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mef_cb-propagacao-de-erros

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fffffh2 3r@ pi3fffffh3
d eLLLLLL
MMMMMM∆h + ∂∂rfffffffpi3fffffh2 3r@ pi3fffffh3
d eLLLLLL
MMMMMM∆r
∆V = pir ddh
fffffffh2b c@ pi3fffff
d e d
dh
fffffffh3b c
LLLLLL
MMMMMM∆h + pih2 ddrfffffffr` a@ ddrfffffffpi3fffffh3
d eLLLLLL
MMMMMM∆r
∆V = 2pihr@3pih
2
3
ffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆h + pih2@0
LLL MMM∆r
∆V = 2pihr@pih2
LLL MMM∆h + pih2LLL MMM∆r ou ∆V = pih 2r@h` aLLL MMM∆h + pih2LLL MMM∆r
 
 
Obs: Isso foi a demonstração, mas é claro que você pode pular esses passos e derivar diretamente a função, 
faremos isso nos próximos exercícios. 
 
Agora substituímos pelos valores fornecidos onde: h
fff
F ∆h = 155,3 F 0,7` amm e rffF ∆r = 389,0 F 1,9` amm 
 
∆V= pi155,3 2B389,0 @155,3` aLLL MMM0,7 + pi155,3 2LLL MMM1,9
 
 
Colocando tudo isso na calculadora, obtemos: 356 627,591 3mm3 
Agora passamos este valor para notação científica na mesma potência em que ficou a notação do volume, isto é, 
10 7 mm3 . Devemos fazer isso para saber onde devemos arredondar o valor do desvio. 
 
356 627,591 3mm3 = 0,035 662 759 13B10 7 mm3 
 
Agora para arredondarmos olhamos o número de casas após a vírgula do volume, e aplicamos igualmente no 
desvio, veja: V= 2,555B10 7 mm3 , vemos que têm três casas após a vírgula, portando o desvio também deve 
ter este mesmo número de casas após a vírgula, então arredondando ∆V= 0,03 5fff662 759 13B10 7 mm3 
temos: ∆V= 0,036B10 7 mm3 , agora podemos expressar a medida do volume da calota junto com seu erro 
propagado: 
 
 
V. = VF ∆V= 2,555B10 7 mm3F 0,036B10 7 mm3 = 2,555 F 0,036` aB10 7 mm3 
 
2 – Mediu-se com um paquímetro a altura (h), o diâmetro maior (D) e o diâmetro menor (d) de um anel, 
sendo os valores: 
 
x. = xF ∆x` a 
h. = 11,85 F 0,05` amm 
D. = 50,25 F 0,05` amm 
d. = 43,65 F 0,05` amm 
 
Áreacírcunferência = pir 2 
 
A partir da fórmula da área da circunferência determine: 
a) as fórmulas da área da seção reta (circunferência maior) e do volume do anel. 
b) calcule a área da seção reta e o volume do anel, respeitando as regras de operações com algarismos 
significativos. 
c) obtenha a equação do erro indeterminado para as duas fórmulas. 
d) calcule os erros propagados para as duas fórmulas. 
e) escreva os resultados das medidas indiretas em formato adequado, isto é: 
 
Área = A´ = AF ∆A e Volume = V´ = VF ∆V. 
GUIDG.COM 5 
 
Resolução: 
a) Primeiramente vamos esclarecer o que é a área da seção reta com a imagem, e depois escrevemos a nova 
fórmula com base na fórmula fornecida pelo exercício. 
 
 
Como o diâmetro é igual a duas vezes o raio, 
re-escrevemos a fórmula assim: 
Áreacírcunferência = pir 2QA = pi D2
ffffff g2
=
piD2
4
fffffffffffff
 
Portanto a área da seção reta: A = piD
2
4
fffffffffffff
 
 
Agora a partir da fórmula da área da seção reta, podemos obter a fórmula do volume do anel, uma vez que o 
volume da circunferência é calculado multiplicando a área da circunferência pela sua altura, o único problema é 
que o anel não é maciço (possui o furo interno), então para isso calcula-se os dois volumes e subtrai-se o volume 
maior do menor. Mas por enquanto o exercício pede apenas a fórmula. 
Vanel =
pihD2
4
fffffffffffffffff
@
pihd2
4
fffffffffffffffff g
=
pih D2@d2
b c
4
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
b) Agora que já temos as fórmulas basta substituir e calcular: 
A = piD
2
4
fffffffffffff
=
pi50,252
4
fffffffffffffffffffffffffffff
= 1 98 3fff,179 45 = 1,983B10 3 mm2 
Veja que o resultado é expresso em notação científica e com a quantidade adequada de algarismos significativos 
(isto é quatro as) uma vez que nossas medidas possuem essa quantidade de as (lembre-se que isto é regra), 
outra observação é a unidade de medida, fique atento! Neste caso a área é expressa em milímetros quadrados 
(mm2 ). 
 
Vanel =
pih D2@d2
b c
4
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
pi11,85 50,252@43,652
b c
4
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
= 5 76 7fff,900 495 = 5,768B10 3 mm3 
Da mesma forma calculamos o volume, que é expresso em milímetros cúbicos (mm3 ). 
 
c) Para obter a equação do erro indeterminado, basta derivar as funções (isto é as fórmulas) parcialmente em 
relação a suas respectivas variáveis. 
A = piD
2
4
fffffffffffff
Q ∆A = ∂A∂D
fffffffffLLLLL
MMMMM∆D = ∂∂DfffffffffpiD
2
4
ffffffffffffff gLLLLLLL
MMMMMMM∆D =
2piD
4
fffffffffffffffLLLLL
MMMMM∆D = piD2ffffffffff
LLLLL
MMMMM∆D 
No final da expressão acima, temos a equação do erro indeterminado da área, que nos levará ao erro propagado 
da medida indireta, isto é o ∆A. Como foi dito no exercício anterior pulamos alguns passos, mas para as próximas 
resoluções resumiremos ainda mais, no entanto o procedimento continua o mesmo, só que de forma mais rápida. 
V=
pih D2@d2
b c
4
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Q ∆V= ∂V∂h
fffffffffLLLLL
MMMMM∆h + ∂V∂Dfffffffff
LLLLL
MMMMM∆D + ∂V∂dfffffffff
LLLLL
MMMMM∆d =
pi D2@d2
b c
4
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffLLLLLLL
MMMMMMM∆h +
pihD
2
ffffffffffffffLLLLL
MMMMM∆D + @pihd2ffffffffffffffffffff
LLLLL
MMMMM∆d 
Como foi dito, obtemos a equação do erro indeterminado para o volume, isto é o ∆V. 
 
d) Para achar os erros propagados (isto é o ∆A e o ∆V), basta substituirmos os valores nas fórmulas e 
calcularmos. 
Os valores são: ∆A = 0,00 3fff946625771B10 3 = 0,004 B10 3 mm2 ; 
 ∆V= 0,11 1ff729 564 6B10 3 = 0,112 B10 3 mm3 
 
OBS: os valores devem ser expressos dessa forma: (1) passe o desvio (∆x) para a mesma notação exponencial da medida 
indireta obtida anteriormente (ou seja, se no calculo da área obteve-se uma medida que ao passar para notação cientifica o 
expoente de 10 foi três 10 3
b c
, devemos colocar o erro propagado nesta mesma potência, mas sem alterar o seu valor 
verdadeiro, fazemos isso para determinar o número de algarismos significativos do erro propagado). (2) arredondamos o valor 
de acordo com o número de algarismos significativos após a vírgula da medida indireta obtida anteriormente (isto é, se o 
número de as após a vírgula no cálculo da área foi três, então devemos ter três as após a vírgula no erro propagado, e 
atenção isto é regra!). (3) tome cuidado com as unidades de medida. 
e) Área = A´ = AF ∆A = 1,983 F 0,004` aB10 3 mm2 , 
Volume = V´ = VF ∆V= 5,768 F 0,112` aB10 3 mm3 . 
GUIDG.COM 6 
 
3 - Outras funções: Seguindo as regras da tabela geral de derivadas obtenha a equação do erro 
indeterminado ∆z` a para essas funções (que chamaremos de z). Considerando x= xF ∆x e y= yF ∆y 
, onde x e y são constantes. Note que omitimos a aspa (’) em x e y para não confundir com a derivada que 
também se representa por (’), mas normalmente em MEF usamos (’) para representar uma medida acompanhada 
de seu desvio w. = wF ∆w` a. 
Obs.: ∆z= ∂z∂x
ffffffffLLLLL
MMMMM∆x ou ∆z= ∂z∂xffffffff
LLLLL
MMMMM∆x+ ∂z∂yfffffff
LLLLLL
MMMMMM∆y 
a) adição: z = x + y 
∆z= dxdx
fffffffLLLLL
MMMMM∆x+ dydyfffffff
LLLLLL
MMMMMM∆y= ∆x+ ∆y 
 
b) subtração: z = x – y 
∆z= dxdx
fffffffLLLLL
MMMMM∆x+ d @y
` a
dy
fffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆y= ∆x+ ∆y 
 
c) multiplicação: z = x.y 
∆z= y dxdx
fffffffLLLLL
MMMMM∆x+ x dydyfffffff
LLLLLL
MMMMMM∆y= y∆x+ x∆y 
 
d) divisão: z = x/y 
x
y
ffff
= xA y@ 1[∆z= y@ 1 dxdx
fffffffLLLLL
MMMMM∆x+ xdy
@ 1
dy
ffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆y= ∆xyfffffffff+ x @1` ay@ 2
LLL MMM∆x= ∆xyfffffffff+ x∆yy2fffffffffff 
 
e) potenciação: z = xn (n é um número qualquer) 
∆z= dx
n
dx
ffffffffffLLLLL
MMMMM∆x= nxn@ 1 dxdxfffffff
LLLLL
MMMMM∆x=nxn@ 1 ∆x 
 
f) logaritmo decimal: z = log x (neste caso “e” é o logaritmando, onde e = 2,718...) 
∆z= ddx
ffffffflogxb c
LLLLL
MMMMM∆x= logexffffffffffffffdxdxfffffff
LLLLL
MMMMM∆x= logexffffffffffffff∆x 
 
g) logaritmo natural: z = ln x (neste caso “e” é a base do logaritmo, onde e = 2,718...) 
∆z= ddx
ffffffflnx
LLLLL
MMMMM∆x= 1xffffdxdxfffffff
LLLLL
MMMMM∆x= ∆xxfffffffff 
 
h) exponenciação: z = ex 
∆z= ddx
fffffffex
LLLLL
MMMMM∆x= ex dxdxfffffff
LLLLL
MMMMM∆x=ex ∆x 
 
i) trigonométrica: