de integridade finito é um corpo.
9.7. Mostre que quaisquer que sejam os racionais r1 e r2, com r2 ≥ r1, existe um racional r tal 
que r1 ≤ r ≤ r2.
9.8. Mostre que o conjunto limitado inferiormente S = {x ∈ ℚ| 0 < x < 1} não tem elemento 
mínimo, o que mostra que ℚ não é um domínio bem ordenado.
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Introdução à Álgebra Abstrata – Jaime Evaristo/Eduardo Perdigão
10. Os números reais
10.1 Introdução
Desde a Grécia antiga, já se sabia que os racionais não eram suficientes para representar todas 
as medidas da natureza. Do teorema de Pitágoras concluímos que a hipotenusa do triângulo 
retângulo isósceles com catetos iguais a unidade, tem medida a tal que a2 = 2. Ora, é fácil mostrar 
(como foi mostrado no capítulo anterior) que tal número a não é racional. Argumentos igualmente 
simples permitem mostrar que múltiplos de uma tal medida também não são números racionais. Em 
outras palavras, não há uma bijeção entre o conjunto ℚ e os pontos da reta. Fez-se, portanto, 
necessária a extensão do conceito de número de tal forma a preencher tais lacunas. Esta extensão 
deveria, naturalmente, manter as propriedades algébricas satisfeitas pelo corpo ℚ.
Uma forma para construir uma tal extensão é usar um ingrediente que em Matemática mais 
avançada chamamos de topológico. A base do processo é caracterizar os “buracos” existentes por 
sequências de racionais que, num certo sentido, se acumulam em volta de cada um.
10.2 Sequência de números racionais
O conjunto S(ℚ) das sequência de racionais pode ser facilmente munido da estrutura de anel 
com as operações (an) + (bn) = (an + bn) e (an) . (bn) = (an . bn) e em S(ℚ) alguns subconjuntos se 
destacam, quer pela natureza dos seus elementos, quer pelas propriedades algébricas dentro do anel. 
Os dois exemplos a seguir ilustram alguns desses casos.
Exemplo 1. Considere (an), onde an=
1
n , n ∈ ℕ. Para cada ε ∈ ℚ, com ε > 0, existe n0 ∈ ℕ 
tal que n0
1
ε , já que ℚ é arquimediano (proposição 7.9). Assim, se n > n0 , (1/n) < ∈. Como 
0 < (1/n), podemos concluir que para n > n0, 0 < (1/n) < ε. Isso pode ser interpretado da seguinte 
maneira: a sequência (1/n) fica tão pequena quanto for exigido, ou que (1/n) se aproxima de zero 
quando n fica suficientemente grande.
Exemplo 2. Uma sequência bem conhecida na Matemática do ensino médio é a das somas 
parciais Sn de uma progressão geométrica (P.G.). Quando uma tal P.G. possui razão 0 < q < 1, lá dá-
se um significado ao que se chama soma infinita, que pode ser representada por S∞ e mostra-se que 
S∞ = a1/(1 – q). Esta fórmula decorre da observação de que na fórmula de Sn, uma das parcelas se 
comporta de forma semelhante à da sequência do exemplo 1.
Daremos agora a definição que formaliza a ideia contida nos dois exemplos acima. Uma 
sequência (an) ∈ S(ℚ) é dita convergente para um elemento a ∈ ℚ se, para cada ε ∈ ℚ, com ε > 0, 
existir n0 ∈ ℕ tal que se n ≥ no, então |an – a| < ε. Este elemento a é chamado limite da sequência e 
escreve-se lim an = a.
Assim, no exemplo 1 a sequência (1/n) converge para zero, enquanto que no exemplo 2, a 
sequência (Sn) converge para S∞, ou seja, lim (1/n) = 0 e lim Sn = S∞.
Proposição 1.10
Se limite de (an) existe, ele é único
Demonstração 
Sejam lim an = a1 e lim an = a2. Então, para ε = |a1 – a2|/2, existem no e n'o tais que se n ≥ no,
|an – a1| < ε e se n ≥ n'o, |an – a2| < ε. Tomando n1 = max {no, n'o} teremos que se n ≥ n1, |a1 – a2| =
= |a1 – a2 + an – an| ≤ |a1 – an| + |an – a2 | < 2 . ε = |a1 – a2|, o que é uma contradição.
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Exemplo 3. A sequência (an), onde an = (-1)n, não é convergente. Com efeito, suponhamos que 
(an) seja convergente e seja lim an = a. Se a ≠ 1, tome ε = |a – 1|/2 e observe que para qualquer no, 
sempre existirão infinitos índices n > no tais que an = 1 e portanto |an – a| = |1 – a| > |a – 1|/2. Se
a ≠ -1, tome ε = |a – (-1)|/2 e repita a observação. Assim, a deverá ser 1 e –1, mas, devido à 
unicidade do limite, isto não é possível. 
A seguir, enunciamos algumas propriedades das sequências convergentes, facilmente 
verificáveis. Se lim an e lim bn existem, então
(a) lim (an + bn) = lim (an) + lim (bn).
(b) lim (k . an ) = k . lim (an), k ∈ ℚ.
(c) lim (an . bn) = lim (an) . lim (bn)
Um outro resultado bastante simples, mas que desempenha um importante papel na 
construção que faremos é dado na seguinte proposição. 
Proposição 2.10
Se (an) é uma sequência constante, isto é an = a, então lim an = a. 
Demonstração
Para ε ∈ ℚ, com ε >0, faça n0 = 1. Então, para todo no ≥ 1, |an – a| = |a – a| = 0 <