Análise Funcional: Normas e Espaços

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<p>Faculdade de Ciências</p><p>Departamento de Matemática e Informática</p><p>10 Teste de Análise Funcional II. Correcção.</p><p>Duração: 2 horas 6.10.2007</p><p>Todas as respostas têm de ser justi�cadas.</p><p>Todos os espaços lineares e espaços normados consideram-se sobre o campo R.</p><p>1. Seja dado espaço linear X constituído das funções diferenciáveis continuamente x : [−1, 1] → R. É o</p><p>funcional dado p : X → R uma norma em X?</p><p>a) (1 valor) p(x) = max</p><p>t∈[−1,1]</p><p>(t+ 5)2|x′(t)|; b) (1 valor) p(x) = max</p><p>t∈[−1,1]</p><p>arctan |x(t)|.</p><p>Resolução: a) Não é norma, visto que não se cumpre axioma (N1). De facto, para x(t) ≡ 1 obtemos</p><p>p(x) = 0.</p><p>b) Não é norma, visto que não se cumpre axioma (N2). De facto, para x(t) ≡ 1 obtemos p(x) = π/4 e</p><p>p(2x) = arctan 2, logo p(2x) ̸= 2p(x).</p><p>2. Seja dado espaço linear X constituído das funções contínuas em [0, 1]. Consideremos dois espaços</p><p>normados L1 = (X, ∥ · ∥1) e M1 = (X, ∥ · ∥) onde</p><p>∥x∥1 =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>|x(t)| dt, ∥x∥ =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(1 + et + e2t)2|x(t)| dt</p><p>a) (2 valores) Normas ∥ · ∥1 e ∥ · ∥ são equivalentes?</p><p>b) (2 valores) M1 é espaço de Banach?</p><p>c) (2 valores) É sucessão das funções {xn}∞n=1 de�nida por xn(t) = χ[0, 1/n](t)</p><p>√</p><p>n sen (πnt), t ∈ [0, 1],</p><p>convergente em M1?</p><p>d) (2 valores) Ache interior do conjunto D = {x ∈ X : (∀t ∈ [0, 1]) |x(t)| ≤ 1} no espaço M1.</p><p>Resolução: a) Sim, visto que ∀x ∈ X</p><p>∥x∥1 =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>|x(t)| dt ≤</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(1 + et + e2t)2|x(t)| dt = ∥x∥,</p><p>∥x∥ =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(1 + et + e2t)2|x(t)| dt ≤ (1 + e+ e2)2</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>|x(t)| dt = (1 + e+ e2)2∥x∥1.</p><p>b) Não. Como L1 não é B-espaço e M1 é isomorfo a L1 concluímos que M1 não é B-espaço também,</p><p>pelo Teorema 1.9.</p><p>c) Como EN L1 e M1 são isomorfos é satisfeito veri�car a convergência de {xn} em L1.</p><p>∥xn∥1 =</p><p>√</p><p>n</p><p>∫ 1/n</p><p>0</p><p>sen (πnt) dt =</p><p>2</p><p>π</p><p>√</p><p>n</p><p>→ 0.</p><p>Então, {xn} converge em M1 a função nula.</p><p>d) Como EN L1 e N1 são isomorfos os interiores de D nos EN L1 e M1 são iguais. Se x ∈ D e ε > 0</p><p>então para n grandes elementos x + xn (xn foram determinados em c)) pertencem a B(x, ε) mas não</p><p>pertencem a D. Logo B(x, ε) ̸⊂ D e x não é ponto interior de D. Portanto, Int(D) = ∅.</p><p>3. Veri�que se operador linear A no B-espaço X é contínuo. No caso SIM ache ∥A∥.</p><p>a) (2 valores) X = C[0, 1], (Ax)(t) =</p><p>∫ 1</p><p>0 (t− s)x(s) ds.</p><p>b) (2 valores) X = l2, Ax =</p><p>(</p><p>3x1,</p><p>x2</p><p>2 ,</p><p>x3</p><p>3 , . . .</p><p>xn</p><p>n , . . .</p><p>)</p><p>.</p><p>Resolução: a) A é operador integral com núcleo contínuo k(t, s) = t−s. Pelo Teorema 2.9 A é contínuo</p><p>e</p><p>∥A∥ = max</p><p>t∈[0,1]</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>|k(t, s)| ds = max</p><p>t∈[0,1]</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>|t− s| ds =</p><p>max</p><p>t∈[0,1]</p><p>(∫ t</p><p>0</p><p>(t− s) ds+</p><p>∫ 1</p><p>t</p><p>(s− t) ds</p><p>)</p><p>= max</p><p>t∈[0,1]</p><p>(</p><p>t2 − t+</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>b) Qualquer que seja x ∈ X recebemos a estimação</p><p>∥Ax∥ =</p><p>√√√√ ∞∑</p><p>n=1</p><p>|(Ax)n|2 ≤</p><p>√√√√ ∞∑</p><p>n=1</p><p>9|xn|2 ≤ 3∥x∥.</p><p>Pelo Teorema 2.6 o operador A é contínuo, e pela de�nição de ∥A∥ temos</p><p>∥A∥ ≤ 3. (1)</p><p>Por outra face, para elemento e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, . . .) ∈ l2 obtemos por cálculo directo ∥e1∥ = 1 e</p><p>∥Ae1∥ = 3. Segundo Lema 2.3</p><p>∥A∥ = sup</p><p>∥x∥=1</p><p>∥Ax∥ ≥ ∥Ae1∥ = 3 (2)</p><p>De (1) e (2) implica ∥A∥ = 3.</p><p>4. De�namos os operadores An ∈ L(L1[0, 1], l∞), n = 1, 2, . . . pela fórmula</p><p>Anx =</p><p>(∫ 1</p><p>n</p><p>0</p><p>x(t) dt,</p><p>∫ 1</p><p>n+1</p><p>0</p><p>x(t) dt,</p><p>∫ 1</p><p>n+2</p><p>0</p><p>x(t) dt, . . .</p><p>)</p><p>.</p><p>a) (2 valores) {An} converge pontualmente a operador nulo?</p><p>b) (2 valores) {An} converge uniformemente a operador nulo?</p><p>Resolução: a) Sim, visto que ∀x ∈ L1[0, 1], usando continuidade absoluta de integral de Lebesgue,</p><p>obtemos</p><p>∥Anx∥ = sup</p><p>k≥n</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∫ 1</p><p>k</p><p>0</p><p>x(t) dt</p><p>∣∣∣∣∣ ≤</p><p>∫ 1</p><p>k</p><p>0</p><p>|x(t)| dt → 0.</p><p>b) Não. Tomemos xn(t) = nχ[1,1/n](t), tais que</p><p>∥xn∥ =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>|xn(t)| dt =</p><p>∫ 1</p><p>n</p><p>0</p><p>ndt = 1 e ∥Anxn∥ = sup</p><p>k≥n</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∫ 1</p><p>n</p><p>0</p><p>xn(t) dt</p><p>∣∣∣∣∣ =</p><p>∫ 1</p><p>n</p><p>0</p><p>ndt = 1.</p><p>Segundo Lema 2.3</p><p>∥An∥ = sup</p><p>∥x∥=1</p><p>∥Anx∥ ≥ ∥Anxn∥ = 1 ⇒ ∥An∥ ̸→ 0.</p><p>5. (2 valores) Sejam dados B-espaçoX e os operadores A,An, B,Bn ∈ L(X), n = 1, 2, . . . tais que An</p><p>u→ A</p><p>e Bn</p><p>p→ B. De�namos os operadores T, Tn ∈ L(X), n = 1, 2, . . . pelas fórmulas</p><p>T = 5AeB − 7B, Tn = 5Ane</p><p>B − 7B.</p><p>Demonstre que Tn</p><p>u→ T .</p><p>Resolução:</p><p>∥Tn − T∥ = ∥(5Ane</p><p>B − 7B)− (5AeB − 7B)∥ = ∥5(An −A)eB∥ ≤</p><p>5∥eB∥ · ∥An −A∥ → 0,</p><p>(3)</p><p>visto que da condição An</p><p>u→ A implica ∥An −A∥ → 0.</p><p>Prof. Doutor Yu. Nepómnyashchikh</p>