Vetores no plano e no espaço

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<p>VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO</p><p>Professor: Antônio Fabiano Paiva</p><p>Algebricamente, no plano cartesiano, um vetor pode ser representado por um par</p><p>ordenado ( x ; y ), onde x e y são chamadas de componentes do vetor.</p><p>Graficamente, no plano cartesiano, um vetor será notado por uma semirreta com origem</p><p>no ponto (0;0) e extremidade no par ( x; y ).</p><p>Veja um exemplo:</p><p>𝑢 = ( 3; 2 )</p><p>Definição</p><p>Observações:</p><p>Podemos, então, associar a cada vetor um segmento de reta</p><p>orientado e, reciprocamente, a cada segmento de reta orientado</p><p>com ponto inicial na origem podemos associar um vetor.</p><p>O tamanho, a direção e o sentido do vetor, são o tamanho, a</p><p>direção e o sentido do segmento de reta orientado associado.</p><p>O comprimento do segmento de reta indica comprimento</p><p>( tamanho do vetor considerado ).</p><p>Outros exemplos de vetores:</p><p>Com mesma direção e com mesmo sentido.</p><p>𝑢 Ԧ𝑣</p><p>Agora vejamos dois vetores com mesma direção e sentidos contrários:</p><p>𝑢</p><p>Ԧ𝑣</p><p>Norma é o comprimento ( tamanho ) do vetor, que como já dissemos</p><p>anteriormente, é o tamanho do segmento que representa o vetor.</p><p>Indicamos a norma de um vetor u por :</p><p>𝑢</p><p>Cálculo da norma de um vetor</p><p>𝑢 = 𝑥2 + 𝑦2</p><p>“ Raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes”</p><p>Exemplo:</p><p>Sendo dado o vetor 𝑢 de componentes (3; 7), podemos então encontrar</p><p>a sua norma assim:</p><p>𝑢 = 32 + 72 = 9 + 49 = 58</p><p>Operações com vetores</p><p>Adição de vetores</p><p>Algebricamente, basta somarmos as componentes correspondentes.</p><p>- Método do paralelogramo</p><p>Importante lembrar que:</p><p>Quando temos um vetor 𝑢 ( a;b ), se quisermos - 𝑢 teremos (-a;</p><p>- b).</p><p>Portanto, quando formos operar a subtração de vetores, temos</p><p>que levar isso em consideração.</p><p>Sendo 𝑢 = ( 2; 4 ) e Ԧ𝑣 = ( 1 ; 7 ), quando fizermos 𝑢 - Ԧ𝑣 teremos</p><p>na verdade 𝑢 + ( - Ԧ𝑣 ), ou seja:</p><p>𝑢 - Ԧ𝑣 = ( 2 – 1 ; 4 – 7 ) = ( 1 ; -3 )</p><p>Produto de um vetor por um escalar</p><p>Para multiplicarmos um vetor por um número real k</p><p>qualquer, basta multiplicar cada uma das componentes</p><p>do vetor por esse real k.</p><p>Exemplo:</p><p>Sendo 𝑢 = ( a ; b ), K . 𝑢 = ( ka; kb )</p><p>Produto Interno entre dois vetores u e v</p><p>O produto interno entre dois vetores é um número real ligado</p><p>ao tamanho de cada um desses vetores e ao ângulo formado</p><p>por eles.</p><p>Sejam u e v dois vetores quaisquer, de coordenadas u = (a,b)</p><p>e v = (c,d), o produto interno desses vetores é denotado por e</p><p>é calculado da seguinte maneira:</p><p>< u,v> = a·c + b·d</p><p>Que também pode ser apresentado da seguinte maneira:</p><p><u,v> = IIuII. IIvII·cos𝜃</p><p>Exemplo:</p><p>Considere os vetores u = ( -1; 2 ) e v = ( 2; 3 ). Vamos encontrar o ângulo</p><p>entre eles:</p><p>< u,v > = (-1 ). 2 + 2. 3 = -2 + 6 = 4</p><p>𝑢 = 1 + 4 = 5</p><p>𝑣 = 4 + 9 = 13</p><p>Logo:</p><p>4 = 5 ∙ 13 ∙ cos 𝜃</p><p>4 = 65 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 → 𝑐𝑜𝑠𝜃 =</p><p>4</p><p>65</p><p>≅ 0,4961 → 𝜃 ≅ 60º</p><p>COMBINAÇÃO LINEAR</p><p>Professor: Antônio Fabiano Paiva</p><p>Definição:</p><p>Sendo dados os vetores 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑, ..., 𝒖𝒏, se existirem números reais 𝒓𝟏,</p><p>𝒓𝟐, 𝒓𝟑, ..., 𝒓𝒏 tal que 𝒗 também um vetor e 𝒗 = 𝒓𝟏. 𝒖𝟏 + 𝒓𝟐. 𝒖𝟐 + 𝒓𝟑. 𝒖𝟑 + ...</p><p>+ 𝒓𝒏. 𝒖𝒏, dizemos que 𝒗 é combinação linear de 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑, ..., 𝒖𝒏.</p><p>Vamos tomar como exemplo os vetores u = ( 1; 0 ) e v = ( 0,1 ) do plano (</p><p>ℝ2). Podemos então dizer que o vetor w = ( 2; 5 ) pode ser escrito como:</p><p>2. u + 5. v = 2 . ( 1; 0 ) + 5. ( 0, 1 ) = (2; 0 ) + ( 0; 5 ) = ( 2; 5 )</p><p>Logo o vetor w pode ser escrito combinação linear de u e v.</p><p>Distância entre dois vetores</p><p>Para calcularmos a distância entre dois vetores, iremos usar a seguinte</p><p>fórmula:</p><p>𝑑 𝑢, 𝑣 = 𝑢 − 𝑣</p><p>Verifiquemos através de dois vetores do plano.</p><p>Exemplo:</p><p>Considere os vetores do plano sendo u = ( 1; 2 ) e v = ( -1; 2 ). Vamos</p><p>calcular a distância entre eles usando a “fórmula” dada e justificando com a</p><p>apresentação no plano cartesiano.</p><p>𝑑 𝑢, 𝑣 = 𝑢 − 𝑣 = 22 − 02 = 2</p><p>-v = ( 1; -2 )</p><p>u – v = u + ( - v ) = ( 2; 0 )</p><p>Observação importante:</p><p>Poderíamos usar o mesmo raciocínio para efetuar o cálculo da distância</p><p>entre dois vetores dos espaço ( do ℝ3 ).</p><p>Exemplo:</p><p>Considerando u = ( 1; 2; 4 ) e v = ( 2; -1 ; 3 ), poderíamos efetuar o cálculo</p><p>da distância entre u e v da seguinte maneira:</p><p>u – v = (-1; 3; 1 )</p><p>𝑑 𝑢, 𝑣 = 𝑢 − 𝑣 = 1 + 9 + 1 = 11</p><p>Portanto a distância entre os vetores será 11 unidades de comprimento.</p><p>Ângulo entre vetores</p><p>Dados dois vetores u e v, podemos então encontrar o ângulo 𝜃 formado entre</p><p>eles através do produto interno e do cosseno desse ângulo 𝜃 ( Como já</p><p>comentado e apresentado na unidade 1 ).</p><p>Vamos tomar agora um exemplo envolvendo novamente vetores do espaço.</p><p>Encontraremos o ângulo formado entre os vetores u = ( 0; -3; 4 ) e v = ( 1; 2; 3 ).</p><p>< u, v > = 0 – 6 + 12 = 6 𝑢 = 0 + 9 + 16 = 5 𝑣 = 1 + 4 + 9 = 14</p><p>Logo: 6 = 5 ∙ 14 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 → 𝑐𝑜𝑠𝜃 =</p><p>6</p><p>5∙ 14</p><p>≅ 0,26726 → 𝜃 ≅ 75°</p><p>SISTEMAS LINEARES</p><p>Professor: Antônio Fabiano Paiva</p><p>Conceito preliminar:</p><p>Equação linear</p><p>É toda equação da forma</p><p>𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2+ 𝑎3𝑥3+...+ 𝑎𝑛𝑥𝑛= b</p><p>Onde 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3,..., 𝑎𝑛 são coeficientes das variáveis</p><p>𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ..., 𝑥𝑛 respectivamente além de b ser chamado termo</p><p>independente.</p><p>Exemplo de uma equação linear: 2x + 3y – z = 5</p><p>Sistema linear</p><p>É o conjunto de m equações lineares com n variáveis.</p><p>De uma maneira geral, um sistema m x n pode ser apresentado da</p><p>seguinte forma:</p><p>𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2+ 𝑎13𝑥3+...+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛= 𝑏1</p><p>𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2+ 𝑎23𝑥3+...+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2</p><p>𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2+ 𝑎33𝑥3+...+ 𝑎3𝑛𝑥𝑛=𝑏3</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2+ 𝑎𝑚3𝑥3+...+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑚</p><p>Exemplo de um sistema linear:</p><p>ቐ</p><p>2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2</p><p>−𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2</p><p>−3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −2</p><p>Observação:</p><p>O sistema linear apresentado acima é de ordem 3 x 3, pois</p><p>possui três equações cada uma com três variáveis.</p><p>Solução de uma sistema linear</p><p>Resolver um sistema linear, é encontrar uma sequência numérica que</p><p>seja solução simultânea de todas as equações que compõem o mesmo.</p><p>A solução de uma equação linear é uma sequência numérica que</p><p>atende à igualdade apresentada na expressão.</p><p>Exemplo:</p><p>Sendo dada a equação x + 2y + z = 5, podemos dizer que um sequência</p><p>que atende à igualdade é ( 0; 1; 3 ) ou ainda ( 3; 0 ; 2 ).</p><p>Na verdade temos infinitas sequências que são soluções de uma</p><p>determinada equação linear.</p><p>Escalonamento de uma sistema</p><p>Método resolutivo de um sistema, onde, por operações elementares</p><p>encontramos um sistema equivalente a um determinado sistema que será</p><p>escrito na forma escalonada</p><p>(também chamada forma escada).</p><p>Exemplo de um sistema escalonado:</p><p>ቐ</p><p>𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 9</p><p>𝑦 + 2𝑧 = 10</p><p>4𝑧 = 12</p><p>O importante é que um sistema já escalonado tem fácil resolução.</p><p>Operações Elementares</p><p>São operações que podemos realizar com as equações de modo a</p><p>conseguir um novo sistema, equivalente ao original e que esteja na</p><p>forma escalonada.</p><p>São elas:</p><p>• Trocar a posição de uma equação com outra.</p><p>• Multiplicar toda uma equação do sistema por um número real.</p><p>• Substituir uma equação pela soma dela mesma com qualquer</p><p>outra.</p><p>• Substituir uma equação pela soma dela mesma com qualquer outra</p><p>que foi multiplicada por um número real.</p><p>Exemplo:</p><p>Vamos aplicar operações elementares e encontrar a solução do</p><p>seguinte sistema linear:</p><p>ቐ</p><p>𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6</p><p>2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1</p><p>𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5</p><p>Espaço vetorial</p><p>Professor: Antônio Fabiano Paiva</p><p>Definição:</p><p>Um espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, que está definido com duas</p><p>operações:</p><p>Soma: Sendo u e v são dois elementos pertencentes a V, a soma de u com v</p><p>ser denotada por u + v ( u + v é um elemento de V ).</p><p>Multiplicação por escalar: Sendo 𝒄 um número real qualquer e u um elemento</p><p>de V, a multiplicação de u com 𝒄 denotada por 𝒄 ∙ u ( c.u éum elemento de V ).</p><p>“O conjunto V é fechado para as operações de soma e produto por um</p><p>escalar”</p><p>Exemplo:</p><p>Considere o conjunto V, formado por todos os vetores do ℝ3 . Vamos verificar</p><p>que esse conjunto é um espaço vetorial, atendendo às condições</p><p>apresentadas acima.</p><p>Vejamos:</p><p>Considere então dois vetores quaisquer do espaço ℝ3 , 𝑢 = 𝑥𝑢; 𝑦𝑢; 𝑧𝑢 e</p><p>𝑣 = ( 𝑥𝑣; 𝑦𝑣; 𝑧𝑣) com 𝑥𝑢, 𝑥𝑣 , 𝑦𝑢, 𝑦𝑣</p><p>, 𝑧𝑢 𝑒 𝑧𝑣 sendo números reais e um número</p><p>real k. Vamos comprovar as duas operações necessárias para a verificação</p><p>do conjunto ser considerado um espaço vetorial:</p><p> 𝑢 + 𝑣 = 𝑥𝑢 + 𝑥𝑣; 𝑦𝑢 + 𝑦𝑣; 𝑧𝑢 + 𝑧𝑣 que é um vetor do ℝ3 também.</p><p> 𝑘 ∙ 𝑢 = 𝑘 ∙ (𝑥𝑢; 𝑦𝑢; 𝑧𝑢 ) = ( 𝑘𝑥𝑢; 𝑘𝑦𝑢; 𝑘𝑧𝑢) que também é um vetor do</p><p>espaço ℝ3 .</p><p>Portanto o conjunto de todos os vetores do ℝ3 é considerado um espaço</p><p>vetorial.</p><p>Subespaços vetoriais</p><p>Considere um espaço vetorial V e W um subconjunto de V e que também é</p><p>fechado para as mesmas operações:</p><p>- soma;</p><p>- produto por um escalar.</p><p>Dizemos então que W é um subespaço vetorial de V.</p><p>Exemplo: Considere agora o espaço vetorial V de todas as matrizes quadradas</p><p>de ordem 2, 𝑀2=</p><p>𝑥 𝑦</p><p>𝑧 𝑤</p><p>, 𝑐𝑜𝑚 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑒 𝑤 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟) e seu</p><p>subconjunto W formado por todas as matrizes de ordem 2 que são matrizes</p><p>diagonais. Podemos provar que W é um subespaço de V.</p><p>Subespaço Gerado</p><p>Definição</p><p>É o subespaço vetorial “formado” por todos os vetores que são</p><p>combinação linear de um grupo de outros vetores previamente</p><p>estabelecidos.</p><p>O conjunto U formado por todos os vetores 𝒗 que são combinação</p><p>linear de 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑, ..., 𝒖𝒏 é denominado subespaço vetorial gerado</p><p>por 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑, ..., 𝒖𝒏 e podendo ser representado por U = [𝒖𝟏, 𝒖𝟐,</p><p>𝒖𝟑, ..., 𝒖𝒏 ]</p><p>Exemplo:</p><p>Consideremos os vetores do plano ℝ2 , 𝑢 = 1; 0 e 𝑣 = 0; 1 .</p><p>Podemos então verificar que todos os vetores de ℝ2 podem ser</p><p>obtidos através de uma combinação linear envolvendo 𝑢 =</p><p>1; 0 e 𝑣 = 0; 1 , logo esse plano ℝ2 será gerado por tais</p><p>vetores.</p><p>ℝ2 = [ 𝑢 ; 𝑣 ]</p><p>Conjunto de vetores LI e Conjunto de vetores LD</p><p>Sendo dado um conjunto de vetores { 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑, ..., 𝒖𝒏 } de um</p><p>espaço vetorial V, podemos classificá-lo de LI ( linearmente</p><p>Independente ) ou LD ( linearmente dependente ), de acordo com a</p><p>igualdade a seguir:</p><p>𝜶𝟏 ∙ 𝒖𝟏 + 𝜶𝟐 ∙ 𝒖𝟐 +⋯+ 𝜶𝒏 ∙ 𝒖𝒏 = 𝟎</p><p> Se 𝜶𝟏 = 𝜶𝟐 = … = 𝜶𝒏 = 𝟎 ( LI )</p><p> Se pelo menos um dos 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, … , 𝜶𝒏 for diferente de zero ( LD )</p><p>Exemplo: Considere o espaço amostral V = ℝ𝟐 e os vetores</p><p>𝒗𝟏 = ( 𝟏; 𝟎 ) e 𝒗𝟐 = ( 𝟎; 𝟏 ) pertencentes a V.</p><p>Verificaremos que o conjunto formado por 𝒗𝟏 e 𝒗𝟐 será LI, pois:</p><p>𝜶𝟏 ∙ 𝒗𝟏 + 𝜶𝟐 ∙ 𝒗𝟐 = 𝟎 ⇒ 𝜶𝟏 ∙ 𝟏; 𝟎 + 𝜶𝟐 ∙ 𝟎 ; 𝟏 = 𝟎; 𝟎 ⇒</p><p>𝜶𝟏; 𝜶𝟐 = 𝟎 ; 𝟎 , logo 𝜶𝟏 = 𝟎 e 𝜶𝟐 = 𝟎 .</p><p>Base de um espaço vetorial</p><p>Sendo dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, formado pelos</p><p>vetores 𝒘𝟏; 𝒘𝟐; … ; 𝒘𝒏 será chamado de base do espaço V se:</p><p> 𝒘𝟏; 𝒘𝟐; … ; 𝒘𝒏 for LI;</p><p> 𝒘𝟏; 𝒘𝟐; … ; 𝒘𝒏 gerar V ou seja, V = 𝒘𝟏; 𝒘𝟐; … ; 𝒘𝒏</p><p>Considere o subconjunto do ℝ𝟐 formado pelo vetores</p><p>𝒘𝟏 = 𝟏; 𝟏 e 𝒘𝟐 = 𝟎; 𝟏 . Vamos verificar que esses dois vetores</p><p>são uma base de ℝ𝟐.</p><p>Resolução:</p><p> 𝜶𝟏 ∙ 𝒘𝟏 + 𝜶𝟐 ∙ 𝒘𝟐 = 𝟎; 𝟎 ⇒ 𝜶𝟏 ∙ (𝟏; 𝟏 ) + 𝜶𝟐 ∙ ( 𝟎; 𝟏 ) =</p><p>𝟎; 𝟎 de onde podemos verificar que 𝜶𝟏 = 𝜶𝟐 = 𝟎 e assim</p><p>então o subconjunto é LI.</p><p> Podemos ainda observar que o os dois vetores geram o ℝ2, pois</p><p>um vetor genérico Ԧ𝑣 = ( 𝑥; 𝑦 ), com x e y pertencente ao conjunto</p><p>dos números reais ( ℝ ), pode ser obtido da seguinte forma:</p><p>𝑥; 𝑦 = 𝑥 ∙ 1; 1 + 𝑦 − 𝑥 ∙ ( 0; 1 ), ou seja, são geradores de V.</p><p>Transformações Lineares</p><p>Professor: Antônio Fabiano Paiva</p><p>Definição:</p><p>Sendo dados espaços vetoriais V e W, definimos uma transformação linear</p><p>de V em W ( 𝑇: 𝑉 → 𝑊 ), como sendo uma aplicação que leva cada vetor</p><p>𝑣 ∈ 𝑉 a um único vetor 𝑤 ∈ 𝑊. Denotaremos transformação linear aplicada</p><p>a um vetor 𝑣 como 𝑇(𝑣).</p><p>Importante</p><p>Uma transformação linear deverá ser “fechada” para a soma e também</p><p>para o produto por escalar.</p><p>Sendo dados dois vetores 𝑣1 e 𝑣2 pertencentes ao espaço amostral V,</p><p>onde 𝑇: 𝑉 → 𝑊 , teremos:</p><p>∗ 𝑇 𝑣1 + 𝑇 𝑣2 = 𝑇 𝑣1 + 𝑣2 ∗ 𝑘. 𝑇 𝑣1 = 𝑇 (𝑘. 𝑣1 )</p><p>Portanto para verificar se uma determinada aplicação entre dois</p><p>espaços vetoriais é uma transformação linear, basta</p><p>verificarmos essas duas situações:</p><p>Exemplo:</p><p>Consideremos os espaço vetoriais V= ℝ2 e W = ℝ3. Vamos</p><p>apresentar a aplicação:</p><p>𝑇: 𝑉 → 𝑊 , tal que 𝑇 𝑥; 𝑦 = ( −𝑥 ; 𝑥 + 𝑦, 0 ) e verificar que se</p><p>trata de uma transformação linear.</p><p>Resolução:</p><p>Primeira parte: Consideremos dois vetores 𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉, onde vamos</p><p>verificar o fechamento para a soma.</p><p>Sabemos que 𝑣1, 𝑣2 ∈ ℝ2 logo poder ser expressos assim:</p><p>𝑣1 = ( 𝑥1; 𝑦1 ) e 𝑣2 = ( 𝑥2; 𝑦2 ) , com 𝑥1, 𝑥2, 𝑦1 𝑒 𝑦2 ∈ ℝ e portanto</p><p>𝑣1 + 𝑣2 = (𝑥1 + 𝑥2; 𝑦1 + 𝑦2 )</p><p>Logo:</p><p>𝑇 𝑣1 = 𝑇( 𝑥1; 𝑦1 ) = −𝑥1; 𝑥1 + 𝑦1; 0</p><p>𝑇 𝑣2 = 𝑇( 𝑥2; 𝑦2 ) = −𝑥2; 𝑥2 + 𝑦2; 0 e assim 𝑇 𝑣1 + 𝑇 𝑣2 seria:</p><p>𝑇 𝑣1 + 𝑇 𝑣2 = −𝑥1; 𝑥1 + 𝑦1; 0 + −𝑥2; 𝑥2 + 𝑦2; 0</p><p>𝑇 𝑣1 + 𝑇 𝑣2 = −𝑥1 − 𝑥2; 𝑥1 + 𝑦1 + 𝑥2 + 𝑦2; 0 + 0</p><p>𝑇 𝑣1 + 𝑇 𝑣2 = −(𝑥1 + 𝑥2); 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2; 0 = 𝑇 (𝑣1 + 𝑣2)</p><p>Segunda parte: Consideremos agora o vetor 𝑣 ∈ ℝ2e um</p><p>número real k.</p><p>𝑣 = 𝑥 ; 𝑦 → 𝑘 ∙ 𝑣 = 𝑘 𝑥; 𝑦 = (𝑘𝑥; 𝑘𝑦 )</p><p>portanto 𝑇 𝑣 = 𝑇 𝑥; 𝑦 = −𝑥 ; 𝑥 + 𝑦; 0 e assim</p><p>𝑘 ∙ 𝑇 𝑣 = 𝑘 ∙ 𝑇 𝑥; 𝑦 = 𝑘 ∙ −𝑥; 𝑥 + 𝑦; 0 = −𝑘𝑥; 𝑘𝑥 + 𝑘𝑦; 0</p><p>= 𝑇(𝑘𝑣)</p><p>E finalmente então verificamos que a aplicação é uma</p><p>transformação linear.</p><p>Propriedades das transformações lineares</p><p>Considerando T como uma transformação linear de V em W, sendo V e W</p><p>dois espaços vetoriais ( 𝑇: 𝑉 → 𝑊 ), podemos estabelecer as seguintes</p><p>propriedades:</p><p> 𝑇 0 = 0</p><p> 𝑇 − Ԧ𝑣 = −𝑇 Ԧ𝑣 , para qualquer 𝑣 ∈ 𝑉.</p><p> 𝑇 𝑢 − Ԧ𝑣 = 𝑇 𝑢 − 𝑇( Ԧ𝑣)</p><p>Exemplo importante:</p><p>Considere a seguinte transformação linear: 𝑇: 𝑉 → 𝑊 onde V = ℝ2 e W = P2 e que T ( 1;1 ) =</p><p>2 – 3x + x2 e T ( 2;3) = 1 – x2, vamos então determinar T ( - 2 ; 1 ).</p><p>Resolução:</p><p>Os vetores ( 1; 1 ) e ( 2; 3) são base para ℝ2, logo, todos os outros vetores do ℝ2 podem ser</p><p>escritos como uma combinação linear deles, logo:</p><p>𝛼 ∙ 1; 1 + 𝛽 ∙ 2; 3 = −2 ; 1 e assim encontraremos 𝛼 = −8 𝑒 𝛽 = 3</p><p>Portanto:</p><p>−8 ∙ 1; 1 + 3 ∙ 2; 3 = −2 ; 1 ⇒ 𝑇 −2; 1 = 𝑇( −8 ∙ 1; 1 + 3 ∙ 2; 3 )</p><p>𝑇 −8. 1; 1 + 𝑇 3 ∙ 2; 3 = −8 ∙ 𝑇 1; 1 + 3 ∙ 𝑇 2; 3 ⟹−8 ∙ 2 − 3𝑥 + 𝑥2 + 3 ∙ 1 − 𝑥2</p><p>Logo:</p><p>𝑇 −2; 1 = −11𝑥2 + 24𝑥 − 13</p><p>Geometria Analítica:</p><p>retas, circunferências e cônicas</p><p>Professor: Antônio Fabiano Paiva</p><p>Introdução à Geometria Analítica</p><p>Para iniciarmos o estudo da geometria analítica, é necessário conhecermos</p><p>o Plano Cartesiano:</p><p>O Eixo Y (linha vertical) é chamado de eixo das</p><p>ordenadas, enquanto que o Eixo X (linha horizontal), é</p><p>chamado de eixo das abscissas. O ponto P (ponto</p><p>vermelho da figura) possui duas coordenadas: X e Y , que</p><p>indicam em que lugar dos eixos das ordenadas e abscissas</p><p>ele se encontra. Representa-se isso por (Xp, Yp).</p><p>Os números romanos nos cantos mostram os quadrantes</p><p>do plano cartesiano. Os pontos do eixo X que estão nos</p><p>quadrantes II e III são negativos, enquanto que em I e IV</p><p>são positivos. Os valores de Y nos quadrantes I e II são</p><p>positivos, e nos restantes (III e IV), esses valores são</p><p>negativos.</p><p>http://www.infoescola.com/matematica/introducao-a-geometria-analitica-bissetriz-plano-cartesiano/</p><p>http://www.infoescola.com/matematica/introducao-a-geometria-analitica-bissetriz-plano-cartesiano/</p><p>http://www.infoescola.com/matematica/numeros-romanos/</p><p>Distância entre dois pontos</p><p>A menor distância entre dois pontos é dada pela seguinte relação:</p><p>se soubermos as coordenadas de dois pontos no plano cartesiano (ponto A e</p><p>B), é possível determinar a sua distância, utilizando o teorema de Pitágoras</p><p>(a² = b² + c²).</p><p>A fórmula encontrada permite</p><p>encontrar a distância entre</p><p>quaisquer pares de pontos do</p><p>plano, conhecendo apenas suas</p><p>coordenadas.</p><p>Distância entre ponto e reta</p><p>Sendo dada uma reta r de equação geral sendo ax + by + c = 0 e</p><p>um ponto P ( 𝑥0; 𝑦0), podemos calcular a distância de P até r da</p><p>seguinte maneira:</p><p>Reta no plano cartesiano</p><p>Definição</p><p>Reta é o conjunto de infinitos pontos do plano que estão alinhados.</p><p>Podemos trabalhar a equação geral de uma reta usando a condição</p><p>de alinhamento de três pontos.</p><p>Três pontos</p><p>estão alinhados se, e somente se, pertencerem à</p><p>mesma reta.</p><p>• Para verificarmos se os pontos estão alinhados, podemos utilizar a construção</p><p>gráfica determinando os pontos de acordo com suas coordenadas posicionais.</p><p>• Outra forma de determinar o alinhamento dos pontos é através do cálculo do</p><p>determinante pela regra de Sarrus envolvendo a matriz das coordenadas.</p><p>Consideremos três pontos A, B e C pertencentes a mesma reta ( colineares ),</p><p>podemos então afirmar que:</p><p>𝑥𝐴 𝑦𝐴 1</p><p>𝑥𝐵 𝑦𝐵 1</p><p>𝑥𝐶 𝑦𝐶 1</p><p>= 0</p><p>Equação geral de uma reta</p><p>Conhecendo dois pontos A e B quaisquer de uma reta, podemos encontrar a sua</p><p>forma geral, através do alinhamento de três pontos: os dois conhecidos e o</p><p>ponto genérico, que representa todos os infinitos pontos da reta.</p><p>𝑥 𝑦 1</p><p>𝑥𝐴 𝑦𝐴 1</p><p>𝑥𝐵 𝑦𝐵 1</p><p>= 0 ax + by +c =0 onde</p><p>a = 𝑦𝐴 - 𝑦𝐵 , b = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 e c= 𝑥𝐴 . 𝑦𝐵- 𝑥𝐵 . 𝑦𝐴</p><p>Equação reduzida de uma reta</p><p>A forma reduzida de uma reta r é dada a partir da seguinte estrutura:</p><p>Dada a equação geral da reta r: ax + by + c = 0</p><p>• O seu coeficiente angular é dado por  m = -a/b (isolamos a variável y)</p><p>que determina o ponto de intersecção com a abscissa (raiz)</p><p>• O seu coeficiente linear  n = -c/b</p><p>que determina o ponto de intersecção com a ordenada (raiz)</p><p>E assim então, podemos escrever a equação reduzida da reta r:</p><p>y = mx + n</p><p>Importante:</p><p>O coeficiente angular também pode ser apresentado como a</p><p>declividade da reta</p><p>𝑚 =</p><p>𝑦𝐴−𝑦𝐵</p><p>𝑥𝐵− 𝑥𝐴</p><p>, o que equivale a tg𝛼 ( 𝛼 sendo a inclinação da reta).</p><p>Equação de uma reta passando por um ponto P ( 𝒙𝟎; 𝒚𝟎 )</p><p>Seja P ( 𝑥0; 𝑦0 ) um ponto conhecido. Se quisermos obter a equação</p><p>de uma reta que passe por P, temos que conhecer o seu coeficiente</p><p>angular m, pois as infinitas retas que passam por P diferem de m (</p><p>angulação ).</p><p>𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. ( 𝑥 − 𝑥0 )</p><p>Posições relativas entre retas</p><p> Retas paralelas: Sendo duas retas r e s paralelas ( r // s ), temos</p><p>𝑚𝑟 = 𝑚𝑠</p><p>𝛼1 = 𝛼2</p><p> Retas perpendiculares: duas retas r e s são perpendiculares</p><p>( r ⊥ s) quando os seus coeficientes angulares são tais que</p><p>𝑚𝑟 . 𝑚𝑠 = −1</p><p>Definição</p><p>Dados um ponto C, pertencente ao plano 𝛼, e uma distância r não</p><p>nula, chama-se circunferência ao conjunto de pontos de 𝛼 que estão</p><p>a distância r do ponto C.</p><p>Equação reduzida de uma circunferência</p><p>Considerando um ponto P ( 𝑥𝑃; 𝑦𝑃) pertencente à circunferência</p><p>𝜑 de centro no ponto C ( 𝑥𝐶: 𝑦𝐶), podemos então, pela definição,</p><p>concluir que:</p><p>𝑑𝑃𝐶 = 𝑟</p><p>(𝑥𝑃 − 𝑥𝐶)</p><p>2+(𝑦𝑃 − 𝑦𝐶)</p><p>2= 𝑟</p><p>Logo:</p><p>(𝑥𝑃 − 𝑥𝐶)</p><p>2+(𝑦𝑃 − 𝑦𝐶)</p><p>2= 𝑟2</p><p>Equação reduzida de uma circunferência</p><p>Equação geral de uma circunferência</p><p>A partir da equação reduzida, desenvolvemos os quadrados e encontramos a</p><p>seguinte equação:</p><p>𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0</p><p>Onde A = B, C = -2𝑥𝐶 , D = -2𝑦𝐶</p><p>E = 𝑥𝐶</p><p>2 + 𝑦𝐶</p><p>2 − 𝑟2</p><p>Definição</p><p>Uma elipse é conjunto de pontos do plano cuja soma das</p><p>distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é constante e vale 2a.</p><p>Elementos principais de uma elipse</p><p>𝐹1𝑒 𝐹2 - Focos da elipse</p><p>O – centro da elipse</p><p>𝐴1𝐴2- eixo maior</p><p>𝐵1𝐵2- eixo menor</p><p>2c – distância focal</p><p>2a – medida do eixo maior</p><p>2b – medida do eixo menor</p><p>c/a - excentricidade</p><p>Relação notável</p><p>𝑎2= 𝑏2 + 𝑐2</p><p>Equação reduzida de uma elipse</p><p>Conforme a demonstração feita, a equação reduzida de uma elipse de centro na</p><p>origem, eixo maior x e eixo menor y é a seguinte:</p><p>1</p><p>b</p><p>y</p><p>a</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p>Exemplo:</p><p>Temos a seguir uma elipse com centro na origem, eixo maior</p><p>medindo 10 e distância focal igual a 6.</p><p>Pela relação notável das elipses, temos que:</p><p>52 = 32 + b2,</p><p>25 = 9 + b2</p><p>b2 = 25 – 9</p><p>b = 4 1</p><p>16</p><p>y</p><p>25</p><p>x 22</p><p></p><p>Definição</p><p>Dados dois pontos distintos F1 e F2, pertencentes a um plano, seja 2c a distância entre eles. Chamamos de</p><p>hipérbole ao conjunto de pontos do plano cuja diferença ( em módulo ) das distâncias a F1 e F2 é</p><p>constante e igual a 2a ( sendo respeitada a seguinte desigualdade 0 < 2a < 2c).</p><p>Elementos principais de uma hipérbole:</p><p>Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:</p><p>focos: os pontos F1 e F2</p><p>vértices: os pontos A1 e A2</p><p>centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de A1A2</p><p>semieixo real: a</p><p>semieixo imaginário: b</p><p>semidistância focal: c</p><p>distância focal: 2c</p><p>eixo real: 2a</p><p>eixo imaginário: 2b</p><p>Excentricidade</p><p>Chamamos de excentricidade o número real e tal que:</p><p>Como c > a, temos e > 1.</p><p>Caso de uma hipérbole com centro na origem e eixo real y.</p><p>Nessas condições, a equação da hipérbole é:</p><p>Definição</p><p>Dados um ponto F e uma reta d , pertencentes a um plano, com F não</p><p>pertencente à reta d, seja p a distância entre F e d. Chamamos de parábola ao</p><p>conjunto de pontos do plano que estão à mesma distância de F e de d.</p><p>Veja o desenho:</p><p>Reta</p><p>diretriz</p><p>Foco da</p><p>parábola</p>