Aula_02U1_-_Matemtica_I_2023 1

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<p>Governo do Estado do Rio Grande do Norte</p><p>Secretaria de Estado da Educação e da Cultura – SEEC</p><p>Universidade do Estado do Rio Grande do Norte – UERN</p><p>Campus Avançado de Patu – DME</p><p>Curso: Licenciatura em Matemática</p><p>MATEMÁTICA I - 2023.1</p><p>Prof. Me Antônio Josimário S. de Oliveira</p><p>josimariooliveira@uern.br</p><p>http://www.uern.br/professor/josimariooliveira</p><p>Função injetiva: Uma função f : A → B é dita injetiva se a</p><p>seguinte condição for satisfeita:</p><p>∀x1,x2∈ A, x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2).</p><p>Ou de forma equivalente: ∀x1,x2∈A, f(x1)=f(x2)⇒x1=x2.</p><p>Então, uma função f é injetiva quando elementos distintos do</p><p>domínio estão associados a elementos distintos do</p><p>contradomínio.</p><p>Exemplos:</p><p>1.</p><p>2. A função que fornece o preço para qualquer número de</p><p>copos de água de coco (Exemplo 2 – Aula 01) é injetiva. Por</p><p>quê?</p><p>FUNÇÕES INJETIVAS, SOBREJETIVAS E BIJETIVAS</p><p>3. O gráfico abaixo representa uma função injetiva?</p><p>4. Considere a função que a cada aluno matriculado na</p><p>disciplina “Matemática I”(semestre 2023.1, do CAP/UERN)</p><p>associa o mês do seu nascimento. Essa função é injetiva?</p><p>Função sobrejetiva: Uma função f:A→B é dita sobrejetiva se,</p><p>para todo y ∈ B, existir um x ∈ A tal que f(x)=y. Em símbolos:</p><p>∀y ∈ B, ∃x ∈ A tal que y=f(x). Então, uma função f é</p><p>sobrejetiva quando todos os elementos do contradomínio estão</p><p>associados com algum elemento do domínio(o contradomínio</p><p>da função é igual ao conjunto imagem).</p><p>Exemplos:</p><p>1.</p><p>2. Considere o conjunto A dos alunos em uma sala de</p><p>aula e o conjunto B das cadeiras desta mesma sala. Seja</p><p>f : A → B a função(?) que associa a cada aluno(a) a</p><p>cadeira onde ele(a) está sentado. A função f: A → B é</p><p>sobrejetiva ?</p><p>3. O gráfico abaixo representa uma função sobrejetiva. Por</p><p>quê?</p><p>Função bijetiva: Uma função f : A → B é dita bijetiva se for</p><p>simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Assim, uma função f é</p><p>bijetiva se, e somente se, para todo ∀x1,x2∈ D(f) , com x1≠x2,</p><p>tivermos f(x1)≠f(x2) e CD(f) = Im(f).</p><p>Exemplos:</p><p>1.</p><p>2. A função que associa cada pessoa a sua digital é bijetiva?</p><p>3. O gráfico a seguir representa uma função bijetiva.</p><p>Por quê?</p><p>COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES</p><p>Considere a seguinte situação:</p><p>Um terreno foi dividido em 10 lotes, todos em forma quadrada</p><p>e de mesma área. Qual é a lei da função que fornece a área do</p><p>terreno utilizando a área dos lotes ?</p><p>Sendo x= medida de cada lado de um lote; y = ƒ(x) = área de</p><p>cada lote; h =g(y)= área do terreno, temos: y = ƒ(x) = x2.</p><p>Como temos 10 lotes, teremos que a área do terreno será dada</p><p>da seguinte maneira: h = g(y) = 10y = 10 x2 . Em resumo: h =</p><p>g(y) = 10 y ⇒ h = g(ƒ(x)) = 10 x2.</p><p>Esquematizando, temos:</p><p>Definição: Dadas as funções f : A → B e g : B → C ,</p><p>denominamos função composta de g com f a função g o f : A</p><p>→ C definida por (g o f)(x) = g(f(x)).</p><p>Usamos a notação h = g ◦ f (lê-se: “g bola f ”) para indicar a</p><p>composição de f e g. Devemos notar que a ordem em que se</p><p>aplicam as funções f e g na composta g ◦ f é dada da direita</p><p>para esquerda, ou seja, para calcular h(a) = (g ◦ f)(a), aplicamos</p><p>primeiro a função mais `a direita, f, para obtermos f(a), e</p><p>depois aplicamos g a f(a) para obtermos h(a) = g(f(a)).</p><p>Observações:</p><p>1) A composta g o f só está definida quando o contradomínio</p><p>da f é igual ao domínio da g.</p><p>2) Em geral, f o g ≠ g o f, isto é, a composição de funções não</p><p>é comutativa.</p><p>3) Dadas as funções f1 : A → B, f2 : B → C e f3 : C → D, tem-</p><p>se : (f3 ◦ f2) ◦ f1 = f3 ◦ (f2 ◦ f1), isto é, a composição de funções</p><p>é uma operação associativa. Demonstração: Fundamentos de</p><p>Matemática Elementar, vol.1.</p><p>4) Podemos considerar a composta f ◦ · · · ◦ f ( n vezes, com</p><p>n natural) , onde f : A → A é uma função de um conjunto A</p><p>nele mesmo. Neste caso, costumamos denotar a composta por</p><p>f (n). Assim, f (1) = f, f (2) = f ◦ f, f (3) = f ◦ f ◦ f , etc.</p><p>Exemplos e exercícios propostos:</p><p>1. Sejam f : R→R e g : R→R as funções dadas por f(x) = 4x e</p><p>g(x) = x + 5. Então:</p><p>a) g ∘ f : R→R é assim definida:</p><p>(g ∘f)(x)=g(f(x))=g(4x)=(4x)+5=4x+5.</p><p>b) Nesse caso, podemos também definir a composta de f e g .</p><p>f ∘ g : R→R é assim definida:</p><p>(f∘g)(x)=f(g(x))=f(x+5)=4.(x+5)=4x+20.</p><p>2. Sejam as funções reais f(x) = 3x - 5 e (f o g)(x) = x2 - 3.</p><p>Determinar a lei da função g.</p><p>3. Sejam as funções f : R → R e g : R → R, tais que g(x) = 3x -</p><p>2 e (f ◦ g)(x) = 6x + 1 . Determine f(x).</p><p>3. Dada a função f: R – {-1 ,1} → R – {-1, 1} definida por f(x)</p><p>= 1- 𝑥/1+𝑥, determine 𝑓𝑛 = f o f o ... o f.</p><p>4. A função f é dada pela tabela ao lado. Calcule o valor de</p><p>f(f(...(f(f(3))) ...)).</p><p>640 vezes</p><p>5. Seja f : R → R uma função tal que f(x - 1) = x2 + 3x – 2 .</p><p>Determine f(x).</p><p>FUNÇÃO INVERSA</p><p>Quando relacionamos a medida do lado de um quadrado com o</p><p>seu perímetro, podemos pensar em duas funções bijetivas:</p><p>1) Uma que a cada valor da medida do lado associa o perímetro:</p><p>p(l) = 4l;</p><p>2) Outra que a cada valor do perímetro associa a medida do</p><p>lado: l(p) =</p><p>1</p><p>4</p><p>p.</p><p>Chamando de f e g as funções acima, temos, respectivamente:</p><p>Nesse caso, temos as funções f: A → B e g: B → A, sendo D(</p><p>f) = Im(g); D(g) = Im(f); f e g são bijetivas.</p><p>Em casos assim, dizemos que uma função é a inversa da outra.</p><p>É comum indicar a função g, inversa de f, por f−1 .</p><p>Definição de função inversa : Dada uma função f: A → B,</p><p>bijetiva, denomina-se função inversa de f a função g : B → A</p><p>tal que, se f(a)=b, então g(b)=a, com a ∈ A e b ∈ B.</p><p>Ou, de modo equivalente: A função g : B → A é a inversa da</p><p>função f : A → B quando se tem g(f(x)) = x e f(g(y)) = y para</p><p>todo x ∈ A e y ∈ B.</p><p>Observação: Os gráficos de f e f−1 são simétricos em relação</p><p>à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x ).</p><p>Exemplo: Qual é a função inversa da função f, bijetiva em R,</p><p>definida por f(x)=2x+1?</p><p>Regra prática: Trocamos x por y e y por x . Depois, basta</p><p>isolar y.</p><p>Obs.: Para que uma função f admita a inversa é necessário que</p><p>ela seja bijetiva. Se f não for bijetiva, ela não possuirá inversa.</p>