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<p>Universidade Federal do Maranhão</p><p>Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Tecnologia</p><p>Funções de várias variáveis</p><p>Prof. Dra Ana Kelly de Oliveira - Campus: Balsas</p><p>Lista 1</p><p>1. Determine e esboce o domı́nio da função.</p><p>(a) f(x, y) =</p><p>√</p><p>x+ y</p><p>(b) f(x, y) =</p><p>√</p><p>xy</p><p>(c) f(x, y) = ln(9− x2 − 9y2)</p><p>(d) f(x, y) =</p><p>√</p><p>x2 − y2</p><p>(e) f(x, y) =</p><p>√</p><p>1− x2 −</p><p>√</p><p>1− y2</p><p>(f) f(x, y) =</p><p>√</p><p>y +</p><p>√</p><p>25− x2 − y2</p><p>(g) f(x, y) =</p><p>√</p><p>y − x2</p><p>1− x2</p><p>2. Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de ńıvel.</p><p>(a) f(x, y) = (y − 2x)2</p><p>(b) f(x, y) = x3 − y</p><p>(c) f(x, y) =</p><p>√</p><p>x+ y</p><p>(d) f(x, y) = ln(x2 + 4y2)</p><p>(e) f(x, y) = yex</p><p>3. Descreva as superf́ıcies de ńıvel da função.</p><p>(a) f(x, y, z) = x+ 3y + 5z</p><p>(b) f(x, y, z) = x2 + 3y2 + 5z2</p><p>(c) f(x, y, z) = y2 + z2</p><p>(d) f(x, y, z) = x2 − y2 − z2</p><p>4. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe</p><p>(a) lim</p><p>(x,y)→(1,2)</p><p>(5x3 − x2y2)</p><p>(b) lim</p><p>(x,y)→(1,−1)</p><p>e−xy cos(x+ y)</p><p>(c) lim</p><p>(x,y)→(2,1)</p><p>4− xy</p><p>x2 + 3y2</p><p>(d) lim</p><p>(x,y)→(1,0)</p><p>ln</p><p>(</p><p>1+y2</p><p>x2+xy</p><p>)</p><p>(e) lim</p><p>(x,y)→(0,0)</p><p>x4 −4 y4</p><p>x2 + 2y2</p><p>(f) lim</p><p>(x,y)→(0,0)</p><p>x2 + sin2 y</p><p>2x2 + y2</p><p>(g) lim</p><p>(x,y)→(0,0)</p><p>xy cos y</p><p>3x2 + y2</p><p>(h) lim</p><p>(x,y)→(1,0)</p><p>xy − y</p><p>(x− 1)2 + y2</p><p>(i) lim</p><p>(x,y)→(0,0)</p><p>xy√</p><p>x2 + y2</p><p>(j) lim</p><p>(x,y)→(0,0)</p><p>x4 − y4</p><p>x2 + y2</p><p>(k) lim</p><p>(x,y)→(0,0)</p><p>x2yey</p><p>x4 + 4y2</p><p>(l) lim</p><p>(x,y)→(1,0)</p><p>x2 sin2 y</p><p>x2 + 2y2</p><p>(m) lim</p><p>(x,y)→(0,0)</p><p>x2 + y2√</p><p>x2 + y2 + 1− 1</p><p>(n) lim</p><p>(x,y)→(0,0)</p><p>xy4</p><p>x2 + y8</p><p>1</p><p>(o) lim</p><p>(x,y,z)→(π,θ,1)</p><p>ey</p><p>2</p><p>tan(xz)</p><p>(p) lim</p><p>(x,y,z)→(0,0,0)</p><p>xy + yz</p><p>x2 + y2 + z2</p><p>(q) lim</p><p>(x,y,z)→(0,0,0)</p><p>xy + yz2 + xz2</p><p>x2 + y2 + z4</p><p>(r) lim</p><p>(x,y,z)→(0,0,0)</p><p>yz</p><p>x2 + 4y2 + 9z2</p><p>5. Determine o maior conjunto no qual a função é cont́ınua.</p><p>(a) F (x, y) =</p><p>xy</p><p>1 + ex−y</p><p>(b) F (x, y) =</p><p>1 + x2 + y2</p><p>1− x2 − y2</p><p>(c) G(x, y) = ln(x2 + y2 − 4)</p><p>(d) F (x, y) = cos</p><p>√</p><p>1 + x− y</p><p>(e) H(x, y) =</p><p>ex + ey</p><p>exy − 1</p><p>(f) f(x, y, z) = arcsin(x2 + y2 + z2)</p><p>(g) f(x, y, z) =</p><p>√</p><p>y − z ln z</p><p>(h) f(x, y) =</p><p></p><p>x2y3</p><p>2x2 + y2</p><p>, se (x, y) ̸= (0, 0)</p><p>1, se (x, y) = (0, 0)</p><p>(i) f(x, y) =</p><p></p><p>xy</p><p>x2 + xy + y2</p><p>, se (x, y) ̸= (0, 0)</p><p>0, se (x, y) = (0, 0)</p><p>6. Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.</p><p>(a) f(x, y) = y5 − 3xy</p><p>(b) f(x, y) = x4y3 + 8x2y</p><p>(c) f(x, t) = e−t cos πx</p><p>(d) f(x, t) =</p><p>√</p><p>x ln t</p><p>(e) z = (2x+ 3y)10</p><p>(f) z = tanxy</p><p>(g) f(x, y) =</p><p>x</p><p>y</p><p>(h) f(x, y) =</p><p>x</p><p>(x+ y)2</p><p>(i) g(u, v) = (u2v − v3)5</p><p>(j) f(x, t) = arctan(x</p><p>√</p><p>t)</p><p>(k) f(x, y, z) = xz − 5x2y3z4</p><p>(l) f(x, y, z) = x sin(y − z)</p><p>(m) w = ln(x+ 2y + 3z)</p><p>(n) w = zexyz</p><p>(o) h(x, y, z, t) = x2y cos(z/t)</p><p>(p) u =</p><p>√</p><p>x2</p><p>1 + x2</p><p>2 + · · ·+ x2</p><p>n</p><p>7. Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.</p><p>(a) f(x, y) = x3y5 + 2x4y</p><p>(b) f(x, y) = sin2(mx+ ny)</p><p>(c) w =</p><p>√</p><p>u2 + v2</p><p>(d) v =</p><p>xy</p><p>x− y</p><p>8. Determine as derivadas parciais indicadas.</p><p>(a) f(x, y) = ln(x+</p><p>√</p><p>x2 + y2); fx(3, 4)</p><p>(b) f(x, y) = arctan(y/x); fx(2, 3)</p><p>2</p><p>(c) f(x, y, z) =</p><p>y</p><p>x+ y + z</p><p>; fy(2, 1,−1)</p><p>(d) f(x, y, z) =</p><p>√</p><p>sin2 x+ sin2 y + sin2 z; fz(0, 0, π/4)</p><p>9. Determine uma equação do plano tangente à superf́ıcie no ponto especificado.</p><p>(a) z = 3y2 − 2x2 + x, (2,−1,−3)</p><p>(b) z = 3(x− 1)2 + 2(y + 3)2 + 7, (2,−2, 12)</p><p>(c) z =</p><p>√</p><p>xy, (1, 1, 1)</p><p>(d) z = xexy, (2, 0, 2)</p><p>(e) z = x sin(x+ y), (−1, 1, 0)</p><p>(f) z = ln(x− 2y), (3, 1, 0)</p><p>10. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização</p><p>L(x, y) da função naquele ponto.</p><p>(a) f(x, y) = 1 + x ln(xy − 5), (2, 3)</p><p>(b) f(x, y) = x3y4, (1, 1)</p><p>(c) f(x, y) =</p><p>x</p><p>x+ y</p><p>, (2, 1)</p><p>(d) f(x, y) =</p><p>√</p><p>x+ e4y, (3, 0)</p><p>(e) f(x, y) = e−xy cos y, (π, 0)</p><p>(f) f(x, y) = y + sin(x/y), (0, 3)</p><p>11. Determine a diferencial da função.</p><p>(a) z = e−2x cos(2πt)</p><p>(b) m = p5q3</p><p>(c) w = zy2 cosx</p><p>(d) u =</p><p>√</p><p>x2 + 3y2</p><p>(e) T =</p><p>v</p><p>1 + uvw</p><p>(f) L = xze−y2−z2</p><p>3</p>