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SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
1. RAZÃO ENTRE SEGMENTOS:
⇒ Sejam os segmentos e :
 A B C D
 2 cm 5 cm
♣ A razão entre e será:
 ou seja 
♣ A razão entre e será:
 ou seja 
Definição:
⇒ A razão entre dois segmentos é o quociente entre as suas medidas, tomadas na mesma unidade.
2. SEGMENTOS PROPORCIONAIS:
⇒ Sejam os segmentos da figura:
 A B E F
 2 cm 4 cm
 C D G H
 3 cm 6 cm
Temos:
 
☞ Como ; então é uma Proporção.
☎ Lembrando: Numa proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
☎ Assim: e formam uma proporção, pois .
3. FEIXE DE RETAS PARALELAS:
⇒ Chama-se feixe de paralelas o conjunto de três ou mais retas paralelas de um plano. Se uma reta intercepta essas paralelas, ela se chama Transversal.
 r
 a
 b
 c
 
 d
 transversal
♣ PROPRIEDADE:
	Quando um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, então determinará segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.
4. TEOREMA DE TALES:
⇒ Quando três retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, os segmentos determinados numa das retas transversais são proporcionais aos segmentos determinados na outra.
 
☞ Veja a prova dessa afirmação: 
 s t
 A D a
 u v 
 
 u v b
 B u v E
 U v
 C u v F
 C
⇒ Medindo os segmentos e na unidade u, temos:
 
⇒ Pelos pontos de divisão dos segmentos e , traçamos paralelas às retas do feixe. Essas paralelas dividem e 	 em segmentos congruentes.
 
⇒ Comparando e , temos:
 
 
Exemplo 1: Calcular x, sabendo que .
 a
 3 x
 b
 12 16
 c
Solução:
 
Exemplo 2: Calcular x, sabendo que .
 a b c
 24
 18
 9
 x
Solução:
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. (FRANCO) Calcule x, sabendo que :
a) 
 a
 x 3
 b
 8 4
 c
Resp: 6
b) a
 2x – 2 4
 b
 3x + 1 7
 c
Resp: 9
c) 
 a
 x 9
 b
 x + 2 12
 c
Resp: 6
d) a b c
 x
 6 
 1, 8
 
 4
Resp: 2, 7
 
e) a b c
 
10 6
 
 x 
 4
Resp: 15
f) 
 a
 x 5
 b
 7, 5 6
 c
Resp: 4
g)
 a
 3
 b
 6 x 6
 c
Resp: 4
h) a
 
 8 b
 
 10
 x c
 6
Resp: 4, 8
2. (FRANCO) Calcule x, y e z sabendo que :
a) a b c d
 x
 6 y
 25 5 16
Resp: 
b) a
 9 x 3
 b
 z 4 2
 c
 12 y 4 
 d
Resp: z = 6, y = 8, x = 6 
5. TEOREMA DE TALES NOS TRIÂNGULOS:
⇒ Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo determina, sobre os outros dois lados, segmentos proporcionais.
☞ Veja:
 A
 D E
 B C
 
☞ 	Podemos concluir que:
 
Exemplo 1: Calcule x, sabendo que :
 (
Solução
:
) A
2 X
 
 E F
 4 6
 B C
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. (FRANCO) Calcule x, sabendo que :
a) A
 8 10
 20
 E F
 x
 B C
Resp: 15
b) A
 x 5
 E F
 x + 4 7
 B C
Resp: 10
c) B
 
 6
 E
 4
 A 10 F x C
Resp: 10
d) 4x + 1 F 3 
 A C
 3x
 E
 2
 B
Resp: 2
e) B C
 x 2
 E F
 
 A
Resp: 3
T E S T E S
1. (FRANCO) Na figura . O valor de x é:
 A
 x 5
 
 D E
 x + 4 7 
 B C
a) 9 b) 10 c) 12 d) 
2. (FRANCO) Nos triângulos abaixo, . Assim podemos afirmar que:
 A
 3P Q
 2 4
 B C
a) b) 
c) d) 
3. (FRANCO) Na figura, os segmentos e são paralelos, , e . A medida do segmento é, em metros: 
 A
a) 6
b) 10
c) 12
d) 18 D E
 B C
4. (FRANCO) Na figura , Quanto vale x ?
a) 10 2
b) 5
c) x
d) 
 
 3 5
5. (FRANCO) Na figura, as retas a, b e c são paralelas. Então, o valor de x é:
 a b c
a) 8
b) 10 8 6
c) 11
d) 12 4 
 x
6. (FRANCO) Na figura, sendo , o valor de x é : a
 b c
a) 1 3 
b) 2 
c) 3 4x+1
d) 2 3 x
1. (FRANCO) As retas r, s e t são paralelas e os comprimentos dos segmentos de transversais são indicados na figura. Então x é igual a:
a) 5
b) 6 r
c) x 
d) s
 15 3
 t
8. (FRANCO) Na figura abaixo, o valor de x é:
a) 4
b) 5 r // s
c) 6
d) 7 x - 3 x
 
 s // t
 x + 2 x - 2
 t
9. (FRANCO) Na figura, o valor de x é:
a) 14 15 
b) 16 10
c) 18
d) 20
 
 X 12
10. (FRANCO) Nesta figura, os segmentos de retas AO, BP, CQ e DR são paralelos. A medida do segmento PQ, em metros, é:
 
a) 24 R
b) 35 120m
c) 40 Q
d) 50 
 P
 O
 
 A D 
 B C
11. (FRANCO) As retas r, s e t da figura são paralelas. Assim, os valores de x e y são, respectivamente, iguais a:
 
a) 2 e 4
b) 1 e 16 r
c) 4 e 8 6
d) 6 e 12 24
 x y
 s
 4 8
 t
G A B A R I T O
	
1. B
	
4. D
	
7. B
	
10. C
	
2. C
	
5. D
	
8. C
	
11. A
	
3. C
	
6. B
	
9. C
	
image7.wmf
AB
image8.wmf
cm
cm
AB
CD
2
5
=
image9.wmf
2
5
=
AB
CD
image10.wmf
6
4
:
6
4
3
2
:
3
2
=
Þ
þ
ý
ü
=
=
=
Þ
þ
ý
ü
=
=
GH
EF
razão
cm
GH
cm
EF
CD
AB
razão
cm
CD
cm
AB
image11.wmf
6
4
3
2
=
image12.wmf
GH
EF
CD
AB
=
image13.wmf
3
2
image14.wmf
6
4
image15.wmf
12
4
3
6
2
=
´
=
´
image16.wmf
c
b
a
//
//
image17.wmf
BC
image18.wmf
(
)
1
3
2
:
3
2
=
Þ
þ
ý
ü
=
=
BC
AB
Então
u
BC
u
AB
image19.wmf
DE
image20.wmf
EF
image21.wmf
(
)
2
3
2
:
3
2
=
Þ
þ
ý
ü
=
=
EF
DE
Então
v
EF
v
DE
image22.wmf
(
)
1
image23.wmf
(
)
2
image24.wmf
EF
DE
BC
AB
=
image25.wmf
4
12
48
48
12
16
3
.
12
16
12
3
=
Þ
=
=
Þ
´
=
Þ
=
x
x
x
x
x
image26.wmf
12
18
216
216
18
24
9
.
18
24
18
9
=
Þ
=
=
Þ
´
=
Þ
=
x
x
x
x
x
image27.wmf
d
c
b
a
//
//
//
image28.wmf
3
40
,
30
=
=
y
x
image29.wmf
EC
AE
DB
AD
=
image30.wmf
EF
BC
//
image31.wmf
3
12
4
6
2
.
4
6
4
2
=
Þ
=
´
=
Þ
=
x
x
x
x
image32.wmf
4
1
2
image33.wmf
2
1
1
image34.wmf
BC
DE
//
image35.wmf
12
15
image36.wmf
BC
PQ
//
image37.wmf
5
=
AQ
image38.wmf
6
=
AC
image39.wmf
10
=
AC
image40.wmf
10
=
AQ
image41.wmf
BC
image42.wmf
DE
image43.wmf
m
AB
15
=
image44.wmf
m
AD
5
=
image45.wmf
m
AE
6
=
image46.wmf
CE
image2.wmf
AB
image47.wmf
b
a
=
image48.wmf
10
3
image49.wmf
3
10
image50.wmf
a
image51.wmf
b
image52.wmf
2
3
image53.wmf
5
8
image54.wmf
5
1
1
image55.wmf
2
15
image3.wmf
CD
image4.wmf
cm
cm
CD
AB
5
2
=
image5.wmf
5
2
=
CD
AB
image6.wmf
CD