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Campos Vetoriais
Prof.: Elias Arcanjo
Funções 
Em geral uma função é uma regra que
associa a cada elemento de seu domínio
um elemento de sua imagem.
Nós podemos classificar dois tipos de
funções: as funções escalares e as
funções vetoriais.
Função escalar
Uma função escalar, ou função a valores
reais, é regra que associa a cada elemento
de seu domínio um número real de sua
imagem. As funções escalares na física
definem grandezas escalares tais como:
temperatura, pressão, densidade, etc.
Função vetorial
A função vetorial, ou função a valores
vetoriais, é uma função que associa um
vetor a cada elemento do seu domínio. Na
física as funções vetoriais definem
grandezas vetoriais tais como: velocidade,
aceleração, força, etc.
Notação:
f(x) = g(x)i + h(x)j + n(x)k,
Onde:
i, j e k são as base canônicas e g(x), h(x)
e n(x) são as funções componentes
1.º Dada a função vetorial f(t) = t²i + 2tj +
(t+1)k, determina a imagem da função
para t igual a: 2, -1 e 0
Exemplo 1
SOLUÇÃO:
f(2) = 2²i + 2*1j + (2+1)k= 4i + 2j + 3k
f(-1) = (-1)²i + 2*(-1)j + (-1+1) k = i - 2j
f(0) = 0²i + (-2)*0j + (0+1)k = k
Derivada de função vetorial 
TEOREMA: Se f(x) = g(x)i + h(x)j + n(x)k, 
onde g, h e n são funções diferenciáveis, 
então
f´(x) = g´(x)i + h´(x)j + n´(x)k
Exemplo: 
a)Determine a derivada de r(t)= t³i + e-tj + 
sen(2t) k
SOLUÇÃO:
r´(t) = 3t²i +e-t(-1)j + cos (2t)*2k 
r´(t) = 3t²i - e-tj + 2cos (2t)k
Campo escalar
Um campo escalar é uma função
que associa um escalar a todo
ponto no espaço.
- Representação gráfica
Um campo escalar representando, por
exemplo, pressão ou temperatura, pode ser
ilustrado utilizando-se variação de cores.
Curvas de níveis 
Campos vetoriais 
• Em geral, um campo vetorial é uma
função cujo domínio é um conjunto de
pontos do R²(R³) e cujo imagem é um
conjunto de vetores em V2 (V3).
DEFINIÇÃO 1: Seja D é um conjunto em R²
(uma região plana). Um campo vetorial em
R² é uma função que associa a cada ponto
(x,y) em D um vetor bidimensional F(x,y).
Como F(x,y) é um vetor bidimensional,
podemos escrevê-lo em termos de suas
funções componentes P e Q, da
seguinte forma:
F(x,y) = P(x,y)i + Q(x,y)j
ou de forma mais compacta
F(x,y) = Pi + Qj
Observe que P e Q são funções escalares
de duas variáveis e são chamados
algumas vezes de campos escalares, para
distigui-los dos campos vetoriais
Representação gráfica
0
(x,y)
F(x,y)
x
y
DEFINIÇÃO 2: Seja E um subconjunto do R³.
Um campo vetorial em R3 é uma função F
que associa a cada ponto (x,y,z) em E um
vetor tridimensional F(x,y,z).
Representação gráfica 
y
z
x
F(x,y,z)
Um campo vetorial em R² é definido por
F(x,y)= -yi + xj. Descreva F desenhando
alguns de seus vetores.
(x,y) F(x,y)
(1,0) 1j
(0,1) -1i
(-1,0) -1j
(0,-1) 1i
(3,0) 3j
(0,3) -3i
(-3,0) -3j
(0,-3) 3i
(2,2) -2i + 2j
(-2,2) -2i - 2j
(-2,-2) 2i - 2j
(2,-2) 2i + 2j
Esboce o campo vetorial em R³ dado por 
F(x,y,z)=zk
y
z
x
1.º Esboce o campo vetorial F,
desenhando um diagrama como
mostrado nos slide anteriores.
a) F(x,y) = 1/2(i + j)
b) F(x,y) = yi + 1/2j
c) F(x,y) = i + xj
Produto Escalar:
“Chama-se produto escalar, ou produto
interno, a operação na qual se obtêm
um número(função escalar) real a
partir de dois vetores (funções
vetoriais).”
zzyyxu vuvuvuvu 







kji
kji
zyx
zyx
vvvv
uuuu


 :que talv e u vetoresos Sejam

)kji()kji(

zyxzyx vvvuuuvu 
Produto vetorial
“ Chama-se produto vetorial a operação
entre dois vetores (funções vetoriais)
na qual se obtêm um terceiro vetor
(função vetorial) ortogonal a estes dois
vetores.”






kji
kji
zyx
zyx
vvvv
uuuu


 :que tal
 v e u vetoresos Sejam

zyx
zyx
vvv
uuu
kji
vu

det
Calculando o produto vetorial
zyx
zyx
vvv
uuu
kji
vu

det
yx
yx
vv
uu
ji

vu

 )( jvu xz

 )( ivu zy

)( kvu yx


)( kvu xy

 )( ivu yz

 )( jvu zx


kvuvu
jvuvuivuvuvu
xyyx
zxxzyzzy


)(
)()(


1.º Dado os vetores u= cosxi+exj+5k
e v = 3i + xj + senxk, determine:
a) u.v
b) u x v
Exercício 
1.º Calcule as derivadas parciais de 1ª 
ordem: 
yx
yx
y
ffjyxseniyxyxfb
fefjexixyxfa
 e ,²)²()3cos(),()
 ,)cos(),() 2




2.º Determine as funções. 
 kxjexixyzk
z
j
y
i
x
zyxlb
jeiyxj
y
i
x
yxga
y
y





























²),,()
)cos(),() ²