Lista 2_FVV

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<p>Universidade Federal do Maranhão</p><p>Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Tecnologia</p><p>Funções de várias variáveis</p><p>Prof. Dra Ana Kelly de Oliveira - Campus: Balsas</p><p>Lista 2</p><p>1. Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt ou dw/dt.</p><p>(a) z = x2 + y2 + xy, x = sin t, y = et</p><p>(b) z = cos(x+ 4y), x = 5t4t, y = 1/t</p><p>(c) z =</p><p>√</p><p>1 + x2 + y2, x = ln t, y = cos t</p><p>(d) z = tan−1(y/x), x = et, y = 1− et</p><p>(e) w = xey/z, x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t</p><p>(f) w = ln</p><p>√</p><p>x2 + y2 + z2, x = sin t, y = cos t, z = tan t</p><p>2. Use a Regra da Cadeia para determinar ∂z/∂s ou ∂w/∂t.</p><p>(a) z = x2y3, x = s cos t, y = s sin t</p><p>(b) z = arcsin(x− y), x = s2 + t2, y = 1− 2st</p><p>(c) z = sin θ cosϕ, θ = st2, ϕ = s2t</p><p>(d) z = ex+2y, x = s/t, y = t/s</p><p>(e) z = er cos θ, r = st, θ =</p><p>√</p><p>s2 + t2</p><p>(f) w = tan(u/v), u = 2s+ 3t, v = 3s− 2t</p><p>3. Derive de forma impĺıcita para encontrar dy/dx.</p><p>(a) y cosx = x2 + y2</p><p>(b) tan−1(x2y)x+ xy2</p><p>(c) cos(xy) = 1 + sin y</p><p>(d) ey sinx = x+ xy</p><p>4. Derive de forma impĺıcita para encontrar ∂z/∂x e ∂z/∂y</p><p>(a) x2 + 2y2 + 3z2 = 1</p><p>(b) ez = xyz</p><p>(c) x2 − y2 + z2 − 2z = 4</p><p>(d) yz + x ln y = z2</p><p>5. Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ.</p><p>(a) f(x, y) = x3y4 − x4y3, (1, 1), θ = π/6</p><p>(b) f(x, y) = ye−x, (0, 4), θ = 2π/3</p><p>(c) f(x, y) = ex cos y, (0, 0), θ = π/4</p><p>6. Em cada um dos casos abaixo (i) determine o gradiente de f , (ii) calcule o gradiente no ponto</p><p>P , (iii) determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.</p><p>1</p><p>(a) f(x, y) = sin(2x+ 3y), P = (−6, 4), u = 1</p><p>2</p><p>(</p><p>√</p><p>3i− j)</p><p>(b) f(x, y) = y2/x, P = (1, 2), u = 1</p><p>3</p><p>(2i+</p><p>√</p><p>5j)</p><p>(c) f(x, y, z) = xe2yz, P = (3, 0, 2), u =</p><p>(</p><p>2</p><p>3</p><p>,−2</p><p>3</p><p>, 1</p><p>3</p><p>)</p><p>(d) f(x, y, z) =</p><p>√</p><p>x+ yz, P = (1, 3, 1), u =</p><p>(</p><p>2</p><p>7</p><p>, 3</p><p>7</p><p>, 6</p><p>7</p><p>)</p><p>7. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.</p><p>(a) f(x, y) = ex sin y, (0, π/3), v = (−6, 8)</p><p>(b) f(x, y) =</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>, (1, 2), v = (3, 5)</p><p>(c) g(p, q) = p4 − p2q3, (2, 1), v = i+ 3j</p><p>(d) g(r, s) = tan−1(rs), (1, 2), v = 5i+ 10j</p><p>(e) f(x, y, z) = xey + yez + zex, (0, 0, 0), v = (5, 1,−2)</p><p>(f) f(x, y, z) =</p><p>√</p><p>xyz, (3, 2, 6), v = (−1,−2, 2)</p><p>(g) h(r, s, t) = ln(3r + 6s+ 9t), (1, 1, 1), v = 4i+ 12j+ 6k</p><p>8. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.</p><p>(a) f(x, y) = 4y</p><p>√</p><p>x, (4, 1)</p><p>(b) f(s, t) = test, (0, 2)</p><p>(c) f(x, y) = sin(xy), (1, 0)</p><p>(d) f(x, y, z) = (x+ y)/z, (1, 1,−1)</p><p>(e) f(x, y, z) =</p><p>√</p><p>x2 + y2 + z2, (3, 6,−2)</p><p>(f) f(p, q, r) = arctan(pqr), (1, 2, 1)</p><p>9. Encontre uma equação do plano tangente e da reta normal à superf́ıcie dada no ponto espe-</p><p>cificado.</p><p>(a) 2(x− 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 10, (3, 3, 5)</p><p>(b) y = x2 − z2, (4, 7, 3)</p><p>(c) xyz2 = 6, (3, 2, 1)</p><p>(d) xy + yz + zx = 5, (1, 2, 1)</p><p>(e) x+ y + z = exyz, (0, 0, 1)</p><p>(f) x4 + y4 + z4 = 2x2y2z2, (1, 1, 1)</p><p>10. Suponha que (1, 1) seja um ponto cŕıtico de uma função f com derivadas de segunda ordem</p><p>cont́ınuas. Em cada caso, o que se pode dizer de f?</p><p>(a) fxx(1, 1) = 4, fxy(1, 1) = 1, fyy(1, 1) = 2</p><p>(b) fxx(1, 1) = 4, fxy(1, 1) = 3, fyy(1, 1) = 2</p><p>11. Determine os valores máximos e mı́nimos locais e pontos de sela da função.</p><p>2</p><p>(a) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2 − 4y2</p><p>(b) f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y</p><p>(c) f(x, y) = (x− y)(1− xy)</p><p>(d) f(x, y) = xe−2x2−2y2</p><p>(e) f(x, y) = y3 + 3x2y − 6x2 − 6y2 + 2</p><p>(f) f(x, y) = xy(1− x− y)</p><p>(g) f(x, y) = x3 − 12xy + 8y3</p><p>(h) f(x, y) = xy + 1</p><p>x</p><p>+ 1</p><p>y</p><p>(i) f(x, y) = ex cos y</p><p>(j) f(x, y) = y cosx</p><p>(k) f(x, y) = (x2 + y2)ey</p><p>2−x2</p><p>(l) f(x, y) = ey(y2 − x2)</p><p>(m) f(x, y) = y2 − 2y cosx, −1 ≤ x ≤ 7</p><p>12. Determine os valores máximo e mı́nimo absolutos de f no conjunto D.</p><p>(a) f(x, y) = x2 + y2 − 2x, D é a região triangular fechada com vértices (2, 0), (0, 2) e</p><p>(0,−2).</p><p>(b) f(x, y) = x+ y − xy, D é a região triangular fechada com vértices (0, 0), (0, 2) e (4, 0).</p><p>(c) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4, D = {(x, y) ∈ R2 ; |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}</p><p>(d) f(x, y) = 4x+ 6y − x2 − y2, D = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 5}</p><p>(e) f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 2, D = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}</p><p>(f) f(x, y) = xy2, D = {(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 3}</p><p>(g) f(x, y) = 2x3 + y4, D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 ≤ 1}</p><p>(h) f(x, y) = x3 − 3x− y3 + 12y, D é o quadrilátero cujos vértices são (−2, 3), (2, 3), (2, 2)</p><p>e (−2,−2).</p><p>13. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mı́nimo da função</p><p>sujeita à(s) restição(ões) dada(s).</p><p>(a) f(x, y) = x2 + y2; xy = 1</p><p>(b) f(x, y) = 3x+ y; x2 + y2 = 10</p><p>(c) f(x, y) = y2 − x2; 1</p><p>4</p><p>x2 + y2 = 1</p><p>(d) f(x, y) = exy; x3 + y3 = 16</p><p>(e) f(x, y, z) = 2x+ 2y + z; x2 + y2 + z2 = 9</p><p>(f) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2; x+ y + z = 12</p><p>(g) f(x, y, z) = xyz; x2 + 2y2 + 3z2 = 6</p><p>(h) f(x, y, z) = x2y2z2; x2 + y2 + z2 = 1</p><p>(i) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2; x4 + y4 + z4 = 1</p><p>(j) f(x, y, z) = x4 + y4 + z4; x2 + y2 + z2 = 1</p><p>(j) f(x, y, z, t) = x+ y + z + t; x2 + y2 + z2 + t2 = 1</p><p>14. Determine os valores extremos de f na região descrita pela desigualdade.</p><p>(a) f(x, y) = x2 + y2 + 4x− 4y, x2 + y2 ≤ 9</p><p>(b) f(x, y) = 2x2 + 3y2 − 4x− 5, x2 + y2 ≤ 16</p><p>(c) f(x, y) = e−xy, x2 + 4y2 ≤ 1</p><p>3</p>