EP1_Aulas_1_2_3-2023-2 (1)

Prévia do material em texto

EP1 - Aulas 1, 2 e 3 Cálculo I
EP1 - CÁLCULO I
Olá pessoal!!! Sejam muito bem vindos ao Cálculo I!!!
É com grande satisfação que preparamos esta primeira lista de exercı́cios para a disci-
plina de Cálculo I ! Esperamos que essa caminhada que realizaremos juntos seja alegre e
produtiva. Faremos o possı́vel para oferecer a vocês excelentes oportunidades de apren-
der coisas novas. A experiência mostra que alunos com um bom rendimento no Cálculo I
têm um ótimo desempenho nas disciplinas seguintes. É exatamente isso o que desejamos:
ajudá-los a construir uma sequência de sucessos!!!
Sucesso! E ao trabalho!
Nessa primeira semana vocês deverão estudar as aulas:
Aula 1:
Um curso para quem quer viver no limite!
Aula 2:
Limites de funções - algumas propriedades.
Aula 3:
Limites laterais e mais algumas propriedades dos limites de funções.
Na aula 1, a ideia principal é utilizar fatorações para levantar as indeterminações e calcu-
lar os limites finitos de funções racionais; na aula 2, é explorar mais o conceito de limite
de uma função e identificar graficamente limites finitos de funções; na aula 3, é entender
o significado dos limites laterais de funções e calcular os mesmos aplicando proprieda-
des elementares de limites. Assim, nessa primeira semana, as principais metas que vocês
deverão alcançar são:
� Utilizar fatorações e simplificações algébricas para calcular limites de funções racio-
nais;
� Obter uma boa percepcão geométrica da noção de limite de uma função, ou seja, saber
determinar o limite e de uma função em um dado ponto a partir do gráfico da mesma;
� Aprender as propriedades elementares de limites de funções para efetuar o cálculo dos
mesmos;
� Utilizar fatorações e simplificações algébricas para calcular limites laterais de funções
racionais;
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 1 Professor Mário Olivero (UFF)
EP1 - Aulas 1, 2 e 3 Cálculo I
� Desenvolver uma boa percepcão geométrica da noção de limite lateral de uma função,
ou seja, aprender a determinar o limite lateral de uma função em um dado ponto a partir
do gráfico da mesma;
� Estender as propriedades elementares de limites de funções para os limites laterais de
funções e aplicá-las para calcular os mesmos.
ATENÇÃO!!!
Para ajudá-los nos estudos dessa semana, postamos o arquivo Limites laterais em
Material complementar no tópico Semana 1 da nossa página de Cálculo I.
Iniciaremos este primeiro EP propondo alguns exercı́cios fundamentais de revisão do con-
ceito de função.
BONS ESTUDOS!!!
1. Para cada função definida abaixo, determine os valores indicados:
(a) Se f(x) = −5, determine f(−3), f(1) e f(12);
(b) Se g(x) = 4− x, determine g(−2), g(2) e g(5);
(c) Se h(x) = x2 − x+ 1, determine h(−1), h(0) e h(4);
(d) Se k(x) =
√
x2 + 2x+ 4, determine k(−4), k(0) e k(2);
(e) Se l(x) = (2x− 1)−3/2, determine l(1), l(5) e l(13);
(f) Se m(x) = x− |x− 2|, determine m(1), m(2) e m(3);
(g) Determine n(−8), n(−6), n(−5), n(0), n(7) e n(16), se
n(x) =

3, se x < −5
x+ 1, se −5 ≤ x ≤ 5√
x, se x > 5
.
2. Sejam A = {1, 2, 3} e B = {1, 3, 4, 5}. Considere a função f : A → B definida por
f(x) = 2x− 1. O gráfico de f é representado por:
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 2 Professor Mário Olivero (UFF)
EP1 - Aulas 1, 2 e 3 Cálculo I
3. Considere as imagens abaixo. Determine qual(is) imagem(ns) representa(m) o gráfico
de uma função. Neste(s) caso(s), indique o domı́nio e a imagem da função.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
4. Considere as curvas abaixo. Determine qual(is) curva(s) representa(m) o gráfico de
uma função. Neste(s) caso(s), indique o domı́nio e a imagem da função.
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
5. Esboce o gráfico e determine o domı́nio e a imagem da função f definida por:
(a) f(x) = −2 (b) f(x) = −x (c) f(x) = 3 + x
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 3 Professor Mário Olivero (UFF)
EP1 - Aulas 1, 2 e 3 Cálculo I
(d) f(x) = 1− x2 (e) f(x) = x2 + 2 (f) f(x) =
√
x+ 1
(g) f(x) = |5− x| (h) f(x) = |x− 1|
x− 1
(i) f(x) = |x2 − 4|
6. Esboce o gráfico da função f definida por:
(a) f(x) =
{
x2 − 1, se x ≤ 0
x, se x > 0 (b) f(x) =

−4, se x < −2
x− 1, se −2 ≤ x ≤ 0
x2 − 4, se x > 0
(c) f(x) =

|x+ 1|
x+ 1
, se x < −1
x2 − 4, se −1 ≤ x ≤ 2
|x| − 2, se x > 2
(d) f(x) =

|1 + x2| , se x ≤ 0
2, se 0 < x < 4
|x2 + x+ 1|
−x2 − x− 1
, se x ≥ 4
7. Esboce o gráfico de cada função abaixo e determine sua imagem:
(a) f(x) =
{
−2, se x ≤ 3
2, se x > 3 (b) f(x) =

−4, se x < −2
−1, se −2 ≤ x ≤ 2
3, se x > 2
(c) f(x) =
{
x+ 2, se x 6= −2
1, se x = −2 (d) f(x) =
{
6x+ 7, se x ≤ −2
4− x, se x > −2
(e) f(x) =
{
x2 − 4, se x 6= −3
−2, se x = −3 (f) f(x) =

x+ 3, se x < −1
−2x, se −1 ≤ x ≤ 1
−2, se x > 1
8. Determine o domı́nio da função f definida por:
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 1 (b) f(x) =
√
x2 + 3x− 4 (c) f(x) = 2x
x3 + x2 − 6x
(d) f(x) =
√
x− 1
4− x
(e) f(x) = 3
√
x2 + 1
x3 − x2 − 2x
(f) f(x) = 4
√
25− x2
(g) f(x) =
x+ 4√
x3 − x2 − 6x
(h) f(x) = 1−
√
x2 + 1 (i) f(x) =
x
x+ 2
(j) f(x) =
√
2x+ 6 (k) f(x) =
x+ 1√
9− x2
(l) f(x) =
x− 1
x2 − x− 6
9.Considerando o gráfico da função f dado a seguir, determine, se existirem, os intervalos
onde f é crescente, decrescente e constante:
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 4 Professor Mário Olivero (UFF)
EP1 - Aulas 1, 2 e 3 Cálculo I
10. Considerando o gráfico da função y = f(x) dado na sequência, determine:
(a) D(f) e Im(f);
(b) Os intervalos, se existirem, onde f é crescente e onde f é decrescente;
(c) As raı́zes, se existirem, de f , isto é, os valores de x ∈ D(f) para os quais f(x) = 0;
(d) Os intervalos, se existirem, onde f(x) > 0 e onde f(x) < 0.
11. Calcule os seguintes limites de funções:
(a) lim
x→1
4x− 1
x2
− 3
x
(b) lim
x→4
4x− 16
x2 − 16
(c) lim
x→−5
|x| − 5
x2 − 25
(d) lim
x→−3
2x2 − 18
−3x2 − 12x− 9
(e) lim
x→1
x3 + 4x2 − 5x
x2 + x− 2
(f) lim
x→1
3(1− x2)− 2(1− x3)
(1− x2)(1− x3)
(g) lim
x→5
x− 5
√
x−
√
5
(h) lim
x→−2
3−
√
7− x
x2 − 4x− 12
(i) lim
x→1
√
2x2 + 6x− 8
x3 + x2 − 2x
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 5 Professor Mário Olivero (UFF)
EP1 - Aulas 1, 2 e 3 Cálculo I
(j) lim
x→−1
3
√
x2 − 3x− 4
x3 − x2 − 2x
(k) lim
x→0
√√
x2 + 4 − 2
x2
(l) lim
x→3
4
√
x− 3
√
x−
√
3
(m) lim
x→−1
x3 + 1
x4 − x3 − 2x2
(n) lim
x→4
|6 + x− x2| − 6
16− x2
(o) lim
x→−1
4x2 − 8x− 12
x3 + 3x2 + 2x
(p) lim
x→1
x4 + 3x3 − 4x2
x4 − 1
(q) lim
x→−1
x2 − 4x− 5
x4 − x3 − 2x2
(r) lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
12. Sejam f, g e h, funções definidas nas vizinhanças de −1 tais que lim
x→−1
f(x) = −2,
lim
x→−1
g(x) = 1 e lim
x→−1
h(x) = 4. Utilizando as propriedades de limites de funções, deter-
mine:
(a) lim
x→−1
[f(x) g(x) + h(x)] (b) lim
x→−1
[g(x)− 3h(x)]
(c) lim
x→−1
[
h(x)− f(x)
2 g(x)
]
(d) lim
x→−1
√
g(x)− f(x)h(x)
13. Sejam f, g e h, funções definidas nas vizinhanças de 4 tais que lim
x→4
f(x) = −2, lim
x→4
g(x) =
−1 e lim
x→4
h(x) = 3. Utilizando as propriedades de limites de funções, determine:
(a) lim
x→4
[2f(x)− 4h(x)g(x)] (b) lim
x→4
[
f(x)h(x)− g(x)2 + 1
]
(c) lim
x→4
[
h(x) + 2g(x)− f(x)
g(x)− 4f(x)
]
(d) lim
x→4
√
f(x)2 − 2g(x)h(x)
14. Considere a função f : R− {4} → R definida por:
f(x) =

x+ 4
5−
√
x2 + 9
, se x 6= −4
−2, se x = −4
Calcule lim
x→2
f(x) e lim
x→−4
f(x).
15. Considere a função f(x) =
{
−4x+ 1, se x ≤ 1
−x2 + 6x− 8, se x > 1 . Esboce o gráfico de f para
determinar:
(a) lim
x→0
f(x) (b) lim
x→1
f(x) (c) lim
x→2
f(x) (d) lim
x→3
f(x)
16. Considere a função f : [0,+∞)→ R definida por:
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 6 Professor Mário Olivero (UFF)
EP1 - Aulas 1, 2 e 3 Cálculo I
f(x) =

√
x−
√
7
x− 7
, se x < 7
−1, se x = 7
x2 − 1
1 + x
, se x > 7
Calcule lim
x→4
f(x) e lim
x→9
f(x).
17. Seja f : R→ R a função cujo gráfico está esboçado na figura abaixo.
Determine:
(a) lim
x→0
f(x); (b) lim
x→2f(x); (c) lim
x→3
f(x); $
(d) lim
x→5
f(x); (e) lim
x→8
f(x); (f) lim
x→10
f(x);
18. Seja f : R → R a função cujo gráfico está esboçado na figura abaixo. Determine
lim
x→−2
f(x) e lim
x→2
f(x):
19. Considere a função f(x) =
{
x2 − 6x+ 8, se x > 1
2x+ 1, se x ≤ 1 .
(a) Esboce o gráfico de f ;
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 7 Professor Mário Olivero (UFF)
EP1 - Aulas 1, 2 e 3 Cálculo I
(b) Determine lim
x→1
f(x), lim
x→3
f(x), lim
x→4
f(x) e lim
x→−2
f(x).
20. Seja f : R→ R a função cujo gráfico está esboçado na figura abaixo.
Determine:
(a) lim
x→−2
f(x); (b) lim
x→2
f(x); (c) lim
x→1
f(x).
21. Seja f : R→ R a função cujo gráfico está esboçado na figura abaixo:
Determine:
(a) lim
x→−2
f(x) (b) lim
x→1
f(x) (c) lim
x→2
f(x) (d) lim
x→3
f(x)
22. Considerando o gráfico que segue da função f , determine:
(a) lim
x→−2+
f(x) e lim
x→−2−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→−2
f(x)?
(b) lim
x→−1+
f(x) e lim
x→−1−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→−1
f(x)?
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 8 Professor Mário Olivero (UFF)
EP1 - Aulas 1, 2 e 3 Cálculo I
(c) lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→0
f(x)?
(d) lim
x→1+
f(x) e lim
x→1−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→1
f(x)?
(e) lim
x→3+
f(x) e lim
x→3−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→3
f(x)?
(f) lim
x→5+
f(x) e lim
x→5−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→5
f(x)?
(g) lim
x→6+
f(x) e lim
x→6−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→6
f(x)?
23. Considere o gráfico da função f dado por:
Determine, se exisitirem:
(a) os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente;
(b) lim
x→−3+
f(x) e lim
x→−3−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→−3
f(x)?
(c) lim
x→−1+
f(x) e lim
x→−1−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→−1
f(x)?
(d) lim
x→2+
f(x) e lim
x→2−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→2
f(x)?
24. Considere o gráfico que segue da função f , determine, se existirem:
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 9 Professor Mário Olivero (UFF)
EP1 - Aulas 1, 2 e 3 Cálculo I
(a) lim
x→a+
f(x), lim
x→a−
f(x) e lim
x→a
f(x) (b) lim
x→b+
f(x), lim
x→b−
f(x) e lim
x→b
f(x);
(c) lim
x→0+
f(x), lim
x→0−
f(x) e lim
x→0
f(x); (d) lim
x→c+
f(x), lim
x→c−
f(x) e lim
x→c
f(x);
(e) lim
x→d+
f(x), lim
x→d−
f(x) e lim
x→d
f(x); (f) lim
x→e+
f(x), lim
x→e−
f(x) e lim
x→e
f(x);
25. Considere o gráfico da função ξ dado abaixo:
Determine, se existirem:
(a) o domı́nio D(ξ) e a imagem Im(ξ) de ξ; (b) lim
x→a+
ξ(x), lim
x→a−
ξ(x) e lim
x→a
ξ(x);
(c) lim
x→b+
ξ(x), lim
x→b−
ξ(x) e lim
x→b
ξ(x) (d) lim
x→c+
ξ(x), lim
x→c−
ξ(x) e lim
x→c
ξ(x);
(e) lim
x→d+
ξ(x), lim
x→d−
ξ(x) e lim
x→d
ξ(x); (f) lim
x→e+
ξ(x), lim
x→e−
ξ(x) e lim
x→e
ξ(x);
(g) lim
x→f+
ξ(x), lim
x→f−
ξ(x) e lim
x→f
ξ(x); (h) lim
x→g+
ξ(x), lim
x→g−
ξ(x) e lim
x→g
ξ(x);
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 10 Professor Mário Olivero (UFF)
EP1 - Aulas 1, 2 e 3 Cálculo I
(i) lim
x→h+
ξ(x), lim
x→h−
ξ(x) e lim
x→h
ξ(x); (j) lim
x→i+
ξ(x), lim
x→i−
ξ(x) e lim
x→i
ξ(x).
26. Considere o gráfico que segue da função f dado abaixo:
Determine, se existirem:
(a) lim
x→a+
f(x), lim
x→a−
f(x) e lim
x→a
f(x); (b) lim
x→0+
f(x), lim
x→0−
f(x) e lim
x→0
f(x);
(c) lim
x→b+
f(x), lim
x→b−
f(x) e lim
x→b
f(x); (d) lim
x→c+
f(x), lim
x→c−
f(x) e lim
x→c
f(x).
27. Considere a função f definida por:
f(x) =

|x+ 1|
x+ 1
, se x < −2
16− x4
x2 + 4
, se −2 ≤ x < 3
x− 5, se x ≥ 3
Faça um esboço do gráfico de f e determine, se existirem:
(a) lim
x→−2+
f(x), lim
x→−2−
f(x) e lim
x→−2
f(x); (b) lim
x→−1+
f(x), lim
x→−1−
f(x) e lim
x→−1
f(x);
(c) lim
x→3+
f(x), lim
x→3−
f(x) e lim
x→3
f(x); (d) lim
x→5+
f(x), lim
x→5−
f(x) e lim
x→5
f(x).
28. Calcule os seguintes limites laterais de funções:
(a) lim
x→−2+
6x− 4
x2
+
8
x3
(b) lim
x→5−
5x− 25
x2 − 25
(c) lim
x→−4+
x2 − 16
x2 + 3x− 4
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 11 Professor Mário Olivero (UFF)
EP1 - Aulas 1, 2 e 3 Cálculo I
(d) lim
x→2−
x2 + 2x− 8
x2 − x− 2
(e) lim
x→36−
√
x− 6
x− 36
(f) lim
x→−1+
x+ 1
−2 +
√
x2 + 3
(g) lim
x→1−
√
4− 3x− x2 (h) lim
x→−2+
2 + x√
4− x2
(i) lim
x→−3−
|x| − 3
x2 − 9
(j) lim
x→1+
|x+ 1| − 2
x2 + 2x− 3
(k) lim
x→2−
|x2 − 3x− 4| − 6
2− x
(l) lim
x→−4+
6− x2
3− |x|
(m) lim
x→−5+
|3 + 2x− x2| − 32
x2 + 3x− 10
(n) lim
x→−3−
1− |x+ 2|
x3 + 2x2 − 3x
(o) lim
x→3−
|4− 3x− x2| − 14
x2 − 9
29. Sabendo que lim
x→a+
f(x) = −1 e lim
x→a+
g(x) = 2, calcule:
(a) lim
x→a+
(f(x) + 2g(x)) (b) lim
x→a+
(f(x) g(x)2)
(c) lim
x→a+
(x f(x)2 − 4x3 g(x)) (d) lim
x→a+
3 f(x)g(x)
g(x)− f(x)
30. Seja f a função definida por:
f(x) =

|x2 − x− 2|
x+ 1
, se x < −1
x3 + 1, se −1 ≤ x ≤ 2
3x2 − 3x− 6
|x| − 2
, se x > 2
(a) Calcule lim
x→−1+
f(x) e lim
x→−1−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→−1
f(x)?
(b) Calcule lim
x→2+
f(x) e lim
x→2−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→2
f(x)?
(c) Calcule lim
x→−4+
f(x) e lim
x→−4−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→−4
f(x)?
(d) Calcule lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→0
f(x)?
(e) Calcule lim
x→3+
f(x) e lim
x→3−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→3
f(x)?
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 12 Professor Mário Olivero (UFF)
EP1 - Aulas 1, 2 e 3 Cálculo I
Desejamos que estes exercı́cios sirvam de estı́mulo para uma ativa e
produtiva seção de trabalho. Procurem os mediadores pedagógicos
mesmo que tudo esteja correndo bem com os seus estudos indivi-
duais. Lembrem-se: divulgar informações, trocar ideias e comparti-
lhar conhecimento é fundamental para o progresso de todos. E não
esqueçam: nós queremos o seu sucesso! Estamos aqui na torcida!
Mário e Roseli
Coordenadores de Cálculo I
BONS ESTUDOS A TODOS!!!
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 13 Professor Mário Olivero (UFF)