Lista_-_CDI1-2024 1_-_Integrais

Prévia do material em texto

<p>UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO</p><p>UNIDADE ACADÊMICA DE BELO JARDIM</p><p>Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1</p><p>Turma: EQ1 e EH1</p><p>1. Seja f a função representada pelos segmentos de reta na figura abaixo.</p><p>1 2 3 5 6 7</p><p>−2</p><p>2</p><p>4</p><p>X</p><p>Y</p><p>Encontre os valores das seguintes integrais:</p><p>a.</p><p>Z 2</p><p>0</p><p>f(x)dx</p><p>b.</p><p>Z 5</p><p>2</p><p>f(x)dx</p><p>c.</p><p>Z 6</p><p>1</p><p>f(x)dx</p><p>d.</p><p>Z 5</p><p>1</p><p>f(x)dx</p><p>e.</p><p>Z 7</p><p>5</p><p>f(x)dx</p><p>f.</p><p>Z 7</p><p>2</p><p>f(x)dx</p><p>2. Nos itens a seguir, faça o esboço da integral pedida e calcule o valor da mesma a partir da</p><p>figura.</p><p>a.</p><p>Z 2</p><p>0</p><p>p</p><p>4− x2dx, b.</p><p>Z 4</p><p>2</p><p>1 + xdx, c.</p><p>Z 1</p><p>0</p><p>x2 − 1dx.</p><p>Dica: (a) círculo, (b) reta, (c) lembre que</p><p>Z 1</p><p>0</p><p>x2dx =</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>3. Calcule as integrais indefinidas abaixo.</p><p>a.</p><p>Z</p><p>x2 + 3x</p><p>x3</p><p>dx</p><p>b.</p><p>Z √</p><p>x+ x</p><p>2</p><p>3dx</p><p>c.</p><p>Z</p><p>xe + exdx</p><p>d.</p><p>Z</p><p>(y − 1)(y + 1)dy</p><p>e.</p><p>Z</p><p>(t− 1)t+ t</p><p>√</p><p>tdt</p><p>f.</p><p>Z</p><p>sec2 x+</p><p>1</p><p>x2 + 1</p><p>+</p><p>1√</p><p>1− x2</p><p>dx</p><p>Dica: (a) separe em frações, (b) escreva na forma xn, (c) tabela, (d) distribua, (e) distribua,</p><p>(f) tabela.</p><p>4. Calcule as derivadas abaixo.</p><p>a.</p><p>d</p><p>dx</p><p>Z cosx</p><p>sinx</p><p>et</p><p>2</p><p>dt</p><p>b.</p><p>d</p><p>dx</p><p>Z x2</p><p>2x</p><p>2t</p><p>t2 − 1</p><p>dt</p><p>c.</p><p>d</p><p>dx</p><p>Z √</p><p>x</p><p>x2+3x+1</p><p>ln tdt</p><p>d.</p><p>d</p><p>dx</p><p>Z 4</p><p>1</p><p>et</p><p>2</p><p>dt</p><p>e.</p><p>d</p><p>dx</p><p>Z −x</p><p>1</p><p>t2 + 2t− 1dt</p><p>f.</p><p>d</p><p>dx</p><p>Z 4</p><p>x2</p><p>dt</p><p>Dica:</p><p>d</p><p>dx</p><p>Z g(x)</p><p>h(x)</p><p>f(t)dt = f(g(x)) · g′(x)− f(h(x)) · h′(x).</p><p>5. Em cada item abaixo, escolha uma substituição conveniente, e faça o cálculo da respectiva</p><p>integral indefinida.</p><p>a.</p><p>Z</p><p>ln(</p><p>√</p><p>x)</p><p>2</p><p>√</p><p>x</p><p>dx</p><p>b.</p><p>Z</p><p>x3</p><p>p</p><p>x2 + 1dx</p><p>c.</p><p>Z</p><p>sin(lnx)</p><p>x</p><p>dx</p><p>d.</p><p>Z</p><p>1 + x</p><p>1 + x2</p><p>dx</p><p>e.</p><p>Z</p><p>x</p><p>1 + x4</p><p>dx</p><p>f.</p><p>Z</p><p>x2</p><p>√</p><p>x+ 2dx</p><p>g.</p><p>Z</p><p>sin(2x)</p><p>1 + cos2 x</p><p>dx</p><p>h.</p><p>Z</p><p>sinx</p><p>1 + cos2 x</p><p>dx</p><p>i.</p><p>Z</p><p>3x cos(3x)dx</p><p>6. Use o método de Integração por Substituição para calcular as integrais a continuação.</p><p>a.</p><p>Z e</p><p>1</p><p>x+ 2</p><p>x+ 1</p><p>dx</p><p>b.</p><p>Z 1</p><p>0</p><p>ee</p><p>x</p><p>exdx</p><p>c.</p><p>Z 4</p><p>2</p><p>2x+ 3</p><p>x2 + 3x− 9</p><p>dx</p><p>d.</p><p>Z 1</p><p>0</p><p>2x+ 1</p><p>x2 + 1</p><p>dx</p><p>e.</p><p>Z 2</p><p>1</p><p>ee</p><p>x</p><p>ex+2dx</p><p>f.</p><p>Z π</p><p>2</p><p>0</p><p>cosx</p><p>√</p><p>1 + sinxdx</p><p>7. Em cada item abaixo, use a Técnica de Integração por Partes, e faça o cálculo da respectiva</p><p>integral indefinida.</p><p>a.</p><p>Z</p><p>x sinxdx</p><p>b.</p><p>Z</p><p>x cosxdx</p><p>c.</p><p>Z</p><p>x2exdx</p><p>d.</p><p>Z</p><p>x cos(5x)dx</p><p>e.</p><p>Z</p><p>x2 lnxdx</p><p>f.</p><p>Z</p><p>x3xdx</p><p>8. Calcule as integrais trigonométricas abaixo</p><p>a.</p><p>Z π</p><p>0</p><p>sin5 xdx</p><p>b.</p><p>Z π</p><p>4</p><p>0</p><p>sin4(2x) cos5(2x)dx</p><p>c.</p><p>Z</p><p>sin3 x cos9 xdx</p><p>d.</p><p>Z π</p><p>0</p><p>sin2(2x)dx</p><p>e.</p><p>Z π</p><p>0</p><p>cos2(2x)dx</p><p>f.</p><p>Z</p><p>sin2 x cos2 xdx</p><p>9. Em cada item abaixo, encontre uma mudança trigonométrica conveniente e use-a para</p><p>resolver a integral proposta</p><p>a.</p><p>Z</p><p>2x√</p><p>1− x2</p><p>dx b.</p><p>Z p</p><p>x2 − 16dx c.</p><p>Z</p><p>1</p><p>x2</p><p>√</p><p>x2 + 4</p><p>dx</p><p>10. Resolva as integrais abaixo, utilizando a Técnica de Integração por Frações Parciais.</p><p>a.</p><p>Z</p><p>1</p><p>x2 − 4</p><p>dx b.</p><p>Z</p><p>x+ 1</p><p>x3 + x2 − 6x</p><p>dx c.</p><p>Z</p><p>1</p><p>x2 − 1</p><p>dx</p><p>11. Dada a circunferência de raio R, calcule o volume da esfera gerada pela revolução dessa</p><p>circunferência em torno do eixo x.</p><p>12. Calcule a área limitada entre as funções dadas</p><p>a. f(x) = 4− x2 e g(x) = x2 − 4.</p><p>b. f(x) = sin2 x e g(x) = − cos2 x para x ∈ [0, π2 ].</p><p>13. Em cada item a continuação, escolha uma mudança de variáveis trigonométrica apropriada</p><p>e calcule o valor da respectiva integral.</p><p>a.</p><p>Z π</p><p>2</p><p>0</p><p>sin2(2x)dx b.</p><p>Z π</p><p>2</p><p>0</p><p>sin3 x cosxdx c.</p><p>Z</p><p>tan3 x sec2 xdx</p>