Função contínua - limites

Prévia do material em texto

Profa. Lena Bizelli 
CONTINUIDADE 
 
A idéia de uma Função Contínua 
Grosso modo, uma função contínua é uma função que não apresenta interrupção – ou seja, uma função que 
tem um gráfico que pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel. Assim, verificar que uma função não é 
contínua, a partir do seu gráfico, é muito simples. 
Observe os gráficos na figura a seguir. 
 
 
 
As primeiras duas funções -    ef x r x - não apresentam interrupções e, portanto, elas são contínuas 
para todo valor de x. Mais ainda, elas são contínuas em todo o seu domínio (ou seja, para todo x no conjunto 
dos números reais). 
As demais funções -        , , , eg x h x p x q x - apresentam interrupções em x = 2 e, portanto, elas não são 
contínuas em x = 2. Ou, dito de outro modo, elas são contínuas em qualquer intervalo que não contém 
x = 2. 
 
Profa. Lena Bizelli 
 
Continuidade, Limites e função definida em um ponto 
Bom, agora que você já sabe como distinguir uma função contínua de uma não contínua, a partir do seu 
gráfico, vamos ampliar um pouco mais nosso conhecimento acerca da continuidade de uma função. Para 
isso, vamos abordar de três casos diferentes: 
Caso 1 - Considere os gráficos descritos a seguir. 
Observe os gráficos das funções g(x) e q(x). Você já aprendeu que elas são descontínuas, pois existe uma 
interrupção em x = 2 (uma “bolinha aberta” em g(x) e uma assíntota vertical em q(x)). Nesse caso, dizemos 
que as funções g(x) e q(x) são descontínuas em x = 2 (e apenas em x = 2). 
Ainda, as funções g(x) e q(x) não estão definidas em x = 2 e, portanto, x = 2 não faz parte do Domínio. Nesse 
caso, escrevemos 
   2 2g e q  não existe f (2) e não existe q(2) 
Observe ainda, que 
   
2 2
lim 7 e lim
x x
g x q x    
RESUMINDO: 
 
 
2
lim 7
2
x
g x
g
 
 e 
 
 
2
lim
2
x
q x
q

 
 
Ótimo! Prosseguindo... 
Caso 2 - Considere agora os gráficos descritos a seguir. 
 
 
Profa. Lena Bizelli 
 
Como anteriormente, as funções h(x) e p(x) são descontínuas, pois existe uma interrupção em x = 2 (as 
funções “dão um salto” em x = 2). Nesse caso, também dizemos que as funções h(x) e p(x) são descontínuas 
em x = 2 (e apenas em x = 2). 
Diferente do caso anterior, as funções estão definidas em x = 2 e, portanto, x = 2 faz parte do Domínio. 
Escrevemos então: 
   2 5 2 2h e p    existe h (2) e existe p(2) 
Observe ainda, que 
   
2 2
lim 7 e lim
x x
h x p x    
RESUMINDO: 
 
     
2
2
lim 7
lim 2
2 5
x
x
h x
h x h
h


      
 e 
 
 
2
lim
2 2
x
p x
p
 
 
 
Finalmente.... 
Caso 3 - Considere agora os gráficos descritos a seguir. 
 
 
As funções f (x) e r (x) são contínuas em x = 2 (e em qualquer outro valor de x), pois as funções não 
apresentam interrupção em x = 2 (e nem em nenhum outro valor de x). Nesse caso, dizemos que as funções 
f(x) e r(x) são contínuas para todo valor de x. 
Vejamos então o que acontece com o valor das funções em x = 2 e com o limite das funções quando x se 
aproxima de 2, para podermos comparar como os casos anteriores onde as funções eram descontínuas em 
x = 2. 
Você pode observar que 
   2 7 e 2 2f r    existe f (2) e existe r (2) 
Ainda, observando atentamente os gráficos de f (x) e r (x), podemos concluir que: 
   
2 2
lim 7 e lim 2
x x
f x r x     
 
 
Profa. Lena Bizelli 
 
Um olhar mais atento para as expressões em destaque nos mostra que, nesse caso, 
       
2 2
lim 2 e lim 2
x x
f x f r x r     
o que não acontecia nos casos anteriores, onde as funções eram descontínuas. 
 
CONCLUINDO: 
Dizemos então que uma função  y f x é contínua em um ponto x = a se a seguinte condição está 
satisfeita: 
   lim
x a
f x f a  
 
 
 
 
 
1. Toda função polinomial  y f x é contínua para todo x. 
 2. Toda função racional – função definida como o quociente de duas funções polinomiais – é 
contínua em todo o seu domínio. Ou, dito de outra maneira, uma função racional é contínua em 
qualquer intervalo no qual seu denominador não se anula. 
 
3. Quando uma função  y f x está definida em um intervalo [a,b], dizemos que: 
 (a)  y f x é contínua em x = a, se    lim
x a
f x f a
 . 
 (b)  y f x é contínua em x = b, se    lim
x a
f x f b
 . 
 (c)  y f x é contínua em  0 ,x a b , se    
0
0limx x
f x f x  . 
 
 
 
Profa. Lena Bizelli 
 
Exercícios 
1) Analise a continuidade das funções dadas. 
 (a)    322 em 1,1f x x x   (b)    1 em 1,1
2
f x
x
  
 (c)    1 em 3,4
2 5
f x
x
  (d)    
1 em 0,π
cos
f x
x
 
 (e)    em 1,1
1
x
x
ef x
e
  
2) Um circuito elétrico muda, instantaneamente, de uma bateria de 6 volts para uma de 12 volts após ser 
ligado. Faça o gráfico da voltagem da bateria em função do tempo. Defina uma função que represente o 
gráfico. Analise a continuidade da função. Justifique sua resposta. 
3) Encontre o valor de k para que a função dada seja contínua para todo valor de x em [0,2]. 
  32, 0 22 , 2
kx x
f x
x x
    
 
4) Determine o valor de k, se possível, de modo que a função dada seja contínua para todo valor de x. 
Justifique sua resposta. 
 
3 25 10 , 2
2
, 2
x x xf x x
k x
     
 
5) Considere a afirmação: 
“Se uma função não é contínua em um ponto, então ela não está definida nesse ponto.” 
Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta. 
6) Defina o valor da função dada em x = 5 de modo que ela se torne contínua em x = 5. 
  4 3
5
xf x
x
   
 
 
Algumas Respostas 
2)   6, 0 7
12, 7
t
V t
t
    a função é descontínua em t = 7 pois  7limt V t 
3) k = 9 
4) k = 20 
6)   15
6
f 