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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO CICLO BA´SICO DO CTC MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A T1 4 setembro de 2012 (versa˜o I) In´ıcio: 17:00 Te´rmino: 18:50 Nome: Matr´ıcula: Turma: Questa˜o Valor Grau Revisa˜o 1a 0, 4 2a 0, 4 3a 0, 3 4a 0, 3 5a 0, 9 6a 0, 7 Total 3, 0 • E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora; na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta. E´ proibido escrever nas mesas. • Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos: – O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro. – As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas na˜o sera˜o consideradas. – Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o consideradas. 1. Seja A = 2050 (510)5 · 449 − 5 √ 45 + 3 3 √ 5 + 2√ 5 Marque a alternativa correta. Ao lado, justifique sua escolha. (a) 0 < A < 1 (b) −1 < A < 0 (c) −2 < A < −1 (d) A ≥ 1 (e) Nenhuma das respostas anteriores. 2. Determine os valores de x para os quais x− 4 x− 2 ≤ 0 . 3. Deˆ uma infinidade de nu´meros racionais entre 1 2 e 1. 4. Sejam f e g func¸o˜es tais que gra´fico de f e´ uma para´bola e g e´ dada por g(x) = 5. Sabendo que g(x) = f(x) se, e somente se, x = −1 ou x = 5, determine a primeira coordenada do ve´rtice da para´bola que e´ o gra´fico de f . 5. Represente, no plano cartesiano, cada conjunto: (a) {(x, y) ∈ R2 | y = x2 − 3 e 7 ≤ y ≤ 10 } ; (b) {(x, y) ∈ R2 | x = 1 e x (x− 3) ≤ y ≤ −x (x− 3) } ; (c) {(x, y) ∈ R2 | y ≥ x e (x− 3)2 + (y − 3)2 ≤ 4 } . 6. Considere as func¸o˜es f : [a, b]→ R e g : [a, b]→ R, dadas pelos gra´ficos abaixo. a c d e g j k b m f i Determine os valores de x para os quais (a) f(x) · g(x) ≤ 0 ; (b) f(x)− g(x) ≥ 0 . DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO CICLO BA´SICO DO CTC MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A T1 4 setembro de 2012 (versa˜o II) In´ıcio: 17:00 Te´rmino: 18:50 Nome: Matr´ıcula: Turma: Questa˜o Valor Grau Revisa˜o 1a 0, 4 2a 0, 4 3a 0, 3 4a 0, 3 5a 0, 9 6a 0, 7 Total 3, 0 • E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora; na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta. E´ proibido escrever nas mesas. • Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos: – O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro. – As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas na˜o sera˜o consideradas. – Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o consideradas. 1. Seja A = 2050 (510)5 · 449 − 5 √ 45 + 3 3 √ 5 + 2√ 5 Marque a alternativa correta. Ao lado, justifique sua escolha. (a) A ≥ 1 (b) 0 < A < 1 (c) −2 < A < −1 (d) −1 < A < 0 (e) Nenhuma das respostas anteriores. 2. Determine os valores de x para os quais x− 4 x− 2 ≥ 0 . 3. Deˆ uma infinidade de nu´meros racionais entre 3 2 e 2. 4. Sejam f e g func¸o˜es tais que gra´fico de f e´ uma para´bola e g e´ dada por g(x) = 5. Sabendo que g(x) = f(x) se, e somente se, x = −1 ou x = 7, determine a primeira coordenada do ve´rtice da para´bola que e´ o gra´fico de f . 5. Represente, no plano cartesiano, cada conjunto: (a) {(x, y) ∈ R2 | x = 1 e x (x− 3) ≤ y ≤ −x (x− 3) } ; (b) {(x, y) ∈ R2 | y = x2 − 3 e 7 ≤ y ≤ 10 } ; (c) {(x, y) ∈ R2 | y ≤ x e (x− 3)2 + (y − 3)2 ≤ 4 } . 6. Considere as func¸o˜es f : [a, b]→ R e g : [a, b]→ R, dadas pelos gra´ficos abaixo. a c d e g j k b m f i Determine os valores de x para os quais (a) f(x) · g(x) ≥ 0 ; (b) f(x)− g(x) ≤ 0 .
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