Comandos Básicos Envolvendo Variáveis de Memória

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<p>MODELAGEM</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Unidade 2</p><p>Equações e função de segundo</p><p>grau; vetores; e matrizes</p><p>CEO</p><p>DAVID LIRA STEPHEN BARROS</p><p>Diretora Editorial</p><p>ALESSANDRA FERREIRA</p><p>Gerente Editorial</p><p>LAURA KRISTINA FRANCO DOS SANTOS</p><p>Projeto Gráfico</p><p>TIAGO DA ROCHA</p><p>Autoria</p><p>GLAUCO ANTÔNIO DO NASCIMENTO</p><p>RAFAELA RODRIGUES OLIVEIRA AMARO</p><p>KÁTIA GISELLE ALBERTO BASTOS</p><p>4 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>A</p><p>U</p><p>TO</p><p>RI</p><p>A</p><p>Glauco Antônio do Nascimento</p><p>Olá. Sou formado em Gestão de Negócios e em Licenciatura</p><p>em Matemática. Possuo MBA em Gestão Empresarial e experiência</p><p>técnico-profissional na área de Tecnologia da Informação (TI) há</p><p>mais de 29 anos. Na área da Educação, atuei por 6 anos como</p><p>professor nos ensinos Fundamental, Médio, Técnico e Superior</p><p>(Graduação e Pós-Graduação) de grandes universidades. Como</p><p>sou apaixonado pelo que faço e adoro transmitir a minha</p><p>experiência de vida àqueles que estão iniciando em suas</p><p>profissões e estudos, fui convidado pela Editora Telesapiens a</p><p>integrar o seu elenco de autores independentes. Estou muito</p><p>feliz em ajudá-lo nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte</p><p>comigo!</p><p>Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro</p><p>Olá. Sou formada em Matemática, especialista em</p><p>Metodologia do Ensino de Matemática e pós-graduada em Design</p><p>Educacional. Tenho ampla experiência no âmbito da Educação,</p><p>seja na sala de aula ou na elaboração de material didático para</p><p>diferentes níveis de ensino da Matemática. Apaixonada por</p><p>esta disciplina e pelo processo de sua transmissão, busco a</p><p>elaboração de um material de fácil compreensão. Por isso, fui</p><p>convidada pela Editora Telesapiens a integrar o seu elenco de</p><p>autores independentes. Estou muito feliz em poder auxiliá-lo</p><p>nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!</p><p>Kátia Giselle Alberto Bastos</p><p>Olá. Sou licenciada em Matemática e especialista em</p><p>Metodologia do Ensino de Matemática com ampla experiência</p><p>5MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>A</p><p>U</p><p>TO</p><p>RI</p><p>A</p><p>docente nas esferas dos ensinos Fundamental e Médio. Além</p><p>deste trabalho, tenho experiência como docente de cursos de</p><p>formação de professores em Educação Matemática. Por isso, fui</p><p>convidada pela Editora Telesapiens a integrar o seu elenco de</p><p>autores independentes. Estou muito feliz em poder auxiliá-lo</p><p>nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!</p><p>6 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>ÍC</p><p>O</p><p>N</p><p>ES</p><p>7MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Equações do segundo grau aplicadas .................................... 11</p><p>Identificação e classificação da equação do segundo grau ....................... 11</p><p>Solução de uma equação do segundo grau incompleta ............................ 16</p><p>1º caso: quando b = 0 ........................................................................16</p><p>2º caso: quando c = 0 .........................................................................18</p><p>3º caso: quando b = 0 e c = 0 ..........................................................20</p><p>Solução de uma equação do segundo grau completa ............................... 21</p><p>Estudo do discriminante ..................................................................................28</p><p>Funções quadráticas na prática ............................................. 31</p><p>Função, domínio, contradomínio e imagem .................................................31</p><p>Função quadrática .............................................................................................33</p><p>Raízes ou zeros de uma função quadrática ..................................................38</p><p>Vetores aplicados à física e à computação ........................... 43</p><p>Parábola: concavidade e vértice .....................................................................43</p><p>Construção e interpretação do gráfico ..........................................................49</p><p>Matrizes e sua importância na tecnologia ............................ 57</p><p>Matrizes ...............................................................................................................57</p><p>Operações com matrizes ...................................................................61</p><p>Adição e subtração de matrizes ........................................ 61</p><p>Multiplicação de um número real por uma matriz ........ 62</p><p>Multiplicação de matrizes ................................................... 62</p><p>Vetores .................................................................................................................64</p><p>Adição de vetores ...............................................................................67</p><p>Regra do polígono ...............................................................................67</p><p>SU</p><p>M</p><p>Á</p><p>RI</p><p>O</p><p>8 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>SU</p><p>M</p><p>Á</p><p>RI</p><p>O</p><p>Regra do paralelogramo...................................................... 69</p><p>Subtração de vetores .........................................................................70</p><p>Multiplicação de um número real por um vetor .......................... 72</p><p>9MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>A</p><p>PR</p><p>ES</p><p>EN</p><p>TA</p><p>ÇÃ</p><p>O</p><p>A disciplina Modelagem Matemática faz parte da cadeia</p><p>do ensino de exatas em todas as suas etapas. A sua principal</p><p>responsabilidade consiste em promover a prática da aritmética,</p><p>da álgebra elementar, das geometrias e espacial e também da</p><p>trigonometria. Possui grande influência na área da Física e da</p><p>Tecnologia da Informação (TI), uma vez que necessita de ajustes</p><p>e precisão nos resultados qualitativos e quantitativos. Assim,</p><p>a Matemática lhe proporcionará mais desenvoltura no seu</p><p>raciocínio logico e na sua organização.</p><p>Ao longo desta unidade letiva, você vai mergulhar neste</p><p>universo!</p><p>10 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>O</p><p>BJ</p><p>ET</p><p>IV</p><p>O</p><p>S</p><p>Olá! Seja bem-vindo(a) à Unidade 2 – Equações e função</p><p>de segundo grau; vetores; e matrizes. Nosso objetivo é auxiliá-</p><p>lo(a) no desenvolvimento das seguintes competências até o fim</p><p>desta etapa de estudos:</p><p>1. Entender e resolver problemas que envolvem equações</p><p>quadráticas ou equações de segundo grau.</p><p>2. Utilizar gráficos de segundo grau para descrever o</p><p>comportamento da variação de suas incógnitas, a fim</p><p>de compreender alguns fenômenos físicos na prática.</p><p>3. Definir vetores e entendendo suas aplicações em</p><p>situações-problema no campo da Física e da Informática.</p><p>4. Compreender o conceito de matrizes e discernir sobre</p><p>a sua importância e aplicação na Computação e demais</p><p>ciências afins.</p><p>Preparado para uma viagem rumo ao conhecimento? Ao</p><p>trabalho!</p><p>11MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Equações do segundo grau</p><p>aplicadas</p><p>OBJETIVO</p><p>Neste capítulo, vamos identificar uma equação do</p><p>segundo grau com uma incógnita e saberá aplicá-</p><p>la como um dispositivo que possibilita a resolução</p><p>de diferentes problemas. Além disso, vamos</p><p>compreender como determinar as raízes deste</p><p>tipo de equação.</p><p>Identificação e classificação da</p><p>equação do segundo grau</p><p>Toda igualdade que contém pelo menos uma letra</p><p>(incógnita), que representa um valor desconhecido, denominada</p><p>equação.</p><p>Uma equação pode ser classificada em relação ao</p><p>grau (maior expoente da incógnita) e quanto à quantidade de</p><p>incógnitas. Veja os exemplos:</p><p>Exemplo:</p><p>• 5x + 10 = x – 2</p><p>→ Equação do primeiro grau com</p><p>uma incógnita.</p><p>• a + 3b = 51</p><p>→ Equação do primeiro grau com</p><p>duas incógnitas.</p><p>• r2 + 3r = 13</p><p>→ Equação do segundo grau com</p><p>uma incógnita.</p><p>Então, chamamos de equação do grau quando o maior</p><p>expoente da incógnita for 2.</p><p>12 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Chamamos de equação do segundo grau com</p><p>uma incógnita toda igualdade que pode ser escrita</p><p>na forma ax2 + bx + c = 0, sendo a, b e c números</p><p>reais e a≠0 (número real diferente de zero).</p><p>Em uma equação do segundo grau, é importante destacar</p><p>que:</p><p>• A forma ax2 + bx + c = 0 é chamada de forma geral ou</p><p>forma reduzida.</p><p>• Os números a, b e c são os coeficientes: a é coeficiente</p><p>de x2; b é coeficiente de x; e, c é o termo independente.</p><p>• O coeficiente a é diferente</p><p>de zero (a≠0) para garantir</p><p>que a equação seja do segundo grau, pois terá o termo</p><p>ax2.</p><p>• O valor desconhecido (incógnita) é x.</p><p>Exemplo:</p><p>• 2x2 – x – 20 = 0</p><p>→ Equação do segundo grau com</p><p>uma incógnita.</p><p>• –y2 + 25 = 0</p><p>→ Equação do segundo grau com</p><p>uma incógnita.</p><p>• 2t2 – 16t = 0</p><p>→ Equação do segundo grau com</p><p>uma incógnita.</p><p>Em algumas situações a equação do segundo grau não</p><p>estará escrita na forma geral. Portanto, é importante que você</p><p>organize os termos em ordem decrescente de expoente para</p><p>então identificar corretamente os coeficientes da equação. Veja</p><p>os exemplos:</p><p>13MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Exemplo: determine os coeficientes das equações a seguir:</p><p>a) 6x2 – x = –5</p><p>b) 3y = 7 –y2</p><p>c) x2 = 9</p><p>d) 5x = 2</p><p>3 x2</p><p>Solução: para determinar os coeficientes das equações</p><p>dadas, precisamos reescrevê-las na forma geral, ou seja,</p><p>ax2 + bx + c = 0. Então:</p><p>a) 6x2 – x = –5 → 6x2 – x + 5 = 0, portanto: a = 6; b = –1 e c = 5.</p><p>b) 3y = 7 – y2 → y2 + 3y – 7 = 0, portanto: a = 1; b = 3 e c = –7.</p><p>c) x2 = 9 → x2 – 9 = 0, portanto: a = 1; b = 0 e c = –9.</p><p>d) 5x = 2</p><p>3 x2 → – 2</p><p>3 x2 + 5x = 0, portanto: a=– 2</p><p>3 ; b = 5 e c = 0.</p><p>Note que em todos os exemplos o valor do coeficiente a</p><p>foi diferente de zero, pois todas as equações apresentadas eram</p><p>do segundo grau. Observe, ainda, que, em algumas delas, os</p><p>coeficientes b e c eram iguais a zero. Esse fator será importante</p><p>quando estivermos classificando esse tipo de equação.</p><p>Para solucionarmos a equação, utilizaremos técnicas que</p><p>possibilitam calcular o(s) valor(es) real(is) de x que torna(m) a</p><p>equação válida, isto é, verdadeira, e identificar corretamente os</p><p>coeficientes será essencial.</p><p>Toda equação do segundo grau pode ser classificada de</p><p>acordo com a composição de sua forma algébrica, que é dada por</p><p>14 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>ax2 + bx + c = 0. Existem duas categorias: as equações quadráticas</p><p>completas e as equações quadráticas incompletas.</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Uma equação da forma ax2 + bx + c = 0 é chamada</p><p>de equação do segundo grau incompleta</p><p>quando a≠0 e pelo menos um dos coeficientes b</p><p>ou c é nulo.</p><p>Pela definição, podemos concluir que as equações do</p><p>segundo grau do tipo incompletas podem ser escritas das</p><p>seguintes maneiras:</p><p>• Se b = 0, então, ax2 + c = 0;</p><p>• Se c = 0, então, ax2 + bx = 0;</p><p>• Se b = 0 e c = 0, então, ax2 = 0.</p><p>Analise os exemplos a seguir:</p><p>Exemplo: classifique as equações a seguir em completas</p><p>ou incompletas:</p><p>a) –x2 + x = 0</p><p>b) 3x2 – x + 7 = 0</p><p>c) 2x2 = 0</p><p>d) x2 – 1</p><p>4 = 0</p><p>Solução: para classificar as equações primeiro precisamos</p><p>reescrevê-las na forma geral, ou seja, ax2 + bx + c = 0. Em</p><p>seguida determinamos quais são os coeficientes e depois</p><p>indicamos se ela é completa (quando a, b e c são diferentes</p><p>15MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>de zero) ou incompleta (quando pelo menos um dos</p><p>coeficientes b ou c é igual a zero). Veja cada um dos casos:</p><p>a) –x2 + x = 0 → a = –1; b = 1 e c = 0, como c = 0, a equação</p><p>é incompleta.</p><p>b) 3x2 – x + 7 = 0 → a = 3; b = –1 e c = 7, como todos os</p><p>coeficientes são não nulos, ou seja, diferentes de zero, a</p><p>equação é completa.</p><p>c) 2x2 = 0 → a = 2; b = 0 e c = 0, como b = 0 e c = 0, a equação</p><p>é incompleta.</p><p>d) x2 – 1</p><p>4</p><p>= 0 → a = 1; b = 0 e c = – 1</p><p>4</p><p>, como b = 0, a equação</p><p>é incompleta.</p><p>Confira mais um exemplo:</p><p>Exemplo: a região retangular a seguir tem área igual a 42 cm2.</p><p>Escreva uma equação que represente a área da região</p><p>retangular e classifique-a em completa ou incompleta.</p><p>Solução: a área de uma região retangular é calculada pelo</p><p>produto do comprimento (base) pela altura da região, ou</p><p>seja, A = base ∙ altura. Como já sabemos que a área é igual</p><p>a 42 cm2, então:</p><p>16 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>(x + 3) ∙ (x + 2) = 42</p><p>Aplicando a propriedade distributiva, reduzindo termos</p><p>semelhantes e escrevendo a equação na forma geral,</p><p>temos:</p><p>x2 + 2x + 3x + 6 = 42 → x2 + 5x + 6 – 42 = 0 → x2 + 5x – 36 = 0</p><p>Portanto, a equação que representa a área é x2 +5x – 36 = 0.</p><p>Os coeficientes são a = 1; b = 5 e c = –36. Logo, essa equação</p><p>é completa.</p><p>Note que elaboramos uma equação para fornecer a</p><p>área do retângulo mesmo sem saber o valor numérico de suas</p><p>dimensões. Se resolvermos essa equação poderemos então</p><p>saber quais são as dimensões da figura. Mas, como resolver uma</p><p>equação do segundo grau?</p><p>Para determinar as raízes da equação, existem</p><p>procedimentos (técnicas) mais adequadas para cada tipo de</p><p>equação. próximo item.</p><p>Solução de uma equação do</p><p>segundo grau incompleta</p><p>Resolver uma equação do segundo grau é encontrar os</p><p>valores reais x que a satisfazem. Para tanto, vamos iniciar nosso</p><p>estudo com métodos de resolução para equações incompletas.</p><p>1º caso: quando b = 0</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Quando b = 0, a equação do segundo grau é</p><p>incompleta e sua forma geral pode ser escrita</p><p>como ax2 + c = 0.</p><p>17MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Para resolver equações nessa forma, vamos proceder</p><p>de forma similar à resolução de uma equação do primeiro grau</p><p>com uma incógnita, ou seja, vamos isolar a incógnita em um</p><p>dos membros da equação utilizando as operações inversas. Veja:</p><p>Exemplo: considerando o conjunto dos números reais (ℝ),</p><p>resolva as equações incompletas a seguir:</p><p>a) x2 – 25 = 0</p><p>b) –3x2 + 27 = 0</p><p>c) x2 + 25 = 0</p><p>Solução: como as equações não possuem o coeficiente b,</p><p>então vamos isolar a incógnita em um dos membros por</p><p>meio das operações inversas. Então, obteremos:</p><p>a) x2 – 25 = 0 → x2 = 25 → x2 = 25 → x=±5.</p><p>Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes):</p><p>x1 = –5 e x2 = 5.</p><p>b) –3x2 +27 = 0 → –3x2 = –27 → x2 = –27</p><p>–3 → x2 = 9 → x2 = 9 →</p><p>x = ±3.</p><p>Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes):</p><p>x1 = –3 e x2 = 3.</p><p>c) x2 + 25 = 0 → x2 = –25 → x2 = –25 → x = ± –25 .</p><p>O número –25 não é real, logo, não é possível calcular</p><p>o valor de –25 no conjunto numérico pedido no</p><p>18 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>enunciado da situação. Portanto, não há raízes reais para</p><p>esta equação.</p><p>Observe que a solução das equações incompletas na</p><p>forma ax2 + c = 0 ou não são reais ou são duas raízes reais</p><p>distintas e opostas.</p><p>2º caso: quando c = 0</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Quando c = 0, a equação do segundo grau é</p><p>incompleta e sua forma geral pode ser escrita</p><p>como ax2 + bx = 0.</p><p>Nesse caso, resolveremos a equação utilizando a técnica</p><p>do fator comum em evidência. Confira:</p><p>Exemplo: considerando o conjunto dos números reais (ℝ),</p><p>resolva as equações incompletas a seguir:</p><p>a) x2 – 5x = 0</p><p>b) 3x2 + 18x = 0</p><p>c) 2x2 + 3x = 0</p><p>Solução: como as equações não possuem o coeficiente</p><p>c, usaremos a técnica de fatoração “fator comum em</p><p>evidência” para escrever a equação em forma de um</p><p>produto. Observe:</p><p>a) O fator comum na equação x2 – 5x = 0 é x, logo, podemos</p><p>reescrever a equação como x(x – 5) = 0. Note que se um</p><p>19MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>produto tem resultado igual a zero, então um dos fatores</p><p>tem que ser igual a zero. Assim</p><p>x(x – 5) = 0</p><p>x = 0 x – 5 = 0ou</p><p>A segunda possibilidade é uma equação do primeiro grau</p><p>com uma incógnita que pode ser resolvida isolando a</p><p>incógnita em um dos membros:</p><p>x2 – 5 = 0 → x2 = 5.</p><p>Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes):</p><p>x1 = 0 e x2 = 5.</p><p>b) O fator comum na equação 3x2 + 18x = 0 é 3x, logo,</p><p>podemos reescrever a equação como 3x(x + 6) = 0. Como</p><p>o resultado do produto é zero, então um dos fatores tem</p><p>que ser igual a zero. Assim,</p><p>3x = 0 ou x + 6 = 0</p><p>Resolvendo as duas equações do primeiro grau com uma</p><p>incógnita obtemos:</p><p>1.ª) 3x1 = 0 → x1 = 0</p><p>3 → x1 = 0</p><p>2.ª) x2 + 6 = 0 → x2 = 0 – 6 → x2 = –6.</p><p>Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes):</p><p>x1 = 0 e x2 = –6.</p><p>c) O fator comum na equação 2x2 + 3x = 0 é x, logo, podemos</p><p>reescrever a equação como x(2x + 3) = 0. Como o resultado</p><p>20 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>do produto é zero, então um dos fatores tem que ser igual</p><p>a zero. Assim,</p><p>x = 0 ou 2x + 3 = 0</p><p>Resolvendo a equação do primeiro grau com uma incógnita</p><p>obtemos:</p><p>2x2 + 3 = 0 → 2x2 = –3 → x2</p><p>= – 3</p><p>2 .</p><p>Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes):</p><p>x1 = 0 e x2 = – 3</p><p>2 .</p><p>Observe que a solução das equações incompletas na</p><p>forma ax2 + bx = 0 sempre são duas raízes reais distintas,</p><p>sendo uma delas igual a zero.</p><p>3º caso: quando b = 0 e c = 0</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Quando b = 0 e c = 0, a equação do segundo grau</p><p>é incompleta e sua forma geral pode ser escrita</p><p>como ax2 = 0.</p><p>Para resolver equações incompletas dessa forma, vamos</p><p>proceder de maneira análoga à resolução de uma equação</p><p>do primeiro grau com uma incógnita, ou seja, vamos isolar</p><p>a incógnita em um dos membros da equação utilizando as</p><p>operações inversas. Veja:</p><p>Exemplo: considerando o conjunto dos números reais (ℝ),</p><p>resolva as equações incompletas a seguir:</p><p>21MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>a) 10x2 = 0</p><p>b) –6x2 = 0</p><p>c) 2,5x2 = 0</p><p>Solução: como as equações não possuem os coeficientes b</p><p>e c, vamos isolar a incógnita em um dos membros por meio</p><p>das operações inversas. Então, obteremos:</p><p>a) 10x2 = 0 → x2 = 0</p><p>10 → x2 = 0 → x2 = ± 0 → x = 0.</p><p>Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes):</p><p>x1 = x2 = 0.</p><p>b) –6x2 = 0 → x2 = 0</p><p>–6 → x2 = 0 → x2 = ± 0 → x = 0.</p><p>Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes):</p><p>x1 = x2 = 0.</p><p>c) 2,5x2 = 0 → x2 = 0</p><p>2,5 → x2 = 0 → x2 =±√0 → x = 0.</p><p>Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes):</p><p>x1 = x2 = 0.</p><p>Observe que a solução das equações incompletas na</p><p>forma ax2 = 0 são duas raízes reais e iguais a zero.</p><p>Solução de uma equação do</p><p>segundo grau completa</p><p>Assim como na resolução dos casos de equações</p><p>incompletas, existem alguns métodos para a resolver uma</p><p>equação do segundo grau na forma ax2 + bx + c = 0. Dentre eles,</p><p>22 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>destacamos: soma e produto; completar quadrados; fatoração</p><p>do trinômio quadrado perfeito; e fórmula resolutiva.</p><p>Optamos, neste estudo, por aprofundar nosso olhar para</p><p>o método da fórmula resolutiva, pois é uma técnica que pode ser</p><p>utilizada tanto para equações completas quanto incompletas.</p><p>A fórmula resolutiva para equação do segundo grau,</p><p>popularmente conhecida como fórmula de Bháskara, é um</p><p>dispositivo utilizado na determinação das raízes de uma equação</p><p>quadrática.</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Seja ax2 + bx + c = 0, com a, b e c números reais</p><p>e a≠0, uma equação do segundo grau, então,</p><p>podemos calcular o valor das raízes desta equação</p><p>utilizando a seguinte relação matemática:</p><p>(1)</p><p>x = –b ±</p><p>2a</p><p>b2 – 4ac</p><p>Podemos indicar a expressão b2 – 4ac pela letra</p><p>do alfabeto grego Δ (delta):</p><p>(2)</p><p>Δ = b2 – 4ac</p><p>Assim, a fórmula resolutiva de uma equação do</p><p>segundo grau (ou fórmula de Bháskara) pode ser</p><p>reescrita como:</p><p>(3)</p><p>–b ±</p><p>2a</p><p>Δ</p><p>Portanto, para utilizar a fórmula é necessário</p><p>identificar corretamente os coeficientes da</p><p>equação quadrática, fazer as substituições</p><p>correspondentes e realizar as operações</p><p>indicadas.</p><p>23MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>IMPORTANTE</p><p>Existem situações nas quais encontramos os</p><p>coeficientes fora da ordem estabelecida ou então</p><p>a equação não está reduzida. Lembre-se de</p><p>escrever a equação na forma geral (ax2 + bx + c = 0)</p><p>para depois identificar os coeficientes: a é o valor</p><p>(coeficiente) do termo “ao quadrado”, b acompanha</p><p>o termo de “grau um” e c é independente.</p><p>VOCÊ SABIA?</p><p>Embora seja muito conhecida por Fórmula de</p><p>Bháskara, a fórmula resolutiva de uma equação</p><p>do segundo grau não foi criada por ele! Saiba</p><p>mais através do artigo da A Fórmula de Bháskara,</p><p>disponível no QR-Code.</p><p>Para você compreender melhor como funciona o método</p><p>de resolução utilizando a fórmula. Observe:</p><p>Exemplo: considerando o conjunto dos números reais (R),</p><p>resolva as equações:</p><p>a) x2 – 5x + 6 = 0</p><p>b) x2 – 10x + 25 = 0</p><p>c) –x + x2 + 5 = 0</p><p>Solução: primeiro, observe se as equações já estão</p><p>reduzidas e escritas na forma geral; Em seguida faça uma</p><p>https://rpm.org.br/cdrpm/39/12.htm</p><p>24 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>lista identificando os coeficientes (a,b e c); Substitua esses</p><p>valores na fórmula do delta (Δ = b2 – 4ac) e depois o número</p><p>delta e os demais valores devem ser substituídos na</p><p>fórmula x = –b ±</p><p>2a</p><p>Δ e assim, obter as raízes da equação.</p><p>a) Na equação x2 – 5x + 6 = 0 os coeficientes são: a = 1; b = –5</p><p>e c = 6. Então o valor de delta será igual a:</p><p>Δ = b2 – 4ac</p><p>Δ = (–5)2 – 4 ∙ 1 ∙ 6</p><p>Δ = 25 – 24</p><p>Δ = 1</p><p>Substituindo na fórmula resolutiva (Bháskara), obtemos:</p><p>x = –b ±</p><p>2a</p><p>Δ</p><p>x = –(–5) ±</p><p>2 ∙ 1</p><p>1</p><p>Note que antes da raiz quadrada há o sinal ± que indica</p><p>que há duas possibilidades: “somar o resultado da raiz</p><p>quadrada” ou “subtrair o resultado da raiz quadrada”.</p><p>Assim, podemos chegar em dois resultados:</p><p>–(–5) ±</p><p>2 ∙ 1x =</p><p>x1 = =</p><p>=</p><p>= 3</p><p>= 2x2 =</p><p>1</p><p>5 + 1</p><p>2</p><p>5 – 1</p><p>2</p><p>6</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>25MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Portanto, a solução desta equação é dada por duas raízes</p><p>reais e distintas: x1 = 3 e x2 = 2. Usando a notação de</p><p>“conjunto solução” indicamos as raízes como S = {2,3}.</p><p>b) Na equação x2 – 10x + 25 = 0 os coeficientes são: a = 1;</p><p>b = –10 e c = 25.</p><p>Logo, o valor de delta será:</p><p>Δ = b2 – 4ac → Δ= (–10)2 – 4 ∙ 1 ∙ 25 → Δ = 100 – 100 → Δ = 0.</p><p>Substituindo na fórmula resolutiva (Bháskara), obtemos:</p><p>x = –b ±</p><p>2a</p><p>Δ → x = –(–10) ±</p><p>2 ∙ 1</p><p>0</p><p>Então:</p><p>–(–10) ±</p><p>2 ∙ 1x =</p><p>x1 = =</p><p>=</p><p>= 5</p><p>= 5x2 =</p><p>0</p><p>10 + 0</p><p>2</p><p>10 – 1</p><p>2</p><p>10</p><p>2</p><p>10</p><p>2</p><p>A solução desta equação é dada por duas raízes reais e</p><p>iguais: x1 = x2 = 5. Usando a notação de conjunto solução:</p><p>S = {5}.</p><p>c) A equação –x + x2 + 5 = 0 está com os termos fora da</p><p>ordem, então, devemos reescrevê-la: x2 – x + 5 = 0.</p><p>Coeficientes: a = 1; b = –1 e c = 5. Logo, o valor de delta será:</p><p>Δ = b2 – 4ac → Δ = (–1)2 – 4 ∙ 1 ∙ 5 → Δ = 1 – 20 → Δ = –19.</p><p>26 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Substituindo na fórmula resolutiva (Bháskara), obtemos:</p><p>x = –b ±</p><p>2a</p><p>Δ → x = –(–1) ±</p><p>2 ∙ 1</p><p>–19 → x = 1 ±</p><p>2</p><p>–19</p><p>Note que o valor de delta é um número negativo (Δ<0).</p><p>Lembre-se que não é possível, no conjunto dos números reais,</p><p>extrair a raiz quadrada de um número negativo, pois a raiz</p><p>quadrada de um número negativo não é um valor real. Logo,</p><p>para a equação do exemplo não há raízes reais. De modo que,</p><p>usando a notação de conjunto solução indicamos como S={ }</p><p>ou S = ∅.</p><p>IMPORTANTE</p><p>O símbolo ∅ (vazio) representa que o conjunto</p><p>está vazio, ou seja, não há elementos. Podemos</p><p>indicar um conjunto vazio com as chaves vazias</p><p>(sem elementos), ou seja, { }. Nunca use as duas</p><p>notações juntas! O símbolo de vazio não pode</p><p>estar dentro das chaves, pois assim você indicará</p><p>um conjunto unitário.</p><p>Agora vamos observar um exemplo de uma situação problema que recai</p><p>em uma equação do segundo grau:</p><p>Exemplo: Um terreno retangular com medidas iguais (2x + 5)</p><p>metros por (x + 7) metros tem área igual a 180 m2. Quais</p><p>são as medidas desse terreno?</p><p>Solução: a área de um retângulo é dada pela fórmula</p><p>A = base ∙ altura. Como já sabemos que a área é igual a 180 m2</p><p>então: (2x + 5)∙(x + 7) = 180. Aplicando a propriedade</p><p>distributiva, reduzindo termos semelhantes e escrevendo</p><p>a equação na forma geral, temos: 2x2 + 5x + 14x + 35 – 180 = 0</p><p>→ 2x2 + 19x – 145 = 0. Os coeficientes são: a = 2; b = 19 e</p><p>27MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>c = –145. Então o valor de delta será igual a: Δ = b2 – 4ac →</p><p>Δ = 192 – 4 ∙ 2 ∙ (–145) → Δ = 1521.</p><p>Substituindo na fórmula resolutiva (Bháskara), obtemos:</p><p>x = –b ±</p><p>2a</p><p>Δ → x = –19 ±</p><p>2 ∙ 2</p><p>1521 → x = –19 ± 39</p><p>4</p><p>Portanto:</p><p>x1 = –19 + 39</p><p>4</p><p>= 20</p><p>4</p><p>= 5</p><p>e</p><p>x2 = –19 – 39</p><p>4</p><p>= –58</p><p>4</p><p>= – 29</p><p>2</p><p>= 14,5</p><p>Logo, x1 = 5 e x2 = –14,5. Para resolver o problema devemos</p><p>substituir o valor encontrado nas medidas do terreno (2x + 5)</p><p>metros e (x + 7) metros. Observe:</p><p>• Se x = –14,5, temos:</p><p>2x + 5 = 2 ∙ (–14,5) +5 = –29 + 5 = –24</p><p>e</p><p>x + 7 = –14,5 + 7 = –7,5</p><p>• Se x = 5, temos:</p><p>2x + 5 = 2 ∙ 5 + 5 = 10 + 5 = 15</p><p>e</p><p>x + 7 = 5 + 7 = 12</p><p>Note que, ao substituirmos o valor x = –14,5 obtivemos</p><p>medidas negativas. Como nossa situação problema trata de</p><p>medidas de comprimento, essa solução não serve. Logo, só</p><p>iremos considerar o caso em que x = 5, assim, as medidas desse</p><p>terreno são 15 metros por 12 metros.</p><p>28 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Estudo do discriminante</p><p>Nos exemplos vistos no item anterior, observamos que,</p><p>a depender do valor encontrado para o Δ, a equação poderia</p><p>não ter raízes reais, ter duas raízes reais iguais ou ter duas raízes</p><p>reais distintas. Assim, podemos saber o comportamento das</p><p>raízes apenas calculando o valor do delta.</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Denominamos de discriminante da equação do</p><p>segundo grau o número:</p><p>(4)</p><p>Δ = b2 – 4ac</p><p>O valor negativo, nulo ou positivo do discriminante vai</p><p>determinar quantas raízes reais a equação terá quando seus</p><p>coeficientes forem números reais. Portanto:</p><p>• Se ∆ < 0, a equação não tem raízes reais.</p><p>• Se ∆ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais.</p><p>• Se ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais e distintas.</p><p>Para compreender um pouco melhor, observe os</p><p>exemplos:</p><p>Exemplo: determine o valor de m para que a equação</p><p>2x2 + (m)x + 8 = 0 tenha:</p><p>a) Nenhuma raiz real</p><p>b) Uma raiz real</p><p>c) Duas raízes reais</p><p>29MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Solução: identificamos os coeficientes da equação: a = 2;</p><p>b = m e c = 8. Depois substituímos os valores na fórmula do</p><p>discriminante:</p><p>Δ = b2 – 4ac → Δ = (m)2 – 4 ∙ 2 ∙ 8 → Δ = m2 – 64 .</p><p>Calculando o valor de m para ∆ = 0 temos:</p><p>∆ = 0 → m2 – 64 = 0 → m2 = 64 → m2 = 64 → m = ±8.</p><p>Para m1 = –8 e m2 = 8, o valor de delta será igual a zero.</p><p>Veja o quadro de possibilidades para o discriminante:</p><p>Quadro 1 – Análise do discriminante para os valores m</p><p>Se m for... Exemplo: Δ = m2 – 64 Conclusão:</p><p>Menor que –8</p><p>(m < –8)</p><p>Se m = –10, Δ = (-10)2 – 64 = 100 – 64 = 36 Δ > 0</p><p>Igual a -8</p><p>(m = –8)</p><p>Se m = –8, Δ = (-8)2 – 64 = 64 – 64 = 0 Δ = 0</p><p>Maior que –8 e</p><p>menor que 8</p><p>(–8 < m < 8)</p><p>Se m = –1, Δ = (–1)2 – 64 = 1– 64 = –63</p><p>Se m = 0, Δ = 02 − 64 = −64</p><p>Se m = +5, Δ = (+5) 2 − 64 = 25 − 64 = −39</p><p>Δ < 0</p><p>Igual a 8</p><p>(m = 8)</p><p>Se m = + 8, Δ = (+8)2 - 64 = 64 – 64 = 0 Δ = 0</p><p>Maior que 8</p><p>(m > 8)</p><p>Se m = + 10, Δ = (+10)2 – 64 = 100 – 64 = 36 Δ > 0</p><p>Fonte: Elaborado pelo autor (2022)</p><p>Após a análise do quadro, e utilizando a relação entre</p><p>valor do discriminante e a quantidade de raízes, podemos</p><p>responder às seguintes questões:</p><p>a. Quando ∆ < 0 não há raízes reais e isso acontece se</p><p>–8 < m < 8.</p><p>30 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>b. Quando ∆ = 0 há uma raiz real e isso acontece se m = –8</p><p>ou m = 8.</p><p>c. Quando ∆ > 0 há duas raízes reais e isso acontece se m < –8</p><p>ou m > 8.</p><p>RESUMINDO</p><p>Neste capítulo, vimos que uma equação do</p><p>segundo grau ou equação quadrática pode ser</p><p>escrita na forma geral ax2 + bx + c = 0 em que a, b</p><p>e c são números reais chamados de coeficientes e</p><p>a deve ser diferente de zero para que a equação</p><p>seja do segundo grau. Quando possuem todos os</p><p>coeficientes não nulos, as equações são completas.</p><p>Se pelo menos um dos coeficientes (b ou c) for</p><p>nulo, a equação é chamada de incompleta. Além</p><p>disso, vimos algumas técnicas para resolução de</p><p>equações incompletas e completas. Finalizamos</p><p>com a fórmula resolutiva de uma equação</p><p>(conhecida por fórmula de Bháskara) e com o</p><p>estudo do discriminante.</p><p>31MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Funções quadráticas</p><p>na prática</p><p>OBJETIVO</p><p>Neste capítulo, vamos compreender as funções</p><p>como relações de dependência unívoca entre</p><p>duas variáveis e suas representações numérica,</p><p>algébrica e gráfica, utilizando esse conceito para</p><p>analisar situações que envolvam função do</p><p>segundo grau (função quadrática) redutíveis à</p><p>forma ƒ(x) = ax2 + bx + c.</p><p>Função, domínio, contradomínio</p><p>e imagem</p><p>Antes de iniciar com o estudo sobre função quadrática,</p><p>vamos revisar o que é uma função e alguns tópicos relevantes para</p><p>a compreensão desta ideia, tais como domínio, contradomínio e</p><p>imagem.</p><p>Em situações em que há uma relação de dependência</p><p>entre as grandezas, podemos representar (modelar) a situação</p><p>por meio de uma fórmula matemática (regra ou lei de formação)</p><p>que relaciona essas grandezas: uma em função da outra. Assim,</p><p>uma função pode ser compreendia como uma aplicação entre</p><p>conjuntos, uma vez que relaciona elementos de dois conjuntos</p><p>A e B por uma lei de formação y = ƒ(x). Assim, uma função é</p><p>apresentada como ƒ: A → B (lê-se: função ƒ de A em B).</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Dada uma função ƒ: A → B, chama-se domínio</p><p>da função, indicado por D(ƒ), o conjunto A e</p><p>contradomínio função, indicado por CD(ƒ), o</p><p>conjunto B.</p><p>32 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Dada uma função ƒ: A → B, denomina-se imagem</p><p>de x pela função ƒ cada elemento y ∈ B obtido</p><p>pela aplicação da função ƒ a cada elemento x ∈ A.</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>O conjunto imagem da função ƒ, indicado por</p><p>Im(ƒ), é formado por todos os valores y (imagem de</p><p>x pela função ƒ). O conjunto imagem está contido</p><p>no conjunto contradomínio da função, Im(ƒ)⊂B.</p><p>Em outras palavras, para cada elemento x no domínio</p><p>da função existe um único elemento correspondente a ele que</p><p>foi “transformado” pela função ƒ em um ƒ(x) = y que está no</p><p>contradomínio da função.</p><p>Lembre-se também de que, em uma função, o valor que</p><p>pode ser “escolhido” (x) é a variável independente e o valor obtido</p><p>a partir dessa escolha (y) é a variável dependente.</p><p>De maneira a compreender melhor esses conceitos,</p><p>observe um exemplo:</p><p>Exemplo: considere a função ƒ: A → B representada</p><p>pelo diagrama a seguir:</p><p>33MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Após a análise do diagrama, indique os elementos que</p><p>pertencem aos conjuntos domínio, contradomínio e</p><p>imagem da função.</p><p>Solução: como a função é uma aplicação de A em B, note</p><p>que a flecha sai do conjunto A em direção ao conjunto</p><p>B. O domínio da função o conjunto de onde partem</p><p>(saem) os elementos x, portanto, D(ƒ) = A = {–3, 1, 2, 3}.</p><p>Já o contradomínio da função corresponde a todos os</p><p>elementos que estão no conjunto de “chegada”, ou seja,</p><p>CD(ƒ) = B = { 1, 4, 5, 9}, assim os elementos do contradomínio</p><p>são as possíveis imagens. O conjunto imagem, por sua vez,</p><p>corresponde aos valores de saída que foram convertidos</p><p>nos valores de chegada (onde a flechinha do domínio de</p><p>fato chegou), logo, Im(ƒ) = {1, 4, 9}.</p><p>Observe que em nosso exemplo o conjunto imagem não</p><p>coincidiu com o contradomínio, pois o elemento 5 não</p><p>pertence ao conjunto imagem.</p><p>De maneira geral, o domínio de uma função é o conjunto</p><p>dos números reais ℝ ou um de seus subconjuntos. Porém, se a</p><p>função estiver relacionada à uma situação real, deve-se verificar</p><p>o que a variável independente representa para então determinar</p><p>o seu domínio.</p><p>Função quadrática</p><p>O estudo da função não é limitado apenas ao âmbito da</p><p>Matemática, mas é colocado em prática em outras ciências, tais</p><p>como a Física e a Química. As funções do segundo grau estão</p><p>conectadas à inúmeras aplicações no cotidiano, tais como: na</p><p>análise do processo de fotossíntese das plantas; na administração,</p><p>estão diretamente relacionadas às funções custo, receita e lucro;</p><p>34 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>e, na engenharia civil modelam diversas concepções interligadas</p><p>às construções.</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Denomina-se função quadrática ou função</p><p>polinomial do segundo grau, qualquer função ƒ</p><p>definida de ℝ (conjunto dos números reais) em</p><p>ℝ, cuja lei de formação pode ser escrita como um</p><p>polinômio do segundo grau, isto é, na forma ƒ(x) =</p><p>ax2 + bx + c, com a, b e c números reais e a≠0 (a é</p><p>um valor diferente de zero).</p><p>Exemplo: são exemplos de função do segundo grau:</p><p>• y = 1</p><p>2 x2</p><p>• ƒ(x) = 3x2 – 2x</p><p>• g(x) = –x2 + 12x – 3</p><p>• h(x) = x2 – 8</p><p>Note que o coeficiente a tem que ser um valor não nulo,</p><p>ou seja, diferente de zero, para que o termo x2 exista e a função</p><p>seja quadrática. Não cumprindo essa condição, a função torna-se</p><p>afim (função do primeiro grau).</p><p>Para identificar os coeficientes a, b e c de uma função</p><p>quadrática deve-se adotar os mesmos procedimentos utilizados</p><p>na equação do segundo grau:</p><p>Exemplo: determine os coeficientes das funções a seguir:</p><p>a) ƒ(x) = 6x2 – x + 5</p><p>b) g(x) = x2 – 9</p><p>35MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>c) h(x) = 5x + 2</p><p>3 x2</p><p>Solução: para determinar os coeficientes das equações</p><p>dadas, precisamos deixá-las na forma geral, ou seja,</p><p>ƒ(x) = ax2 + bx + c. Então:</p><p>a) ƒ(x) = 6x2 – x – 5 → Coeficientes: a = 6; b = –1 e c = 5.</p><p>b) g(x) = x2 – 9 → Coeficientes: a = 1; b = 0 e c = –9.</p><p>c) h(x) = 5x + 2</p><p>3 x2 → h(x)= 2</p><p>3 x2 + 5x → Coeficientes: a = 2</p><p>3 ;</p><p>b = 5 e c = 0.</p><p>Atenção ao identificar os coeficientes quando a função</p><p>quadrática estiver representada de uma maneira menos explicita,</p><p>ou seja, de forma fatorada ou simplificada. Nestes casos, resolva</p><p>as operações, reduções e reorganizações necessárias a fim de</p><p>explicitar esses valores. Lembre-se: a função deve estar escrita</p><p>na forma geral para que se possa identificar os coeficientes.</p><p>Exemplo: determine os coeficientes das funções a seguir:</p><p>a) ƒ(x) = (x – 1) (x + 2)</p><p>b) ƒ(x) = 3x (x – 8)</p><p>c) ƒ(x) = (2x + 1)2</p><p>Solução: para determinar os coeficientes das equações</p><p>dadas, precisamos deixá-las na forma geral, ou seja, ƒ(x) =</p><p>ax2 + bx + c. Então, devemos realizar as multiplicações e</p><p>reagrupamentos que se fizerem necessários:</p><p>a) ƒ(x) = (x – 1) (x+2) → ƒ(x) = x2 + 2x – x – 2 → ƒ(x) = x2 + x – 2</p><p>36 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Portanto, os coeficientes são: a = 1; b = 1 e c = –2.</p><p>b) ƒ(x) = 3x (x – 8) → f(x) = 3x2 – 24x → Coeficientes: a = 3;</p><p>b = –24 e c = 0.</p><p>c) ƒ(x) = (2x + 1)2 → ƒ(x) = 4x2 + 4x + 1 → Coeficientes: a = 4;</p><p>b = 4 e c = 1.</p><p>Veja, agora, um exemplo envolvendo a lei de formação</p><p>da função.</p><p>Exemplo: seja ƒ: ℝ → ℝ uma função quadrática em que ƒ(0) = 3,</p><p>ƒ(1) = 1 e ƒ(2) = 3. Escreva a lei de formação dessa função.</p><p>Solução: para escrever a lei de formação da função</p><p>precisamos determinar quais são os coeficientes a, b e c</p><p>para substituí-los na forma geral da função quadrática,</p><p>ou seja, em ƒ(x) = ax2 + bx + c. Para tal, utilizaremos as</p><p>informações dadas pelo enunciado: a função é definida nos</p><p>reais e ƒ(0) = 3, ƒ(1) = 1 e ƒ(2) = 3. Iniciaremos substituindo</p><p>essas informações na forma geral e obtendo equações que</p><p>nos ajudarão a encontrar os coeficientes. Assim:</p><p>Para ƒ(0)=3 → a ∙ 02 + b ∙ 0 + c = 3 → 0 + 0 + c = 3 → c = 3 .</p><p>Como c = 3, ao calcular ƒ(1) = 1 e ƒ(2) = 3 teremos:</p><p>ƒ(1) =1 → a ∙ 12 + b ∙ 1 + 3 = 1 → a + b = 1 – 3 → a + b = –2 .</p><p>ƒ(2) = 3 → a ∙ 22 + b ∙ 2 + 3 = 3 → 4a + 2b = 3 – 3 →</p><p>4a + 2b = 0 .</p><p>Para encontrar os valores de a e b, resolveremos um sistema</p><p>de equações do primeiro grau com duas incógnitas.</p><p>37MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>a + b = –2 (I)</p><p>(II)4a + 2b = 0{</p><p>Existem vários métodos de resolução. Aqui optamos por</p><p>utilizar o método da substituição. Antes disso vamos</p><p>“preparar” as equações (I) e (II). Observe:</p><p>(I) Isolamos b → a + b = –2 → b = –2 – a.</p><p>(II) Dividimos os membros por 2 → 4a + 2b = 0 → 4a</p><p>2 + 2b</p><p>2 =</p><p>0</p><p>2</p><p>→ 2a + b = 0.</p><p>Substituindo (I) em (II):</p><p>2a + b = 0 → 2a+ (–2 – a) = 0 → 2a – 2 – a = 0 → 2a – a = 2 →</p><p>a = 2 .</p><p>Com o valor para a, faremos a substituição na equação (I):</p><p>b = –2 – a → b = –2 – (+2) → b = –2 – 2 → b = –4 .</p><p>Logo, os coeficientes da função são: a = 2; b = –4 e c = 3.</p><p>Portanto a lei de formação da função é dada por:</p><p>ƒ(x) = ax2 + bx + c → ƒ(x) = 2x2 – 4x + 3 .</p><p>Convido você, caro(a) aluno(a), a verificar a resposta</p><p>encontrada calculando os valores de ƒ(x) quando x for</p><p>igual a 0, 1 e 2. Deste modo será possível comprovar que</p><p>realmente a função ƒ(x) = 2x2 – 4x + 3 resulta em ƒ(0) = 3,</p><p>ƒ(1) = 1 e ƒ(2) = 3.</p><p>38 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Raízes ou zeros de uma função</p><p>quadrática</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Seja ƒ: ℝ → ℝ uma função de segundo grau. Quando</p><p>calculamos f(x) = 0, ou seja, ax2 + bx + c = 0, desejamos</p><p>encontrar o valor de x para qual a função se anula.</p><p>Neste caso, dizemos que encontramos o zero da</p><p>função ou a raiz da função.</p><p>Portanto, para determinar o zero da função utilizamos</p><p>as mesmas técnicas empregadas na resolução de equações do</p><p>segundo grau. Lembre-se que existem muitas maneiras para</p><p>resolvê-las (veja novamente o capítulo 1).</p><p>Por ser uma técnica eficiente para equações completas e</p><p>incompletas, optamos por enfatizar a fórmula resolutiva (fórmula</p><p>de Bháskara).</p><p>Veja o seguinte exemplo:</p><p>Exemplo: seja ƒ: ℝ → ℝ uma função cuja lei de formação é</p><p>dada por ƒ(x) = x2 – 2x – 3. Determine os zeros (ou raízes)</p><p>desta função.</p><p>Solução: calcular os zeros ou raízes da função é</p><p>determinar para qual(is) valor(es) de x a função se anula,</p><p>ou seja, f(x) = 0. Substituindo na lei de formação da função</p><p>obtemos a seguinte equação:</p><p>x2 – 2x – 3 = 0</p><p>Os coeficientes desta equação são: a = 1; b = –2 e c = –3.</p><p>39MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Então o valor de delta será igual a:</p><p>Δ = b2 – 4ac → Δ= (–2)2 – 4 ∙ 1 ∙ (–3) → Δ = 4 + 12 → Δ = 16.</p><p>Substituindo na fórmula resolutiva (Bháskara), obtemos:</p><p>–(–2) ±</p><p>2 ∙ 1→ x =x =</p><p>x1 = =</p><p>=</p><p>= 3</p><p>= –1x2 =</p><p>16</p><p>2 + 4</p><p>2</p><p>2 – 4</p><p>2</p><p>6</p><p>2</p><p>–2</p><p>2</p><p>–b ±</p><p>2a</p><p>Δ</p><p>Logo, o conjunto solução da equação é S = {–1,3}. E o</p><p>que esses resultados indicam no caso da função dada na</p><p>problematização? Eles significam que para x = –1 e para</p><p>x = 3 a função se anula, ou seja, ƒ(–1) = ƒ(3) = 0. Portanto, os</p><p>zeros da função ƒ(x) = x2 – 2x – 3 são –1 e 3.</p><p>Se você desejar conferir se realmente encontrou os zeros</p><p>da função, basta fazer a verificação da resposta. Veja: Na</p><p>função ƒ(x) = x2 – 2x – 3,</p><p>Se x = –1, então, ƒ(–1) = (–1)2 – 2 ∙ (–1) –3 → ƒ(–1) = 1 + 2 - 3 →</p><p>ƒ(–1) = 0;</p><p>Se x = 3, então, ƒ(3) = 32 – 2 ∙ 3 – 3 → ƒ(3) = 9 – 6 – 3 → ƒ(3) = 0.</p><p>Verificamos assim que os valores –1 e 3 são os zeros da</p><p>função.</p><p>Estudamos anteriormente que uma equação do segundo</p><p>grau, dependendo do valor do discriminante, pode: não ter</p><p>raízes reais; ter duas raízes reais iguais; ou, ter duas raízes reais</p><p>distintas. Portanto, para determinar a quantidade de zeros ou</p><p>40 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>raízes de uma função ƒ(x) = ax2 + bx + c, devemos analisar o</p><p>discriminante da equação ax2 + bx + c = 0</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Seja ƒ: ℝ → ℝ dada por ƒ(x) = ax2 + bx + c, com a, b e</p><p>c reais e a≠0, em que Δ = b2 – 4ac, então:</p><p>• Se ∆ < 0, a função não tem raízes reais.</p><p>• Se ∆ = 0, a função tem duas raízes reais e</p><p>iguais.</p><p>• Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e</p><p>distintas.</p><p>Para compreender um pouco melhor, observe os</p><p>exemplos:</p><p>Exemplo: analise o discriminante e determine a quantidade</p><p>de raízes das seguintes equações:</p><p>a) ƒ(x) = x2 – 2x + 4</p><p>b) ƒ(x) = x2 – 2x – 3</p><p>c) ƒ(x) = –x2 + 2x – 1</p><p>Solução: para estudar o discriminante e determinar a</p><p>quantidade de raízes (ou zeros) da função, primeiro,</p><p>identificamos os coeficientes e depois substituímos na</p><p>fórmula Δ = b2 – 4ac. Assim:</p><p>a) Em ƒ(x) = x2 – 2x + 4, os coeficientes são: a = 1; b = –2 e c = 4.</p><p>Logo, o valor do discriminante será:</p><p>Δ = (–2)2 – 4 ∙ 1 ∙ 4 → Δ = 4 – 16 → Δ = –12 .</p><p>41MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Como o valor do delta é menor que zero (Δ < 0), então a</p><p>função não possui raízes reais.</p><p>b) Em ƒ(x) = x2 – 2x – 3, os coeficientes são: a = 1; b = –2 e c = –3.</p><p>Logo, o valor do discriminante será:</p><p>Δ = (–2)2 – 4 ∙ 1 ∙ (–3) → Δ = 4 + 12 → Δ = 16 .</p><p>Como o valor do delta é maior que zero (Δ>0), então a</p><p>função possui duas raízes reais e distintas.</p><p>c) Em ƒ(x) = –x2 + 2x – 1 os coeficientes são: a = –1; b = 2 e</p><p>c = –1. Logo, o valor do discriminante será:</p><p>Δ = 22 – 4 ∙ (–1) ∙ (–1) → Δ = 4 – 4 → Δ = 0 .</p><p>Como o valor do delta é igual a zero (Δ = 0), então a função</p><p>possui raízes reais e iguais.</p><p>Exemplo: seja ƒ: ℝ → ℝ definida por f(x) = x2 – 2x + 3m.</p><p>Qual deverá ser o valor real de m para que a função tenha duas</p><p>raízes reais e iguais?</p><p>Solução: identificamos os coeficientes: a = 1; b = –2 e</p><p>c = 3m. Como a função tem duas raízes reais e iguais, ∆ = 0, então:</p><p>Δ = b2 – 4ac → 0 = (–2)2 – 4 ∙ 1 ∙ 3m → 0 = 4 – 12m →</p><p>–4 = –12m → m = –4</p><p>–12</p><p>= 1</p><p>3</p><p>.</p><p>Então, para a função ter duas raízes reais e iguais, m = 1</p><p>3 .</p><p>42 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>RESUMINDO</p><p>Neste capítulo, relembramos a definição de função</p><p>e conceitos de domínio, contradomínio e imagem.</p><p>Vimos que uma função quadrática ou função</p><p>polinomial do segundo grau tem a forma geral</p><p>igual a ƒ(x) = ax2 + bx + c, em que números reais a,</p><p>b e c</p><p>são os coeficientes da função e a deve ser não</p><p>nulo (diferente de zero) para que a função tenha</p><p>o termo x2. Observamos que os zeros ou raízes da</p><p>função são os valores x que anulam a função, ou</p><p>seja, ƒ(x) = 0. Estudamos também que analisando o</p><p>discriminante da equação ax2 + bx + c = 0 associada</p><p>à função ƒ(x) podemos determinar a quantidade</p><p>de zeros que a função terá e, além disso, para</p><p>calcular o valor dos zeros (ou raízes) basta utilizar a</p><p>técnica de resolução de equação do segundo grau</p><p>que for mais adequada à função, sendo a fórmula</p><p>resolutiva (Bháskara) uma que se destaca, pois é</p><p>aplicável em todos os casos.</p><p>43MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Vetores aplicados à física e à</p><p>computação</p><p>OBJETIVO</p><p>Neste capítulo, vamos visualizar o esboço do</p><p>gráfico de uma função polinomial do segundo</p><p>grau, bem como compreender como funciona a</p><p>construção desse tipo de gráfico e as estruturas</p><p>que o compõem.</p><p>Parábola: concavidade e vértice</p><p>Para representar gráficos utilizaremos o plano cartesiano.</p><p>Lembre-se que as retas que o compõem recebem o nome de</p><p>“eixos”. Na horizontal temos o eixo das abscissas (x) e na vertical</p><p>o eixo das ordenadas (y). Esses eixos se interceptam em um</p><p>ponto denominado de origem.</p><p>Para plotar o gráfico deveremos indicar pontos no plano.</p><p>O “endereço” de cada ponto plotado é composto por duas</p><p>informações: uma relacionada ao x e outra ao y, por isso, as</p><p>coordenadas (x,y) do ponto recebem o nome de par ordenado.</p><p>Veja um exemplo de representação gráfica de um ponto no plano</p><p>cartesiano:</p><p>Figura 1 – Representação gráfica do ponto (1,2) no plano cartesiano</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor (2022).</p><p>44 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Para representar uma função do segundo grau</p><p>graficamente precisaremos identificar pares ordenados que</p><p>satisfazem a lei de formação da função, ou seja, vamos atribuir</p><p>convenientemente valores para a variável independente x</p><p>e calcular o valor numérico da variável dependente y = f(x)</p><p>correspondente. Em seguida, localizaremos no plano cartesiano</p><p>o ponto formado pelo par ordenado (x, y). Como a função</p><p>é definida no conjunto dos reais, podemos ligar os pontos</p><p>plotados esboçando a curva que representa a função. Para você</p><p>compreender melhor, observe o seguinte exemplo:</p><p>Exemplo: construa o gráfico da função ƒ: ℝ → ℝ dada por</p><p>ƒ(x) = x2.</p><p>Solução: defina valores para a variável x, depois calcule</p><p>ƒ(x) = y. Veja:</p><p>Quadro 2 – Pontos que pertencem à função ƒ(x) = x2</p><p>x ƒ(x) = x2 (x, y)</p><p>–2 ƒ(-2) = (–2)2 = 4 (–2, 4)</p><p>–1 ƒ(–1) = (–1)2 = 1 (–1, 1)</p><p>0 ƒ(0) = (0)2 = 0 (0, 0)</p><p>1 ƒ(1) = (1)2 = 1 (1, 1)</p><p>2 ƒ(2) = (2)2 = 4 (2, 4)</p><p>Fonte: Elaborado pelo autor (2022)</p><p>O gráfico da função ficará, portanto, da seguinte maneira:</p><p>45MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Figura 2 – Gráfico da função ƒ(x) = x2</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor (2022).</p><p>Vejamos mais um exemplo:</p><p>Exemplo: construa o gráfico da função g: ℝ → ℝ dada por</p><p>g(x) = –x2.</p><p>Solução: defina valores para a variável x, depois calcule</p><p>g(x) = y. Veja:</p><p>Quadro 3 – Pontos que pertencem à função g(x) = –x2</p><p>x g(x) = –x2 (x, y)</p><p>–2 g(-2) = –(–2)2 =–4 (–2, –4)</p><p>–1 g(–1) = –(–1)2 = –1 (–1, –1)</p><p>0 g(0) = –(0)2 = 0 (0, 0)</p><p>1 g(1)= –(1)2 = –1 (1, –1)</p><p>2 g(2) = –(2)2 = –4 (1, –1)</p><p>Fonte: Elaborado pelo autor (2022).</p><p>46 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>O gráfico da função ficará, portanto, da segunte maneira:</p><p>Figura 3 – Gráfico da função g(x) = –x2</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor (2022)</p><p>Note que nos dois exemplos o gráfico da função ficou</p><p>com um formato semelhante (parecendo uma letra “U”). Essa</p><p>curva é chamada de parábola. Observe ainda que no primeiro</p><p>gráfico, ƒ(x) = x2, a parábola ficou virada para cima, já no segundo</p><p>caso, g(x) = –x2, ela ficou virada para baixo. Veja que a diferença</p><p>entre essas duas funções foi o sinal do coeficiente a. Na função</p><p>f(x) era a = 1, enquanto que na função g(x) era a = –1. A partir</p><p>dessas constatações, seguem duas definições importantes:</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>O gráfico de uma função polinomial do segundo</p><p>grau ou função quadrática é sempre uma curva</p><p>chamada parábola.</p><p>47MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>A concavidade da parábola que representa uma</p><p>função quadrática depende do sinal do coeficiente</p><p>a:</p><p>• Se a > 0 a concavidade é voltada para cima.</p><p>• Se a < 0 a concavidade é voltada para baixo.</p><p>Ainda em relação aos exemplos, observe a parábola</p><p>atinge um ponto mais baixo ou um ponto mais alto. A esse ponto</p><p>denominamos de vértice.</p><p>Quando a concavidade é voltada para cima a função</p><p>atinge o ponto mais baixo possível, depois volta a subir. A esse</p><p>ponto chamamos de ponto de mínimo da função. Quando a</p><p>concavidade é voltada para baixo a função atinge o ponto mais</p><p>alto possível e depois volta a cair, nesse caso chamamos de</p><p>ponto de máximo da função.</p><p>Tanto no “ponto mínimo” quanto no “ponto máximo” essa</p><p>“altura” corresponde à ordenada do vértice da parábola.</p><p>É possível determinar as coordenadas do vértice da</p><p>função, V = (xV, yV ), através das seguintes fórmulas:</p><p>xV = b</p><p>2a (4)</p><p>yV = ∆</p><p>4a (5)</p><p>Outra possibilidade para encontrar a ordenada do vértice</p><p>é calcular o valor de xV e depois substituir na própria função, ou</p><p>seja, ƒ(xV ) = yV.</p><p>Para auxiliar na sua compreensão, observe alguns</p><p>exemplos:</p><p>Exemplo: sem fazer o esboço do gráfico, indique como</p><p>será a concavidade da parábola das seguintes funções:</p><p>48 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>a) ƒ(x) = x2 – 36</p><p>b) ƒ(x) = 2</p><p>5 x2 – 6x</p><p>c) ƒ(x) = –1,5x2 + x + 5</p><p>Solução: a concavidade da parábola que representa uma</p><p>função quadrática depende do sinal do coeficiente a.</p><p>Quando a > 0 a concavidade é voltada para cima e quando</p><p>a < 0 a concavidade é voltada para baixo. Portanto,</p><p>a) ƒ(x) = x2 – 36 → a = 1, então a > 0, logo a concavidade é</p><p>voltada para cima;</p><p>b) ƒ(x) = 2</p><p>5 x2 – 6x → a = 2</p><p>5 ; então a > 0, logo a concavidade</p><p>é voltada para cima;</p><p>c) ƒ (x) = –1,5x2 + x + 5 → a = –1,5; então a < 0, logo a</p><p>concavidade é voltada para baixo.</p><p>Exemplo: determine as coordenadas do vértice da função</p><p>por ƒ(x) = x2 – 5x + 6. Esse ponto é máximo ou mínimo da</p><p>função? Explique.</p><p>Solução: identificamos os coeficientes da função são: a = 1,</p><p>b = –5 e c = 6. Portanto, usando relações apresentadas,</p><p>temos:</p><p>• xV = –b</p><p>2a = –(–5)</p><p>2 ∙ 1 = 5</p><p>2</p><p>• yV = –∆4a = –(b2 – 4ac)</p><p>4a = –[(–5)2 – 4 ∙ 1 ∙ 6]</p><p>4 ∙ 1 = –[25 – 24]</p><p>4 = – 1</p><p>4</p><p>Logo, o vértice dessa função é V = ( 5</p><p>2 , – 1</p><p>4 ). Note que a > 0,</p><p>logo, a concavidade da parábola que representa a função</p><p>49MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>quadrática é voltada para cima, portanto, o vértice é o</p><p>ponto mínimo da função.</p><p>Construção e interpretação do</p><p>gráfico</p><p>Na função afim (ou do primeiro grau) bastava indicar dois</p><p>pontos e já era possível construir o gráfico, pois, a representação</p><p>gráfica deste tipo de função é uma reta. Já o gráfico de uma</p><p>função quadrática (ou do segundo grau), como vimos a pouco, é</p><p>uma curva denominada “parábola”. E, diferentemente da função</p><p>afim, precisaremos de mais do que dois pontos para podermos</p><p>plotar o gráfico no plano cartesiano. Assim, seguiremos algumas</p><p>etapas para a construção do gráfico da função polinomial do</p><p>segundo grau:</p><p>• Identificar a concavidade da função (sinal do coeficiente</p><p>a).</p><p>• Estudar o discriminante da equação do segundo grau</p><p>associada e calcular as raízes (zeros) da função, se</p><p>houver.</p><p>• Determinar as coordenadas do vértice da função (ponto</p><p>máximo ou ponto mínimo).</p><p>• Se não tiver obtido pelo menos três pontos (duas raízes</p><p>e um vértice), escolha, convenientemente, outros dois</p><p>valores para x (dica: escolha um valor para x antes do</p><p>valor do xv e outro que esteja depois dele, de modo que</p><p>xv fique entre os outros dois valores).</p><p>• Localizar os pontos no plano e esboçar a parábola.</p><p>Veja os exemplos a seguir:</p><p>50 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Exemplo: construa o gráfico das seguintes funções</p><p>quadráticas definidas no conjunto dos reais:</p><p>a) ƒ(x) = x2 – 6x + 9</p><p>b) g(x) = –x2 – x + 2</p><p>c) h(x) = x2 +2</p><p>Solução: seguindo os mesmos passos já indicados:</p><p>a) ƒ(x) = x2 – 6x + 9 → a = 1; b = –6 e c = 9.</p><p>• A concavidade da parábola é voltada para cima, pois</p><p>a > 0;</p><p>• ∆ = (–6)2 – 4 ∙ 1 ∙ 9 = 36 – 36 = 0, como ∆ = 0, então a</p><p>função possui duas raízes reais e iguais. Calculando</p><p>ƒ(x) = 0 temos:</p><p>–(–6) ±</p><p>2 ∙ 1→ x =x =</p><p>x1 = =</p><p>=</p><p>= 3</p><p>= 3x2 =</p><p>0</p><p>6 + 0</p><p>2</p><p>6 – 0</p><p>2</p><p>6</p><p>2</p><p>6</p><p>2</p><p>–b ±</p><p>2a</p><p>Δ</p><p>Então, o ponto que corresponde ao zero da função é igual</p><p>a (3, 0).</p><p>• Como a parábola é voltada para cima, o ponto é de</p><p>mínimo e suas coordenadas são iguais a:</p><p>xV = – b</p><p>2a = –(–6)</p><p>2∙1 = 6</p><p>2 = 3 e yV = – ∆</p><p>4a = –0</p><p>4∙1 = 0</p><p>4 = 0</p><p>Então o vértice da parábola é o ponto V = (3, 0).</p><p>51MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>• Por enquanto só temos um ponto: (3, 0) que é o zero</p><p>da função e também o vértice da parábola. Neste caso,</p><p>será necessário atribuir convenientemente mais dois</p><p>valores para x. Veja o Quadro 4:</p><p>Quadro 4 – Pontos que pertencem à função ƒ(x) = x2 – 6x + 9</p><p>x ƒ(x) = x2 – 6x + 9 (x, y)</p><p>2 ƒ(2) = 22 – 6 ∙ 2 + 9 = 4 –12 + 9 = 13 – 12 = 1 (2, 1)</p><p>3 ƒ(3) = 32 – 6 ∙ 3 + 9 = 9 – 18 + 9 = 18 – 18 = 0 (3, 0)</p><p>4 ƒ(4) = 42 – 6 ∙ 4 + 9 = 16 – 24 + 9 = 25 – 24 = 1 (4, 1)</p><p>Fonte: Elaborado pelo autor (2022).</p><p>• Localizar os pontos no plano e esboçar a parábola.</p><p>Figura 4 – Gráfico da função ƒ(x) = x2 – 6x + 9</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor (2022).</p><p>52 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Note que o gráfico da função ƒ intercepta o eixo em</p><p>apenas um ponto, sendo este o vértice da parábola. Observe</p><p>também que geometricamente o “zero” ou “raiz” da função é o</p><p>ponto em que ela “corta” o eixo x. Neste caso, ∆ = 0, logo há duas</p><p>raízes reais e iguais, ou seja, apenas um ponto do gráfico que</p><p>tangencia o eixo horizontal. Além disso, o vértice da parábola é,</p><p>de fato, o ponto mínimo da função.</p><p>b) g(x) = –x2 – x + 2 → a = –1; b = –1 e c = 2.</p><p>• A concavidade da parábola é voltada para baixo, pois</p><p>a < 0;</p><p>• ∆ = (–1)2 – 4 ∙ (–1) ∙ 2 = 1 + 8 = 9, como ∆ > 0, então a</p><p>função possui duas raízes reais e distintas. Calculando</p><p>g(x) = 0 temos:</p><p>–(–1) ±</p><p>2 ∙ (–1)→ x =x =</p><p>x1 = =</p><p>=</p><p>= –2</p><p>= 1x2 =</p><p>9</p><p>1 + 3</p><p>–2</p><p>1 – 3</p><p>–2</p><p>4</p><p>–2</p><p>–2</p><p>–2</p><p>–b ±</p><p>2a</p><p>Δ</p><p>Então, os pontos (-2,0) e (1,0) são os zeros da função, ou</p><p>seja, são os pontos que interceptam o eixo x.</p><p>• Como a parábola é voltada para baixo, o ponto é de</p><p>máximo e suas coordenadas são iguais a:</p><p>xV = –(–1)</p><p>2∙(–1)</p><p>= 1</p><p>–2</p><p>= –0,5 e yV = –9</p><p>4∙(–1)</p><p>= –9</p><p>–4</p><p>= 2,25</p><p>Então, o vértice da parábola é o ponto V = (3; 2,25).</p><p>• Já definimos três pontos que pertencem à função: (–2, 0)</p><p>e (1, 0) que interceptam o eixo x, pois são os zeros ou</p><p>raízes, e o ponto (3; 2, 25) que é o vértice da parábola.</p><p>53MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Assim, não é necessário atribuir mais pontos para</p><p>plotar o gráfico.</p><p>• Localizar os pontos e esboçar o gráfico. Note que</p><p>geometricamente os zeros da função são os pontos em</p><p>que ela “corta” o eixo x. Como ∆ >0 a função possui duas</p><p>raízes reais e distintas, logo, intercepta o eixo x em dois</p><p>pontos diferentes. Além disso, o vértice da parábola é o</p><p>ponto de altura máxima que ela atinge, ou seja, ponto</p><p>de máximo. O gráfico da função g ficará da seguinte</p><p>maneira:</p><p>Figura 5 – Gráfico da função g(x) = –x2 – x + 20</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor (2022).</p><p>c) h(x) = x2 + 2 → a = 1; b = 0 e c = 2.</p><p>• A concavidade da parábola é voltada para cima, pois</p><p>a > 0;</p><p>• ∆ = 02 – 4 ∙ 1 ∙ 2 = 0 – 8 = –8, como ∆ < 0, então a função</p><p>não possui raízes reais. Logo, não há valores reais para</p><p>x que anulem a função, ou seja, não há valores reais</p><p>54 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>tais que h(x) = 0. Geometricamente isso indica que a</p><p>parábola não intercepta o eixo das abscissas (eixo x).</p><p>• Como a parábola é voltada para cima, o ponto é de</p><p>mínimo e suas coordenadas são iguais a:</p><p>xV = –0</p><p>2 ∙ 1 = 0</p><p>2 = 0 e yV = –(–8)</p><p>4 ∙ 1 = 8</p><p>4 = 2</p><p>Então o vértice da parábola é o ponto V = (0, 2).</p><p>• Por enquanto só temos um ponto: (0, 2) que é o vértice</p><p>da parábola. Neste caso, será necessário atribuir</p><p>convenientemente mais dois valores para x. Veja o</p><p>Quadro 5:</p><p>Quadro 5 – Pontos que pertencem à função h(x) = x2 + 2</p><p>x g(x) = x2 + 2 (x, y)</p><p>–2 g(–2) = (–2)2 + 2 = 4 + 2 = 6 (–2, 6)</p><p>0 g(0) = 02 + 2 = 0 + 2 = 2 (0, 2)</p><p>2 g(2) = 22 + 2 = 4 + 2 = 6 (2, 6)</p><p>Fonte: Elaborado pelo autor (2022).</p><p>Figura 6 – Gráfico da função h(x) = x2 + 2</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor (2022)</p><p>55MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Como ∆ < 0 a função não possui raízes reais, portanto,</p><p>a parábola não intercepta o eixo das abscissas. Note que a</p><p>parábola tem a concavidade voltada para cima e vértice é o</p><p>ponto de mínimo.</p><p>SAIBA MAIS</p><p>Existem muitos aplicativos para auxiliar estudantes</p><p>em diversos níveis de ensino a explorar, visualizar</p><p>e compreender a matemática de uma maneira</p><p>dinâmica. O GeoGebra, por exemplo, é um</p><p>software gratuito que reúne álgebra, geometria,</p><p>planilhas, gráficos, estatística e cálculo em um</p><p>único ambiente. Explore as ferramentas clicando</p><p>no QR-Code.</p><p>Portanto, podemos ter uma ideia da posição da parábola</p><p>em relação aos eixos cartesianos, antes mesmo de esboçar o</p><p>gráfico. Observe a figura a seguir:</p><p>Figura 7 – Estudo do sinal do coeficiente a e do discriminante</p><p>https://www.geogebra.org/</p><p>56 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor (2022).</p><p>RESUMINDO</p><p>Neste capítulo, vimos que o gráfico de uma função</p><p>polinomial do segundo grau ou função quadrática é</p><p>representado por uma curva denominada parábola.</p><p>A concavidade da parábola é voltada para cima</p><p>quando a > 0 e voltada para baixo quando a < 0. Você</p><p>deve ter aprendido que, para construir o gráfico de</p><p>uma função quadrática é necessário definir alguns</p><p>pontos específicos sendo o vértice um deles. Vimos</p><p>também que a representação gráfica dos zeros ou</p><p>raízes da função é quando a parábola intercepta o</p><p>eixo das abscissas (eixo x) e no caso em que não</p><p>há raízes reais (∆ < 0), a parábola não intercepta o</p><p>eixo x.</p><p>57MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Matrizes e sua importância na</p><p>tecnologia</p><p>OBJETIVO</p><p>Ao término deste capítulo você conhecerá um</p><p>pouco mais a respeito das matrizes e dos vetores,</p><p>além de estudar conceitos e operações envolvendo</p><p>tais representações.</p><p>A grosso modo, podemos dizer que tanto as matrizes</p><p>quanto os vetores são estruturas utilizadas para representar</p><p>informações que apresentam uma grande quantidade de</p><p>variáveis, por meio de uma linguagem mais “simples”. Possuem</p><p>aplicabilidade em diversas áreas da Matemática, Física,</p><p>Engenharia, Biologia, Ciência da Computação, dentre outras.</p><p>Além de estarem intimamente relacionadas entre si.</p><p>Matrizes</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Sejam m e n números naturais não nulos.</p><p>Chamamos de matriz uma tabela constituída por m</p><p>linhas e n colunas, (m × n), indicada genericamente</p><p>da seguinte forma:</p><p>58 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Logo, a matriz A pode ser escrita de forma abreviada</p><p>assim:</p><p>A = (ai j )</p><p>m×n (6)</p><p>Em que i é um número do conjunto {1,2,3,…,m} e indica</p><p>a linha em que o termo está e j é um número do conjunto</p><p>{1,2,3,…,n} e indica a coluna em que o termo está. Uma matriz</p><p>sempre será representada por uma letra maiúscula do nosso</p><p>alfabeto e pode ser delimitada por um par de parênteses ( ) ou</p><p>um par de colchetes [ ].</p><p>As matrizes organizam os elementos de maneira lógica,</p><p>a fim de facilitar a representação, visualização e consulta das</p><p>informações. Veja:</p><p>Exemplo: a matriz a seguir indica a o consumo mensal,</p><p>em quilogramas, de dois alimentos básicos durante um</p><p>trimestre, por uma família. As linhas indicam, nesta ordem,</p><p>o consumo de arroz e de feijão. Já as colunas indicam os</p><p>meses de janeiro, fevereiro e março. Observe:</p><p>10 8 9</p><p>5 7 11( )</p><p>Responda:</p><p>a) Quantos quilogramas de arroz foram consumidos no</p><p>mês de fevereiro?</p><p>b) Quantos quilogramas de feijão foram consumidos no</p><p>trimestre?</p><p>c) Quantos quilogramas de arroz e feijão foram consumidos</p><p>em janeiro?</p><p>59MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>d) Qual é o número que está na posição a12 da matriz? O</p><p>que ele indica?</p><p>Solução: conforme o enunciado, as linhas indicam os</p><p>alimentos consumidos, em quilogramas e as colunas</p><p>indicam os meses. Portanto:</p><p>10 8 9</p><p>5 7 11( )</p><p>Jan.</p><p>Arroz</p><p>Feijão</p><p>Fev. Mar.</p><p>Agora basta olhar a posição dos números e responder as</p><p>perguntas:</p><p>a) No mês de fevereiro foram consumidos 8 kg de arroz.</p><p>b) No trimestre foram consumidos 5 + 7 + 11 = 23 kg de</p><p>feijão.</p><p>c) Em janeiro foram consumidos 10 + 5 = 15 kg de arroz e</p><p>feijão.</p><p>d) Ao compararmos a matriz apresentada com a matriz</p><p>genérica, temos:</p><p>10 8 9</p><p>5 7 11( ) =</p><p>a11 a12 a13</p><p>a21 a22 a23</p><p>( )</p><p>Assim, o elemento que está na posição a12 está no</p><p>encontro da 1.ª linha com a 2.ª coluna, logo, é o número 8.</p><p>Este número indica quantos quilogramas de arroz foram</p><p>consumidos pela família em fevereiro.</p><p>60 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Exemplo: obtenha a matriz A = (ai j )3×2 em que ai j = 2i – j.</p><p>Solução: queremos escrever uma matriz 3×2, ou seja, com</p><p>3 linhas e 2 colunas. Então, devemos fazer um esboço da</p><p>forma genérica desta matriz, calcular o valor de cada um</p><p>dos termos que a compõem, conforme a regra dada, e,</p><p>finalizar substituindo os resultados na forma geral. Veja:</p><p>a11</p><p>a11 = 2 ∙ 1 – 1 = 2 – 1 = 1</p><p>a21 = 2 ∙ 2 – 1 = 4 – 1 = 3</p><p>a31 = 2 ∙ 3 – 1 = 6 – 1 = 5</p><p>a12 = 2 ∙ 1 – 2 = 2 – 2 = 0</p><p>a22 = 2 ∙ 2 – 2 = 4 – 2 = 2</p><p>a32 = 2 ∙ 3 – 2 = 6 – 2 = 4</p><p>ai j = 2i – j</p><p>a12</p><p>a21</p><p>a31</p><p>A = →</p><p>3×2</p><p>a22</p><p>a32</p><p>( )</p><p>Logo, a matriz A =</p><p>a11 a12</p><p>a21</p><p>a31</p><p>a22</p><p>a32</p><p>( ) =</p><p>1 0</p><p>3</p><p>5</p><p>2</p><p>4( ).</p><p>Existem alguns tipos especiais de matrizes que você</p><p>precisa conhecer:</p><p>• Matriz linha: quando a matriz tem apenas uma linha.</p><p>• Matriz coluna: quando a matriz tem apenas uma</p><p>coluna.</p><p>• Matriz quadrada: quando matriz tem o número de</p><p>linhas igual ao número de colunas. Dizemos que esta</p><p>matriz é n×n ou de ordem n. Na matriz quadrada,</p><p>dizemos que os termos ai j quando i = j formam a</p><p>“diagonal principal” da matriz, enquanto a outra</p><p>diagonal é chamada de “diagonal secundária”.</p><p>• Matriz identidade (ou matriz unidade): é toda matriz</p><p>quadrada em que a diagonal principal é formada</p><p>somente pelo número 1 e os demais elementos da</p><p>matriz são iguais a zero.</p><p>61MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Veja um exemplo de cada tipo de matriz:</p><p>Operações com matrizes</p><p>Na linguagem matricial só é possível realizar três</p><p>operações aritméticas: adição, subtração e multiplicação. Confira</p><p>cada um dos casos.</p><p>Adição e subtração de matrizes</p><p>Adicionar ou subtrair duas matrizes de mesmo tipo</p><p>(mesmo número de linhas e mesmo número de colunas)</p><p>consiste em adicionar ou subtrair cada um dos elementos que</p><p>as compõem respeitando a posição deles na matriz. Observe os</p><p>exemplos:</p><p>Exemplo: dadas as matrizes A = 2 3</p><p>4 6( ) , B = 1 –1</p><p>–1 1( ) e</p><p>C = 1 2</p><p>2 1( ) , calcule:</p><p>a) A + B</p><p>b) B + C</p><p>c) A – C</p><p>Solução: para realizar as operações indicadas, basta</p><p>escrever as matrizes e adicionar ou subtrair os termos, um</p><p>a um, respeito a posição em que ocupam dentro da matriz.</p><p>Veja:</p><p>62 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>a) A + B = 2 3</p><p>4 6( )+ 1 –1</p><p>–1 1( ) = 2 + 1 3 + (–1)</p><p>4 + (–1) 6+1( )= 3 2</p><p>3 7( )</p><p>b) B + C = 1 –1</p><p>–1 1( ) + 1 2</p><p>2 1( )= 1 + 1 –1 + 2</p><p>–1 + 2 1 + 1( )= 2 1</p><p>1 2( )</p><p>c) A – C = 2 3</p><p>4 6( )+ 1 2</p><p>2 1( )= 2 – 1 3 – 2</p><p>4 – 2 6 – 1( )= 1 1</p><p>2 5( )</p><p>Multiplicação de um número real por uma</p><p>matriz</p><p>Para multiplicar um número real k por uma matriz, basta</p><p>multiplicar o número k por cada um dos elementos da matriz.</p><p>Exemplo: dada a matriz A =</p><p>2 4</p><p>6</p><p>10</p><p>8</p><p>12( ), determine:</p><p>a) 2A</p><p>b) –3A</p><p>c) 1</p><p>2</p><p>A</p><p>Solução: multiplique o número por cada um dos elementos</p><p>da matriz. Veja:</p><p>a) 2A = 2 ∙</p><p>2 4</p><p>6</p><p>10</p><p>8</p><p>12( )=</p><p>2∙2 2∙4</p><p>2∙6</p><p>2∙10</p><p>2∙8</p><p>2∙12( )=</p><p>4 8</p><p>12</p><p>20</p><p>16</p><p>24( )</p><p>b) –3A = –3∙</p><p>2 4</p><p>6</p><p>10</p><p>8</p><p>12( )=</p><p>–3∙2 –3∙4</p><p>–3∙6</p><p>–3∙10</p><p>–3∙8</p><p>–3∙12( )=</p><p>–6 –12</p><p>–18</p><p>–30</p><p>–24</p><p>–36( )</p><p>c) 1</p><p>2</p><p>A = 1</p><p>2 ∙</p><p>2 4</p><p>6</p><p>10</p><p>8</p><p>12( )=</p><p>1</p><p>2 ∙2 1</p><p>2 ∙4</p><p>1</p><p>2 ∙6</p><p>1</p><p>2 ∙10</p><p>1</p><p>2 ∙8</p><p>1</p><p>2 ∙12</p><p>( )=</p><p>1 2</p><p>3</p><p>5</p><p>4</p><p>6( )</p><p>Multiplicação de matrizes</p><p>A multiplicação entre duas matrizes só pode ser realizada</p><p>se, e somente se, o número de colunas da 1.ª matriz for igual ao</p><p>63MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>número de linhas da 2.ª matriz. A matriz produto, terá a mesma</p><p>quantidade de linhas da 1.ª matriz e a mesma quantidade de</p><p>colunas da 2.ª matriz. Na multiplicação de matriz por matriz</p><p>deve-se “multiplicar linhas por coluna”. Observe um exemplo:</p><p>Exemplo: sendo A= 0 1</p><p>2 –1( ) e B = 1 –1 0</p><p>3 5 –3( ) , determine:</p><p>a) A∙B</p><p>b) B∙A</p><p>Solução: primeiro deve-se verificar se é possível realizar a</p><p>multiplicação. Se for possível realizar a multiplicação deve-</p><p>se multiplicar “linha por coluna”, neste exemplo o primeiro</p><p>elemento da nova matriz é igual ao produto do primeiro</p><p>número da primeira linha pelo primeiro número da coluna</p><p>mais o produto do segundo número da primeira linha pelo</p><p>segundo número da coluna. Deve-se fazer o mesmo para</p><p>os demais termos. Acompanhe:</p><p>a) Como A é do tipo 2×2 e B é do tipo 2×3 é possível realizar</p><p>a multiplicação entre elas, pois:</p><p>A2x2 ∙ B2x3 = C2x3</p><p>Iguais</p><p>Então,</p><p>A ∙ B = ∙ 0 1</p><p>2 –1( ) 1 –1 0</p><p>3 5 –3( )</p><p>A∙B = 0 ∙ 1 + 1 ∙ 3 0 ∙ (–1) + 1 ∙ 5 0 ∙ 0 + 1∙ (–3)</p><p>2 ∙ 1 + (–1) ∙ 3 2∙(–1) + (–1) ∙ 5 2 ∙ 0 + (–1) ∙ (–3)( )</p><p>A∙B = 3 5 –3</p><p>–1 –7 3( )</p><p>64 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>b) Como B é do tipo 2×3 e A é do tipo 2×2, não é possível</p><p>realizar a multiplicação entre elas, pois:</p><p>B2x3 ∙ A2x2</p><p>Diferentes</p><p>Então, não existe B∙A.</p><p>Vetores</p><p>Nas ciências, de um modo geral, trabalha-se com dois</p><p>tipos de grandezas:</p><p>• Grandezas escalares – aquelas que são completamente</p><p>definidas por um número real e a unidade de medida,</p><p>tais como: comprimento, área, volume e temperatura.</p><p>• Grandezas vetoriais – aquelas que precisam, de mais</p><p>informações para estarem completamente definidas.</p><p>No caso das grandezas vetoriais é necessário conhecer</p><p>o módulo, a direção e o sentido. São exemplos:</p><p>aceleração, força, velocidade e deslocamento.</p><p>Com aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento, os</p><p>vetores são utilizados para expressar grandezas físicas vetoriais,</p><p>isto é, aquelas que só podem ser definidas se identificado o seu</p><p>valor numérico, a direção em que atuam, bem como o seu o</p><p>sentido.</p><p>Dentre as notações de vetor, uma que é muito utilizada</p><p>é a representação com uma letra minúscula com uma seta em</p><p>cima: u⃗ (lê-se: vetor u). Observe na figura a seguir a representação</p><p>geométrica de um vetor:</p><p>65MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Figura 8 – Imagem geométrica ou representante do vetor u⃗</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor (2022).</p><p>Observando a figura constatamos que: módulo (norma</p><p>ou comprimento) de um vetor é o tamanho dele, direção do vetor</p><p>é a direção da reta suporte que o contém e sentido do vetor é a</p><p>orientação da seta.</p><p>Indicamos na figura que se trata da imagem geométrica</p><p>ou de um representante do vetor u⃗ , pois, vetor pode ser</p><p>compreendido como o conjunto com todos os segmentos</p><p>orientados com mesma direção, mesmo sentido e mesmo</p><p>comprimento.</p><p>Ainda observando a figura 8, note que o vetor representado</p><p>inicia no ponto A e termina no ponto B, logo, dizemos que A é a</p><p>origem e B é a extremidade do vetor. Assim, também podemos</p><p>representar um vetor como:</p><p>u⃗ = B – A ou u⃗ = AB→</p><p>66 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Módulo de um vetor é o número não negativo que</p><p>indica o comprimento do vetor. Representamos</p><p>por |v⃗ |.</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Vetor nulo, o ⃗ , é o vetor com módulo igual a zero</p><p>e direção e sentido arbitrários. Graficamente é</p><p>representado pela origem do sistema cartesiano.</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Vetor unitário é o vetor cujo módulo é igual a 1.</p><p>É importante destacar que um vetor pode ser representado</p><p>no espaço bidimensional, isto é, no plano cartesiano como visto</p><p>na figura 8 e também no espaço tridimensional. Observe:</p><p>Figura 9 – Imagem geométrica do vetor v⃗ no espaço tridimensional</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor (2022)</p><p>67MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>As mesmas regras que utilizamos para localizar um ponto</p><p>no plano cartesiano valem no espaço tridimensional. Agora, além</p><p>dos eixos x e y temos o eixo z. Neste sistema de coordenadas os</p><p>eixos são ortogonais entre si e a tripla ou terna ordenada</p><p>(x, y, z)</p><p>indica o “endereço” ou localização do ponto no espaço. Note que</p><p>essa representação nos lembra uma matriz linha, logo, também</p><p>é possível representar um vetor utilizando uma forma matricial</p><p>como uma matriz linha ou matriz coluna:</p><p>v⃗ = (x y z) ou v⃗ =</p><p>x</p><p>y</p><p>z( )</p><p>Tais notações são muito utilizadas em áreas da</p><p>Matemática tais como a Geometria Analítica e a Álgebra Linear.</p><p>Adição de vetores</p><p>Existem duas maneiras de se efetuar a adição vetorial:</p><p>regra do polígono e regra do paralelogramo.</p><p>Regra do polígono</p><p>Pode ser usada na adição de qualquer quantidade de</p><p>vetores. Para isso, basta posicionar a extremidade de um na</p><p>origem do vetor seguinte e assim por diante. O vetor soma ou</p><p>resultante é o segmento orientado, com origem no primeiro</p><p>vetor e extremidade no último, que fecha o polígono.</p><p>68 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Figura 10 – Adição dos vetores u⃗ , v⃗ e w⃗ pela regra do polígono.</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor (2022).</p><p>O vetor r⃗ é o resultado da soma dos vetores u⃗ , v⃗ e w⃗.</p><p>Logo, pode ser representado por: r⃗ = u⃗ + v⃗ + w⃗.</p><p>No exemplo a seguir, utilizaremos a representação do</p><p>vetor como uma terna (tripla) ordenada. Acompanhe:</p><p>Exemplo: sejam os vetores u⃗ = (–1, 0, 2) e v⃗ =(0, –1, 3)</p><p>determine u⃗ + v⃗ .</p><p>Solução: ao representá-los utilizando a tripla, consideramos</p><p>que tanto o vetor u⃗ quanto o vetor v⃗ tem origem no</p><p>ponto O = (0, 0, 0), origem do sistema, e extremidade no</p><p>ponto que tem as coordenadas indicadas pela terna que</p><p>está identificando o vetor. Assim, para efetuar a adição</p><p>desses vetores, basta somar os valores de cada uma das</p><p>coordenadas:</p><p>u⃗ + v⃗ = (–1, 0, 2) + (0, –1, 3) = (–1 + 0,0 + (–1), 2 + 3) =</p><p>(–1, –1, 5)</p><p>69MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>O exemplo poderia ter sido resolvido efetuando-se a adição</p><p>de duas matrizes. Observe a representação utilizando-se</p><p>matrizes do tipo coluna:</p><p>u⃗ + v⃗ =</p><p>–1</p><p>0</p><p>2( )+</p><p>0</p><p>–1</p><p>3( )=</p><p>–1 + 0</p><p>0 – 1</p><p>2 + 3( )=</p><p>–1</p><p>–1</p><p>5( )</p><p>Sejam u⃗ e v⃗ dois vetores, então, na adição valem as</p><p>seguintes propriedades:</p><p>• Comutativa: u⃗+ v⃗ = v⃗ + u⃗ ;</p><p>• Associativa: (u⃗ + v⃗ ) + w⃗ = (v⃗ + w⃗) + u⃗ ;</p><p>• Elemento neutro: 0⃗ + v⃗ = v⃗ + 0⃗ = v⃗ ;</p><p>• Elemento oposto: –v⃗ + v⃗ = v⃗ +(–v⃗ ) = 0⃗ ;</p><p>• Lei do cancelamento: u⃗ + v⃗ = u⃗ + w⃗ → v⃗ = w⃗.</p><p>Regra do paralelogramo</p><p>Muito utilizada na composição de forças na Mecânica, a</p><p>regra do paralelogramo é uma consequência da propriedade</p><p>comutativa. Observe:</p><p>Figura 11 – Adição dos vetores u⃗ e v⃗ pela regra do paralelogramo</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor (2022).</p><p>70 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Considere os vetores u⃗ = AB→ e v⃗ = BC→ . Pela propriedade</p><p>comutativa temos u⃗ + v⃗ = v⃗ + u⃗ , logo, a diagonal do paralelogramo</p><p>formado pelos pontos ABCD representa a soma dos vetores.</p><p>Importante: o paralelogramo possui duas diagonais. Neste caso,</p><p>considera-se a diagonal em que as imagens geométricas dos</p><p>vetores têm a mesma origem, neste caso, a diagonal que contém</p><p>o ponto A.</p><p>Subtração de vetores</p><p>Graficamente a diferença entre dois vetores é dada</p><p>posicionando os dois de tal maneira que fiquem com a mesma</p><p>origem. O vetor diferença é o segmento orientado, com origem</p><p>no segundo vetor e extremidade no primeiro, que fecha o</p><p>triângulo. Observe as figuras a seguir:</p><p>Figura 12 – Representação gráfica de u⃗ – v⃗</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor (2022).</p><p>71MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>Figura 13 – Representação gráfica de v⃗ – u⃗</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor (2022).</p><p>Na figura 12 observamos a representação gráfica de u⃗– v⃗ e</p><p>na figura 13 a representação gráfica v⃗ – u⃗ . Observe que o</p><p>segmento orientado que resulta na diferença dos vetores não</p><p>possui o mesmo sentido. Logo, a subtração de vetores não é</p><p>comutativa.</p><p>Se representarmos a subtração com a terna ordenada,</p><p>basta efetuar a subtração na ordem em que as coordenadas do</p><p>vetor aparecem. Veja:</p><p>Exemplo: sejam os vetores u⃗ =(–1, 0, 2) e v⃗ = (0, –1, 3),</p><p>calcule:</p><p>a) u⃗– v⃗ .</p><p>b) v⃗ – u⃗ .</p><p>Solução:</p><p>a) u⃗ – v⃗ = (–1, 0, 2)–(0, – 1,3) = (–1– 0,0 – (–1), 2 – 3) = (–1,1, –1).</p><p>72 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>b) v⃗ – u⃗ = (0, –1, 3) – (–1,0,2) = (0– (–1), –1 – 0,3 – 2) = (1,– 1,1).</p><p>Perceba que, de fato, u⃗ – v⃗ ≠ v⃗ – u⃗ , logo a subtração não é</p><p>comutativa.</p><p>Multiplicação de um número real por</p><p>um vetor</p><p>Seja m um número real e v⃗ = (x, y, z) um vetor, então o</p><p>produto do vetor pelo número real é dado por mv⃗ = m∙ (x, y, z) =</p><p>(mx, my, mz).</p><p>Exemplo: considere o vetor v⃗ = (5, 2, –3). Qual é o vetor que</p><p>representa o dobro de v⃗ ?</p><p>Solução: basta calcular o valor das coordenadas de 2v⃗ , ou</p><p>seja:</p><p>2v⃗ = 2 ∙ (5, 2, –3) = (2 ∙ 5,2 ∙ 2,2 ∙ (–3)) = (10, 4, – 6).</p><p>Sejam v⃗ e w⃗ dois vetores, k e m números reais (aqui</p><p>denominados escalares), então, na multiplicação valem as</p><p>seguintes propriedades:</p><p>• Comutativa: k ∙ v⃗ = v⃗ ∙ k;</p><p>• Distributiva em relação à adição de vetores: k∙(v⃗ + w⃗) =</p><p>k ∙ v⃗ + k ∙ w⃗;</p><p>• Distributiva em relação à adição de escalares: (k + m) ∙ v⃗ =</p><p>k ∙ v⃗ + m ∙ v⃗ ;</p><p>• Associativa em relação aos escalares: k ∙ (m ∙ v⃗ ) =</p><p>(k ∙ m) ∙ v⃗ = m ∙ (k ∙ v⃗ );</p><p>73MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>• Elemento neutro: 1 ∙ v⃗ = v⃗ ∙ 1= v⃗ ;</p><p>• Elemento oposto: –1 ∙ v⃗ = –v⃗ , em que –v⃗ é o oposto de</p><p>v⃗ .</p><p>RESUMINDO</p><p>Neste capítulo, vimos que matriz é uma forma</p><p>de organizar dados similar a uma tabela e que é</p><p>possível realizar adição e subtração entre matrizes,</p><p>multiplicação por um número real e, em alguns</p><p>casos, multiplicação de matriz por matriz. Já os</p><p>vetores são utilizados para expressar grandezas</p><p>físicas que só podem ser definidas identificando</p><p>módulo, direção e sentido. Estudamos também</p><p>como efetuar adição e subtração entre vetores e</p><p>a multiplicação de um vetor por um número real.</p><p>74 MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>U</p><p>ni</p><p>da</p><p>de</p><p>2</p><p>BOULOS, P.; CAMARGO, I. de. Geometria Analítica: um tratamento</p><p>vetorial. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2004.</p><p>DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações – Ensino Médio.</p><p>São Paulo: Ática, 2011.</p><p>DANTE, L. R. Teláris matemática – 9º ano: Ensino Fundamental. 3.</p><p>ed. São Paulo: Ática, 2018.</p><p>GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática fundamental: uma</p><p>nova abordagem – Ensino Médio. São Paulo: FTD, 2002.</p><p>LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A</p><p>Matemática do Ensino Médio 9. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.</p><p>LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C.</p><p>Temas e problemas elementares. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM,</p><p>2006.</p><p>SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N.; GRECO, S. E. Matemática – Ensino</p><p>Médio. 5. ed. São Paulo: Ática, 2000.</p><p>SANTOS, N. M. dos. Vetores e matrizes: uma introdução à álgebra</p><p>linear. 4. ed. São Paulo: Thomson Pioneira, 2007.</p><p>SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. de S. V. Matemática: Ensino Médio. 6.</p><p>ed. São Paulo: Saraiva, 2010.</p><p>VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 10. ed.</p><p>Curitiba: Livrarias Curitiba, 2015.</p><p>RE</p><p>FE</p><p>RÊ</p><p>N</p><p>CI</p><p>A</p><p>S</p><p>Equações do segundo grau aplicadas</p><p>Identificação e classificação da equação do segundo grau</p><p>Solução de uma equação do segundo grau incompleta</p><p>1º caso: quando b = 0</p><p>2º caso: quando c = 0</p><p>3º caso: quando b = 0 e c = 0</p><p>Solução de uma equação do segundo grau completa</p><p>Estudo do discriminante</p><p>Funções quadráticas</p><p>na prática</p><p>Função, domínio, contradomínio e imagem</p><p>Função quadrática</p><p>Raízes ou zeros de uma função quadrática</p><p>Vetores aplicados à física e à computação</p><p>Parábola: concavidade e vértice</p><p>Construção e interpretação do gráfico</p><p>Matrizes e sua importância na tecnologia</p><p>Matrizes</p><p>Operações com matrizes</p><p>Adição e subtração de matrizes</p><p>Multiplicação de um número real por uma matriz</p><p>Multiplicação de matrizes</p><p>Vetores</p><p>Adição de vetores</p><p>Regra do polígono</p><p>Regra do paralelogramo</p><p>Subtração de vetores</p><p>Multiplicação de um número real por um vetor</p>