Relatório prática - Cálculo Vetorial-EDO_Raimundo Castro Bevilaqua_03340903

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<p>RELATÓRIO DE PRÁTICA</p><p>Raimundo Castro Bevilaqua, 03340903</p><p>RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS</p><p>ENSINO DIGITAL</p><p>RELATÓRIO</p><p>DATA:</p><p>______/______/______</p><p>RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS: Cálculo Vetorial - EDO</p><p>DADOS DO(A) ALUNO(A):</p><p>NOME: Raimundo Castro Bevilaqua MATRÍCULA: 03340903</p><p>CURSO: Engenharia Civil POLO: Uninorte</p><p>PROFESSOR(A): Karla Adriana Barbosa Mendes da Silva Lobo</p><p>Caro(a) Aluno(a),</p><p>Chegamos à Avaliação denominada Atividade Contextualizada!</p><p>Espero que você aproveite cada informação disponibilizada em nosso material didático e não esqueça de que o seu</p><p>Tutor também pode auxiliar você na avaliação, caso tenha dúvida, procure-o no Fale com o Tutor.</p><p>Lembre-se: sua opinião precisa ser baseada e justificada, respaldando cientificamente seu conhecimento e</p><p>pensamento, pois não serão aceitos trechos e/ou postagens sem as devidas referências.</p><p>Então vamos lá?</p><p>No momento da modelagem do fluxo de um fluido, uma abordagem é expressar a velocidade de cada partícula</p><p>individual no fluido. Para fazer isso, podemos descrever esse movimento utilizando uma função que usa como</p><p>entrada as coordenadas de uma partícula, e cuja saída seja o vetor velocidade dessa partícula. Uma das formas de</p><p>representar esse processo seria:</p><p>�⃑� , como vetor velocidade</p><p>X e y, coordenadas de posição</p><p>f , uma função com duas variáveis.</p><p>lLogo teríamos</p><p>�⃑� = f (x, y)</p><p>Conside o fluxo de um fluído qualquer, que percorre uma tubulação localizada em um relevo que apresenta cotas</p><p>diferenciadas ao longo de sua superfície. E que a função �⃑� = x² y³ - 4y, representa a velocidade de cada partícula</p><p>em movimento. Considerando essas informações, calcule o que se pede, em cada situação proposta:</p><p>Calcular o vetor Gradiente desse fluxo, no ponto (2, -1)</p><p>Calcular a derivada direcional em relação ao vetor t = 2i +5j, no ponto (2, -1)</p><p>Calcular a máxima velocidade no ponto (2, -1)</p><p>RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS</p><p>ENSINO DIGITAL</p><p>RELATÓRIO</p><p>DATA:</p><p>______/______/______</p><p>1. Objetivo:</p><p>Aprender otimizar o fluxo em uma tubulação com relevo variável, para isso</p><p>vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradientes e derivadas direcionais,</p><p>para entender e maximizar a eficiência do fluxo no ponto crítico da tubulação.</p><p>2. Materiais necessários:</p><p>2.1. Ferramentas de Software e Computacionais</p><p>• Software de Cálculo e Simulação:</p><p>o Matemática ou MATLAB: Para calcular gradientes, derivadas direcionais</p><p>e realizar simulações numéricas.</p><p>o Python com bibliotecas como NumPy, SciPy e Matplotlib: Para cálculos</p><p>e visualizações.</p><p>o ANSYS ou COMSOL Multiphysics: Para simulações de dinâmica de</p><p>fluidos (se necessário para validação).</p><p>• Software de Modelagem 3D:</p><p>o AutoCAD ou SolidWorks: Para desenhar e modelar a tubulação e o</p><p>relevo.</p><p>3. Etapas para desenvolvimento do cálculo.</p><p>Vamos resolver os problemas de cálculo relacionados ao fluxo de fluido descrito</p><p>pela função de velocidade �⃑� = x2y3 − 4y. Para resolver os problemas, precisamos</p><p>de um entendimento claro de como calcular o gradiente, a derivada direcional e a</p><p>máxima velocidade.</p><p>3.1. Calculando o vetor Gradiente do fluxo no ponto (2, −1).</p><p>A função dada é �⃑� (x, y) = x2y3 − 4y. Primeiro, calculamos o gradiente desta</p><p>função. O gradiente é um vetor que aponta na direção do máximo aumento da função</p><p>e é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.</p><p>RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS</p><p>ENSINO DIGITAL</p><p>RELATÓRIO</p><p>DATA:</p><p>______/______/______</p><p>Para calcular o gradiente ∇�⃑� , encontramos as derivadas parciais de �⃑� (x, y)</p><p>• Derivada parcial em relação a x:</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑥</p><p>=</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑥</p><p>(x2y2 – 4y) = 2xy3</p><p>• Derivada parcial em relação a y:</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑦</p><p>=</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑦</p><p>(x2y2 – 4y) = x2 . 3y2 – 4 = 3x2y2 - 4</p><p>Então, o gradiente ∇�⃑� é:</p><p>∇�⃑� = (</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑥</p><p>,</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑦</p><p>) = (2xy3, 3x2y2 – 4)</p><p>Substituindo x = 2 e y = -1 fica:</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 2 . 2 . (-1)3 = 2 . 2 . ( -1 ) = - 4</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 3 . 22 . (-1)2 – 4 = 3 . 4 . 1 – 4 = 12 – 4 = 8</p><p>Portanto, o vetor gradiente no ponto (2, -1) é:</p><p>∇�⃑� (2, -1) = (-4, 8)</p><p>3.2. Calculando a derivada direcional em relação ao vetor t = 2i + 5j no</p><p>ponto (2,−1).</p><p>A derivada direcional de 𝑉 ⃑⃑ ⃑na direção do vetor t é dada pelo produto escalar do</p><p>gradiente com o vetor unitário na direção de t. Primeiro, normalizamos t.</p><p>O vetor t = (2, 5). Sua magnitude é:</p><p>|| t || = √22 + 52 = √4 + 25 = √29</p><p>O vetor unitário na direção de t é:</p><p>t =</p><p>(2,5)</p><p>√29</p><p>A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:</p><p>Derivada direcional = ∇�⃑� . t = (-4, 8 ) .</p><p>(2,5)</p><p>√29</p><p>, logo temos.</p><p>(−4 . 2 + 8 . 5 )</p><p>√29</p><p>=</p><p>−8 + 40</p><p>√29</p><p>=</p><p>32</p><p>√29</p><p>RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS</p><p>ENSINO DIGITAL</p><p>RELATÓRIO</p><p>DATA:</p><p>______/______/______</p><p>3.3. Calculando a máxima velocidade no ponto (2,−1).</p><p>A máxima velocidade é dada pela magnitude do gradiente, que representa a</p><p>taxa máxima de variação da função 𝑉 ⃑⃑ ⃑.</p><p>A magnitude do gradiente ∇𝑉 ⃑⃑ ⃑ no ponto (2,−1) é:</p><p>|| ∇𝑉 ⃑⃑ ⃑ || = √(</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑥</p><p>)</p><p>2</p><p>+ (</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑦</p><p>)</p><p>2</p><p>+ = √(−4)2 + 82</p><p>= √16 + 64 = √80 = 4√5</p><p>Portanto, a máxima velocidade no ponto (2,−1) é 4√5.</p><p>4. Resultados e Discussão</p><p>4.1. Resultados</p><p>4.1.1 Cálculo do Gradiente</p><p>• Resultado: O gradiente da função de velocidade 𝑉 ⃑⃑ ⃑(x, y) = x2y3 – 4 no ponto</p><p>(2, −1) é (−4, 8).</p><p>• Interpretação: O vetor gradiente indica a direção e a taxa máxima de variação</p><p>da velocidade do fluido. No ponto (2,−1), o gradiente aponta na direção onde a</p><p>velocidade aumenta mais rapidamente e tem uma magnitude que indica a</p><p>intensidade dessa variação.</p><p>4.1.2 Derivada Direcional</p><p>• Resultado: A derivada direcional de 𝑉 ⃑⃑ ⃑ na direção do vetor t = 2i + 5j no ponto</p><p>(2, -1) é</p><p>32</p><p>√29</p><p>.</p><p>A derivada direcional fornece a taxa de variação da velocidade do fluido na</p><p>direção especificada. A alta taxa de variação na direção t sugere que é uma</p><p>direção de fluxo muito eficiente para maximizar a velocidade.</p><p>4.1.3 Máxima Velocidade</p><p>• A máxima velocidade no ponto (2,−1 )é dada pela magnitude do gradiente, que</p><p>é 4√5 , Este valor representa a máxima taxa de aumento da velocidade do</p><p>fluido no ponto crítico. É um indicativo da eficiência do fluxo no ponto mais</p><p>intenso.</p><p>RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS</p><p>ENSINO DIGITAL</p><p>RELATÓRIO</p><p>DATA:</p><p>______/______/______</p><p>4.2. Discussão</p><p>4.2.1 Análise do Gradiente</p><p>O gradiente (−4, 8) mostra que a velocidade do fluido aumenta mais rapidamente na</p><p>direção positiva de y e diminui na direção de x. Esta informação é crucial para entender</p><p>onde o fluido flui mais eficientemente. A direção do gradiente pode ser usada para</p><p>ajustar a orientação da tubulação e melhorar o desempenho.</p><p>4.2.2 Análise da Derivada Direcional</p><p>A derivada direcional de</p><p>32</p><p>√29</p><p>indica que, na direção de t, a velocidade do fluido está</p><p>aumentando significativamente. Isso sugere que, para otimizar o fluxo, a tubulação</p><p>deve ser ajustada ou projetada para alinhar com essa direção sempre que possível.</p><p>Ajustar a orientação da tubulação para seguir a direção de maior derivada direcional</p><p>pode reduzir perdas e aumentar a eficiência do fluxo.</p><p>4.2.3 Análise da Máxima Velocidade</p><p>A máxima velocidade 4√5 no ponto(2, −1) fornece uma métrica sobre a eficiência</p><p>máxima do sistema de tubulação no ponto crítico. Se a tubulação não estiver projetada</p><p>para suportar ou otimizar esse valor de velocidade, pode haver perda de eficiência e</p><p>possíveis problemas operacionais. Comparar essa velocidade com as condições reais</p><p>de operação pode revelar se o design da tubulação é adequado ou se são necessários</p><p>ajustes.</p><p>5. Conclusão</p><p>A análise dos resultados mostra que a otimização do fluxo na tubulação pode</p><p>ser alcançada ajustando o design para alinhar com a direção de máxima</p><p>derivada</p><p>direcional e levando em conta a máxima velocidade calculada. A validação</p><p>experimental e ajustes contínuos serão essenciais para garantir a eficácia das</p><p>otimizações implementadas.</p><p>RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS</p><p>ENSINO DIGITAL</p><p>RELATÓRIO</p><p>DATA:</p><p>______/______/______</p><p>6. Referência bibliográficas</p><p>Livros de Cálculo e Matemática Aplicada</p><p>"Cálculo Multivariável" Autor: James Stewart, Editora: Cengage Learning, Ano: 2015</p><p>Livro de Mecânica dos Fluidos</p><p>"Fundamentals of Fluid Mechanics" Autor: Bruce R. Munson, Donald F. Young, e</p><p>Theodore H. Okiishi, Editora: Wiley, Ano: 2013</p><p>Livro de Engenharia de Tubulações e Sistemas de Fluido</p><p>"Pipe Flow: A Practical and Theoretical Guide"</p><p>Autor: David H. L. Shilling</p><p>Editora: Springer, Ano: 2020</p><p>Artigos e Recursos Adicionais</p><p>"Gradient-Based Optimization for Fluid Flow Problems"</p><p>Autores: G. H. Golub, C. F. Van Loan</p><p>Publicado em: Journal of Computational Physics Ano: 2014</p><p>Livro: Ebook_Cálculo Vetorial e Edo_SER (Versão Digital)</p><p>Apostila: 2023_cdi-ii_mat_apostila_ernesto_EDO</p>