GEX101_aula_10 log

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GEX101 – MATEMÁTICA FUNDAMENTAL 
Turmas 02A, 07A, 09A, 10A 
Aulas 19 e 20 
22 e 25 de março de 2013 
Professora Isabel Amorim 
Capítulo 4 do livro: 
Connallly, Hughes-Hallett, Gleason, et al.; Funções para modelar variações: uma preparação para o 
cálculo. 3ª Edição, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2009. 
 
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS (continuação) 
 
1. O logaritmo de base a: 
Seja x um número positivo, 
Se então 
 . 
em que a é a base 
x é o logaritmando 
y é o logaritmo. 
 
Exemplo 7: 
Encontre os logaritmos para as funções a seguir: 
a) b) 
 c) 
 e) 
Solução: 
a) 
 
b) 
c) 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
O log comum (base 10) e o log de base a tem propriedades algébricas similares e gráficos similares 
também. 
 
Vimos que as funções logarítmica e exponencial são inversas uma da outra, portanto: 
 
 
 
 Correspondência entre as propriedades das funções inversas e 
 . 
Propriedades de Propriedades de 
 =0 
 
Imagem (0,+∞) Imagem (-∞, +∞) 
Domínio: (-∞, +∞) Domínio (0,+∞) 
 
 
 
 
Se então 
 . 
2 
 
1.2 Mudança de base: 
Geralmente, as calculadoras científicas fornecem teclas para calcular logaritmos comum (base 10) e 
naturais (base e), mas não tem tecla para calcular logaritmos em outras bases. 
Por isso é importante saber expressar um logaritmo com uma base qualquer em termos de logaritmos com 
uma outra base qualquer. Assim: 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: 
Use uma calculadora para encontrar o valor de , expressando este logaritmo em termos de 
logaritmos comuns. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
. 
Se quiser escrever um logaritmo qualquer como um logaritmo natural podemos usar a propriedade 4. 
Então temos: 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
Use uma calculadora para encontrar o valor de , expressando este logaritmo em termos de 
logaritmos naturais. 
Solução: 
 
 
 
 . 
Observação: cuidado com as notações: 
 
 
e 
 
Veja que: 
 
 
 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
Exemplo 3: 
Se 
 
 
 calcule . 
Solução: Usando temos que 
 
 
 
 
3 
 
2. O logaritmo natural e 
O logaritmo na base e tem sua própria notação: , (leia-se logaritmo natural de x). Assim: 
   loge x ln x
 
Definição: 
 
 
 
 
 
 
Por definição, a inversa do logaritmo natural de x é uma função exponencial. 
Isto é, se 
   g x log x
 e 
  xf x e
 então 
           ln x xf g x g f x x e ln e x    
 
Significa que, 
 a ln b
 se, e somente se, 
ae b
. 
Se 
   g x log x
 e
  xf x e
 então 
         log logx xf g x x g f x e x e    
 
Significa que, 
 loga b
 se, e somente se, 
ae b
. 
 
2.1 O gráfico, o domínio e a Imagem do logaritmo natural (base e) 
Além das propriedades algébricas similares, o logaritmo natural (ln) e o log comum têm gráficos 
similares também. 
 
A função logaritmo natural (base e) está definida para todos os números positivos. Portanto: 
 Domínio de são todos os números positivos. 
Imagem de são todos os números reais. 
 
 
 Tabela 1: Valores de lnx (arredondados) 
 
Figura 1: Gráfico do logaritmo natural lnx 
Observe na figura 1 que: 
o gráfico de cruza o eixo x em Visto que =0. 
o gráfico sobre para em . Visto que =1. 
 
Veja que a função tem uma assíntota vertical em , mas está função nunca toca o eixo dos y. 
A função natural (base e) cresce muito rapidamente para e muito lentamente para . 
 
Correspondência entre as propriedades das funções inversas e 
X lnx 
0 Indefinido 
1 0 
2 0,7 
E 1 
3 1,1 
4 1,4 
... ... 
Se x é um número positivo, 
 é o expoente da potência de e que resulta em . 
Em outras palavras: 
Se então . 
y é denominado logaritmo natural de x. 
4 
 
Propriedades de Propriedades de 
 =0 
 
Imagem (0,+∞) Imagem (-∞, +∞) 
Domínio: (-∞, +∞) Domínio (0,+∞) 
 
 
2.2 Gráfico das funções inversas: e . 
Quando duas funções são inversas uma da outra significa que seus gráficos estão correlacionados. 
 
 Tabela 2: Valores da função lnx Tabela 3: Valores da função exponencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2: Funções inversas: e . 
 
Observe que o gráfico de é igual ao gráfico de com os eixos x e y permutados. 
 
2.3 Propriedades do logaritmo natural de x (base e): 
Por definição: 
 significa que 
Em particular: 
 
e 
 
 
As funções e são inversas uma da outra, então uma “desfaz” a outra. Assim: 
 para todo x, 
 para todo 
 
Propriedades: 
Para b1 e b2 positivos e para qualquer valor de x temos: 
 
(1) 
     1 2 1 2ln b b ln b ln b 
 
Prova: Sejam  
 
1
2
1 1 1
2 2 2
a
a
ln b a b e
ln b a b e
   

  
 
 
1 2 1 2a a a ae e e


 
   1 2 1 2a a a aln e ln e e 
 
 
     1 2 1 2 1 2a aa a ln e a a ln e e    
 
x lnx x 
 -2 -2 
1/e -1 -1 1/e 
1 0 0 1 
2 0,7 0,7 2 
e 1 1 e 
3 1,1 1,1 3 
4 1,4 1,4 4 
5 
 
 
     1 2 1 2ln b ln b ln b b  
 
(2) 
   xln b xln b
 
 Prova: 
 xln b a
 
   
a a
x a x x ab e b e ln b ln e xln b a
x
 
         
 
 
 
   xxln b ln b 
 
 
(3) 
   1 1 2
2
b
ln ln b ln b
b
 
  
 
 
 Prova: 
          1 11 1 2 1 2 1 2
2
b
ln ln b b ln b ln b ln b ln b
b
  
     
 
 
 
(4) 
 
 
 
log
b
ln x
x
ln b

 
 Prova: 
 logb x y        y yx b ln x ln b ln x yln b     
 
  
 
 
 
 
log
b
ln x ln x
y x
ln b ln b
   
 
 
Resumindo as propriedades do logaritmo natural de x: 
(1) 
     1 2 1 2ln b b ln b ln b 
 
(2) 
   xln b xln b
 
(3) 
   1 1 2
2
b
ln ln b ln b
b
 
  
 
 
 (4) 
 
 
 
log
b
ln x
x
ln b

 
Exemplo 
Determinar x tal que: 
 (a) 
 
10log 2x 
 (b) 
 1 5ln x 
 (c) 
5 7x 
 
Solução: 
a) Reescrevendo na forma exponencial temos: 
 
b) Reescrevendo na forma exponencial temos: 
 
c) Tomando o logaritmo natural de ambos os lados e usando as propriedades temos: 
 
 
 
 
6 
 
Exemplo (página 71) 
Um satélite que requer 7 watts de potência para operar em plena capacidade está equipado com uma fonte 
de potência de radioisótopos cuja saída em watts é dada pela equação: 
12575
t
P e


 
em que t é o tempo em dias que a fonte é usada. 
Por quanto tempo o satélite pode operar na capacidade máxima? 
Solução: 
7 ???P t  
 
 
 
 
 
 . 
Logo o satélite pode operar na capacidade máxima por cerca de 296 dias.