Conceitos de Derivadas

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<p>Você acertou 1 de 10 questões</p><p>Verifique o seu desempenho e continue treinando! Você pode refazer o exercício</p><p>quantas vezes quiser.</p><p>Verificar Desempenho</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>1 Marcar para revisão</p><p>Determine o máximo e o mínimo global, respectivamente, de , com</p><p>.</p><p>f(x) = √9 − x2</p><p>x ∈ [−2, 1]</p><p>0  e  1</p><p>0 e  �2</p><p>�2 e 1</p><p>1 e  �2</p><p>Não existe ponto de máximo global ou mínimo global neste domínio</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>A função atinge seu valor mínimo de 0 quando ou</p><p>, e seu valor máximo de �2 quando . Portanto, os valores máximo e</p><p>mínimo globais da função, respectivamente, são 0 e �2.</p><p>f(x) = √9 − x2 x = −2</p><p>x = 1 x = 0</p><p>2 Marcar para revisão</p><p>Questão 1</p><p>de</p><p>10</p><p>Corretas �1�</p><p>Incorretas �9�</p><p>Em branco �0�</p><p>1 2 3 4 5</p><p>6 7 8 9 10</p><p>Exercicio Derivadas: Aplicações Sair</p><p>28/08/2024, 15:40 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/ 1/11</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>Seja a função g(x) = 2x sen(x ) + 2 sen x + 4. Este gráfico apresenta uma reta normal</p><p>no ponto de abscissa nula de equação , p  e q reais , é normal ao</p><p>gráfico da função no ponto de abscissa zero. Determine o valor de</p><p>2</p><p>px+ qy− 16 = 0</p><p>(p+ q)/(q − p).</p><p>3.</p><p>4.</p><p>5.</p><p>6.</p><p>1.</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>A resposta correta é: 3</p><p>Derivando a função g(x):</p><p>Derivando a primeira parcela:</p><p>Derivando a segunda parcela:</p><p>A derivada da terceira parcela é zero, pois é uma constante.</p><p>Portanto, a derivada da função g(x) é:</p><p>Agora, temos que encontrar a inclinação da reta normal no ponto de interesse (x =</p><p>0�.</p><p>Vamos substituir x = 0 na derivada g'(x) para encontrar a inclinação da reta</p><p>normal no ponto de interesse:</p><p>Inclinação da reta normal em x = 0�</p><p>Em seguida, encontrar a inclinação da reta normal no ponto de abscissa zero.</p><p>A reta normal é perpendicular à curva no ponto de tangência. Portanto, sua</p><p>inclinação será o negativo do inverso da inclinação encontrada anteriormente.</p><p>g(x) = 2xsen(x2) + 2sen(x) + 4</p><p>g′(x) = d/dx(2xsen(x2)) + d/dx(2sen(x)) + d/dx(4)</p><p>d/dx(2xsen(x2)) = 2sen(x2) + 4xcos(x2). d/dx(x2)</p><p>= 2sen(x2) + 4xcos(x2).2x</p><p>= 2sen(x2) + 8x2cos(x2)</p><p>d/dx(2sen(x)) = 2cos(x)</p><p>g′(x) = 2sen(x2) + 8x2cos(x2) + 2cos(x)</p><p>m = g′(0) = 2sen(02) + 8(0)2cos(02) + 2cos(0) = 2(0) + 8(0) + 2 = 2</p><p>Inclinação da reta normal  = −1/(inclinação da reta tangente) = −1/2</p><p>28/08/2024, 15:40 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/ 2/11</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>Encontrando a equação da reta normal.</p><p>Agora, usamos a fórmula da equação da reta:</p><p>onde é o ponto dado �0, g(0�) e "m" é a inclinação da reta normal.</p><p>Agora, ajustamos a equação para que a forma seja :</p><p>Portanto, temos que p = 1 e q = 2.</p><p>Queremos determinar:</p><p>y− y0 = m(x− x0)</p><p>(x0, y0)</p><p>y− g(0) = (−1/2)(x− 0)</p><p>y− (2.0.sen(0) + 2.sen(0) + 4) = (−1/2)x</p><p>y− (0 + 2.0 + 4) = (−1/2)x</p><p>y− 4 = (−1/2)x</p><p>px+ qy− 16 = 0</p><p>2y− 8 = −x</p><p>x+ 2y− 8 = 0</p><p>(p+ q)/(q − p) = (1 + 2)/(2 − 1) = 3/1 = 3.</p><p>3 Marcar para revisão</p><p>A energia cinética de um corpo é dada pela relação . Determine a</p><p>expressão que mostra a taxa de variação de k com o tempo.</p><p>k = mv21</p><p>2</p><p>= m2 ⋅ v ⋅ a.dk</p><p>dt</p><p>= m ⋅ v2 ⋅ a.dk</p><p>dt</p><p>= m ⋅ v ⋅ a2.dk</p><p>dt</p><p>= .dk</p><p>dt</p><p>m⋅v⋅a</p><p>2</p><p>= m ⋅ v ⋅ a.dk</p><p>dt</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>Como temos:</p><p>=?</p><p>= = m</p><p>dk</p><p>dt</p><p>dk</p><p>dt</p><p>d ( mv2)1</p><p>2</p><p>dt</p><p>1</p><p>2</p><p>d (v2)</p><p>dt</p><p>= ⋅ ,</p><p>d(v2)</p><p>dt</p><p>d(v2)</p><p>dt</p><p>dv</p><p>dt</p><p>28/08/2024, 15:40 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/ 3/11</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>Como a aceleração é dada por:</p><p>= m ⋅ = m ⋅ 2v ⋅ = mvdk</p><p>dt</p><p>1</p><p>2</p><p>d(v2)</p><p>dt</p><p>dv</p><p>dt</p><p>1</p><p>2</p><p>dv</p><p>dt</p><p>dv</p><p>dt</p><p>= a</p><p>dv</p><p>dt</p><p>= m ⋅ v ⋅ adk</p><p>dt</p><p>4 Marcar para revisão</p><p>Umas das aplicações dos conceitos de derivada está na obtenção de retas tangentes</p><p>e normais em um ponto. Sabendo disso, determine a equação da reta normal a</p><p>e a origem.y = x√9 + x2</p><p>y = x.1</p><p>3</p><p>y = 2x.</p><p>y = 9x.</p><p>y = 3x.</p><p>y = x.2</p><p>3</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>Aplicando o ponto �0,0��</p><p>y = x√9 + x2</p><p>v = x;u = 9 + x2</p><p>= u + x ⋅ ⋅</p><p>= (9 + x2) + x ⋅ ⋅ (9 + x2)</p><p>−</p><p>⋅ 2x</p><p>= (9 + x2) + = m</p><p>dy</p><p>dx</p><p>dx</p><p>dx</p><p>1</p><p>2</p><p>d(u )</p><p>1</p><p>2</p><p>du</p><p>d (9 + x2)</p><p>dx</p><p>dy</p><p>dx</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>dy</p><p>dx</p><p>1</p><p>2</p><p>x</p><p>(9 + x2)</p><p>1</p><p>2</p><p>m = (9 + x2) + = (9 + 02) + = √9 = 3</p><p>1</p><p>2 x</p><p>(9+x2)</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2 0</p><p>(9+02)</p><p>1</p><p>2</p><p>28/08/2024, 15:40 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/ 4/11</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>Equação da reta:</p><p>y− y0 = m (x− x0)</p><p>y− 0 = 3(x− 0)</p><p>y = 3x</p><p>5 Marcar para revisão</p><p>Ao se analisar uma função por meio de suas derivas pode-se deduzir muitas</p><p>informações acerca do comportamento desta função. A respeito de uma função</p><p>analise as asserções a seguir:</p><p>।. A derivada da função é da por , sendo eu se , a função</p><p>é dita como crescente dentro de seu intervalo.</p><p>PORQUE</p><p>II. A concavidade da função será volta para cima se sua segunda deriva</p><p>respeitar a condição: .</p><p>Analisando as asserções realizadas acima, assinale a opção que representa a correta</p><p>razão entre elas.</p><p>y = f(x)</p><p>y = f(x)</p><p>y = f(x)</p><p>dy</p><p>dx</p><p>< 0</p><p>dy</p><p>dx</p><p>y = f(x)</p><p>y = f(x)</p><p>> 0d2y</p><p>dx2</p><p>A asserção I está correta e a asserção II é uma justificativa da asserção I.</p><p>A asserção I está correta e a asserção II está correta, mas não é uma</p><p>justificativa da asserção I.</p><p>A asserção I está correta e a asserção II está incorreta.</p><p>A asserção I está incorreta e a asserção II está correta.</p><p>Ambas as asserções estão incorretas.</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>I�Incorreta: A função é crescente se sua derivada for maior que zero:</p><p>II � Correta: A concavidade é positiva, isto é, voltada para cima atender a</p><p>condição .</p><p>y = f(x)</p><p>> 0</p><p>dy</p><p>dx</p><p>> 0</p><p>d2y</p><p>dx2</p><p>28/08/2024, 15:40 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/ 5/11</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>6 Marcar para revisão</p><p>Suponha que temos uma função h(x) definida por partes, onde a expressão varia</p><p>dependendo do intervalo de x. A função é definida da seguinte forma:</p><p>. Quantos pontos extremos locais a função apresenta?h(x) = {</p><p>2ex,  [−4, 0)</p><p>x2 − 4x+ 2,  [0, 4)</p><p>4.</p><p>0.</p><p>2.</p><p>1.</p><p>3.</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>A resposta correta é: 1.</p><p>Para determinar o número de pontos extremos locais da função h(x), precisamos</p><p>verificar se existem pontos críticos (onde a derivada é igual a zero ou não existe)</p><p>dentro dos intervalos especificados.</p><p>A função h(x) é definida como:</p><p>Vamos encontrar os pontos críticos e verificar quantos existem em cada intervalo:</p><p>Intervalo ��4, 0��</p><p>Para x em ��4, 0�, a derivada da função h(x) é:</p><p>Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:</p><p>Não existe solução real para essa equação, portanto, não há ponto crítico nesse</p><p>intervalo.</p><p>Intervalo �0, 4��</p><p>Para x em �0, 4�, a derivada da função h(x) é:</p><p>h(x) = {</p><p>2ex,  [−4, 0)</p><p>x2 − 4x+ 2,  [0, 4)</p><p>h′(x) = d/dx(2ex) = 2ex</p><p>2ex = 0</p><p>28/08/2024, 15:40 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/ 6/11</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:</p><p>O ponto crítico é x = 2.</p><p>Agora, determinamos o número de pontos extremos locais:</p><p>Como não há pontos críticos no intervalo ��4, 0) e apenas um ponto crítico no</p><p>intervalo �0, 4�, temos apenas um ponto extremo local da função h(x) em x =</p><p>2.</p><p>Portanto, a função h(x) possui apenas 1 ponto extremo local.</p><p>h′(x) = d/dx(x2 − 4x+ 2) = 2x− 4</p><p>2x− 4 = 0</p><p>2x = 4</p><p>x = 2</p><p>7 Marcar para revisão</p><p>Seja a função f(x) = x  - 6x + 9. Sejam duas retas tangentes ao gráfico desta função.</p><p>Uma das retas é tangente ao ponto P�4,1�. A outra tangente intercepta a primeira reta</p><p>tangente no ponto de  ordenada igual a �1 O ponto de tangência entre a segunda reta e</p><p>o gráfico de f(x) tem coordenadas ( a , b), com a e b reais. Determine o valor de a + b.</p><p>2</p><p>2.</p><p>3.</p><p>4.</p><p>5.</p><p>6.</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>A resposta correta é: 3</p><p>Seja</p><p>A reta tangente a f(x) será dada por:</p><p>onde</p><p>f(x) = x2 − 6x+ 9</p><p>y = mx+ n</p><p>28/08/2024, 15:40 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/ 7/11</p><p>A</p><p>B</p><p>Derivando f(x):</p><p>Substituindo o P�4,1�, temos:</p><p>Voltando na equação da reta tangente:</p><p>Substituindo o P�4,1�, temos:</p><p>Sabemos que a outra reta tangente intercepta a primeira reta tangente no ponto</p><p>de ordenada �1. Logo,</p><p>O ponto de interseção é: �3,�1�</p><p>Sabemos que o ponto de tangência entre a segunda reta e o gráfico da f(x) tem</p><p>coordenada (a,b), devemos determine (a + b).</p><p>As retas tangentes ao gráfico da f(x) são simétricas em relação ao eixo das</p><p>ordenadas, então partindo do ponto �4,1) a segunda reta será tangente num ponto</p><p>(x,1).</p><p>Para encontrar o valor de x, basta que façamos y = 1 na f(x), ou seja:</p><p>Como x¿�4 já é o ponto da primeira reta tangente, utilizamos x¿¿�2.</p><p>Portanto a segunda reta tem coordenada de tangencia à f(x) no ponto �2,1�, logo:</p><p>m = d[f(x)]/dx</p><p>m = d[x2 − 6x+ 9]/dx = 2x− 6</p><p>m = 2x− 6 = 2.4 − 6 = 2</p><p>y = mx+ n = 2x+ n</p><p>y = 2x+ n</p><p>1 = 2.4 + n</p><p>n = −7</p><p>y = 2x− 7</p><p>−1 = 2x− 7</p><p>x = 3</p><p>f(x) = x2 − 6x+ 9</p><p>1 = x2 − 6x+ 9</p><p>x2 − 6x+ 8 = 0</p><p>x′ = 4 e x′′ = 2</p><p>a = 2;  b = 1</p><p>a+ b = 3</p><p>8 Marcar para revisão</p><p>Um tanque esférico é preenchido com água à uma vazão constante. Determine uma</p><p>expressão da variação do raio com o tempo à medida que o tanque é preenchido.</p><p>= ⋅ .dR</p><p>dt</p><p>1</p><p>4πR2</p><p>dV</p><p>dt</p><p>= 4πR2 ⋅ .dR</p><p>dt</p><p>dV</p><p>dt</p><p>28/08/2024, 15:40 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/ 8/11</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>= ⋅ .dR</p><p>dt</p><p>1</p><p>4πR3</p><p>dV</p><p>dt</p><p>= ⋅ .dR</p><p>dt</p><p>4π</p><p>R2</p><p>dV</p><p>dt</p><p>= ⋅ .dR</p><p>dt</p><p>1</p><p>πR2</p><p>dV</p><p>dt</p><p>Resposta correta</p><p>Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito</p><p>comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>=?</p><p>= C</p><p>= ⋅</p><p>= ⋅ = π ⋅ ⋅ = π ⋅ 3R2 ⋅ = 4πR2</p><p>= ⋅</p><p>dR</p><p>dt</p><p>dV</p><p>dt</p><p>dV</p><p>dt</p><p>dV</p><p>dR</p><p>dR</p><p>dt</p><p>dV</p><p>dt</p><p>d( πR3)4</p><p>3</p><p>dR</p><p>dR</p><p>dt</p><p>4</p><p>3</p><p>dR3</p><p>dt</p><p>dR</p><p>dt</p><p>4</p><p>3</p><p>dR</p><p>dt</p><p>dR</p><p>dt</p><p>dR</p><p>dt</p><p>1</p><p>4πR2</p><p>dV</p><p>dt</p><p>9 Marcar para revisão</p><p>A capacitância equivalente de um circuito �C ) é calculada através da fórmula</p><p>, com todas as capacitâncias medidas em . As capacitâncias C</p><p>e C têm seus valores aumentados a uma taxa de 0,1 . A variância C decresce</p><p>com uma taxa de 0,1 . Determine a variação da capacitância equivalente com o</p><p>tempo em segundo para um instante que C = C = 10  e C = 15  .</p><p>0</p><p>C0 = C1 +</p><p>C2C3</p><p>C2+C3</p><p>μF 1</p><p>2 μF/s 3</p><p>μF/s</p><p>1 2 μF 3 μF</p><p>28/08/2024, 15:40 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/ 9/11</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>0, 10μF/s</p><p>0, 11μF/s</p><p>0, 12μF/s</p><p>0, 13μF/s</p><p>0, 15μF/s</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>A questão pede a variação da capacitância equivalente com o tempo. Para</p><p>encontrar essa variação, é necessário aplicar a fórmula dada no enunciado,</p><p>considerando as taxas de variação das capacitâncias C , C e C . Ao realizar os</p><p>cálculos, considerando que C = C = 10  e C = 15  , obtemos a variação da</p><p>capacitância equivalente como .</p><p>1 2 3</p><p>1 2 μF 3 μF</p><p>0, 12μF/s</p><p>10 Marcar para revisão</p><p>A aplicabilidade das derivadas de funções é imensurável, podendo ser aplicadas em</p><p>diversas áreas de estudo e em inúmeros contextos. Sabendo disso, determine a</p><p>equação da reta tangente a e o ponto �1,6�.y2 − 4xy = 12</p><p>y = 3x+ 3.</p><p>y = 4x+ 2.</p><p>y = 3x+ 5.</p><p>y = 6x+ 3.</p><p>y = 7x+ 1.</p><p>28/08/2024, 15:40 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/ 10/11</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>Aplicando o ponto �1,6��</p><p>Equação da reta:</p><p>y2 − 4xy = 12</p><p>− (4 ⋅ ⋅ y+ 4 ⋅ x ⋅ ) =</p><p>2y − 4y− 4x = 0</p><p>= = m</p><p>dy2</p><p>dy</p><p>dy</p><p>dx</p><p>dx</p><p>dx</p><p>dy</p><p>dy</p><p>dy</p><p>dx</p><p>d(12)</p><p>dx</p><p>dy</p><p>dx</p><p>dy</p><p>dx</p><p>dy</p><p>dx</p><p>4y</p><p>2y− 4x</p><p>m = = = = 3</p><p>4y</p><p>2y−4x</p><p>4⋅6</p><p>2⋅1−4⋅1</p><p>24</p><p>8</p><p>y− y0 = m (x− x0)</p><p>y− 6 = 3(x− 1)</p><p>y− 6 = 3x+ 3</p><p>y = 3x+ 3</p><p>28/08/2024, 15:40 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f0cc669e5c9f44ac6f4/gabarito/ 11/11</p>