Integral Definida Cálculo 1

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integral Definida 
 
 Suponha que você conheça a taxa f(x) = dF/dx, na qual uma certa grandeza F 
está variando e deseje encontrar a quantidade pela qual a grandeza F variará entre x = a 
e x = b. Você pode primeiro encontrar F por antidiferenciação, e então calcular a 
diferença: 
 
Variação em F entre 
x= a e x = b = F(b) – F(a) 
 
 O resultado numérico deste cálculo é chamado de integral definida da função f e 
é denotado pelo símbolo: 
 
 
b
a
dxxf )( 
 O símbolo 
b
a
dxxf )( é lido como “ a integral definida de f de a até b”. Os 
números a e b são denominados limites de integração. Nos cálculos que envolvem as 
integrais definidas, é freqüentemente conveniente usar o símbolo: 
b
axF )( para a diferença F(b) – F(a). 
 
Ex.: Um estudo indica que, daqui a x meses a população de uma cidade estará crescendo 
a uma taxa de 2 + x6 pessoas por mês. Em que quantidade a população crescerá 
durante os próximos 4 meses? 
 
Solução: 
P(x) = população daqui a x meses, então a taxa da variação da população em relação ao 
tempo dP/dx = 2 + x6 e a quantidade pela qual a população crescerá durante os 
próximos 4 meses será a integral definida: 
 
P(4) – P(0) = dx)x62(
4
0
  
= 2 dx
4
0
 + 6 dx)x(
4
0
1/2
 
= 2x + 
4
0
2/3
2/3
6
C
x
 
= 2x + 4x
2/3
 + C 
4
0 
Disciplina: Cálculo I 
 
Professor Michel Molossi 
 
Aula 13 
2 
 
 
= (2(4) + 4(4)
3/2
 + C) – ( 2.(0) + 4(0) + C) 
= 40 pessoas 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1. Calcular as integrais. 
 
a) 


2
1
3 )1( dxxx b) 


0
3
2 )74( dxxx 
 
c) 
2
1
6x
dx
 d) 
1
0 y
dy
 
 
e) 
4
3
4


senxdx f) 
1
0
3
2
x
dxx
 
 
g) dxxx )(
3
0
 
 
7 
 
2. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x
2
 +1 e y = 2x – 2 entre 
x = -1 e x = 2. 
 
3. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x
3
 e y = x
2
 . 
4. Encontre a área da região limitada pela curva y = -x
2
 + 4x – 3 e pelo eixo x. 
5. Encontre a área da Região R no primeiro quadrante que se situa sob a curva 
 y = 1/x e é limitado por esta curva e pelas retas y = x, x=0 e x =2. 
6. Encontre a área da região S, limitada pela curva y = senx e pelo eixo x de 0 até 
2π. 
7. Encontre a área limitada por y = x
2
 e y = x+2. 
8. Encontre a área limitada pelas curvas y = x
2
 – 1 e y = x. 
 
Gabarito 
1.a) 81/10 
b) 31/160 
c) 48 
d) 2 
 e) 
f) 2/3 
g) 6,235 
 
2. 9 u.a. 
 
3. 1/12 u.a. 
 
4. 4/3 u.a. 
 
5. 1,193 u.a. 
 
6. 4 u.a. 
 
7. 9/2 u.a. 
 
8. 1,9 u.a.