Aula sobre funções polinomiais

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<p>Aula: Introdução às Funções Polinomiais</p><p>Objetivos:</p><p>· Compreender o conceito de função polinomial.</p><p>· Identificar os componentes de uma função polinomial.</p><p>· Aprender sobre grau, coeficientes e termos em uma função polinomial.</p><p>· Explorar exemplos e aplicações de funções polinomiais.</p><p>Introdução: Uma função polinomial é um tipo importante de função matemática que envolve potências de uma variável. Ela é definida pela soma de termos, cada um composto por uma constante multiplicadora (coeficiente) e uma potência da variável. Funções polinomiais têm diversas aplicações em matemática, ciência, engenharia e outras áreas.</p><p>Componentes de uma Função Polinomial: Uma função polinomial tem a seguinte forma geral:</p><p>0P(x)=an​xn+an−1​xn−1+…+a2​x2+a1​x+a0​</p><p>Onde:</p><p>· P(x) é o valor da função em relação ax.</p><p>· n é o grau do polinômio (o maior expoente da variável x).</p><p>· 0an​,an−1​,…,a0​ são os coeficientes do polinômio.</p><p>· x é a variável independente.</p><p>Grau de um Polinômio: O grau de um polinômio é o valor do maior expoente da variável x presente nos termos do polinômio. Isso determina o comportamento geral da função. Por exemplo:</p><p>· Um polinômio de grau 0 é uma constante.</p><p>· Um polinômio de grau 1 é uma função linear.</p><p>· Um polinômio de grau 2 é uma função quadrática.</p><p>· E assim por diante...</p><p>Coeficientes e Termos:</p><p>· Os coeficientes 0an​,an−1​,…,a0​ determinam a influência de cada termo na função global.</p><p>· Um termo como ak​xk tem o coeficiente ak​ e a potência xk.</p><p>· A soma de todos os termos resulta na função polinomial completa.</p><p>Exemplos e Aplicações:</p><p>1. f(x)=3x²−5x+2f(x)=3x2−5x+2 - Esta é uma função quadrática que modela o movimento de um objeto sob aceleração constante.</p><p>2. g(t)=0.5t³+t2−2t(t)=0.5t3+t2−2t - Esta função cúbica pode representar o crescimento de uma população ao longo do tempo.</p><p>3. h(x)=4x4+x3−7x2+2x−1 - Um polinômio de grau 4 com diversos termos, usado em análises de equações diferenciais.</p><p>4. Engenharia: Funções polinomiais são usadas para modelar circuitos elétricos e sistemas mecânicos.</p><p>5. Economia: Em análises econômicas, funções polinomiais podem representar relações entre variáveis.</p><p>Conclusão: As funções polinomiais são fundamentais na matemática e em muitas áreas da ciência e engenharia. Elas ajudam a descrever comportamentos, padrões e relações entre variáveis. Entender os componentes, grau e coeficientes de uma função polinomial é essencial para a aplicação bem-sucedida desse conceito em diversos contextos.</p><p>Dada a função f(x) = x³ + 3x² – 2x – 9, o valor de f(2) – f( – 3) é:</p><p>A) – 3</p><p>B) 2</p><p>C) 3</p><p>D) 7</p><p>E) 10</p><p>Alternativa E</p><p>Calculando f(2), temos que:</p><p>f(2) = 2³ + 3 · 2² – 2 · 2 – 9</p><p>f(2) = 8 + 3 · 4 – 4 – 9</p><p>f(2) = 8 + 12 – 4 – 9</p><p>f(2) = 20 – 13</p><p>f(2) = 7</p><p>Calculando f(– 3):</p><p>f(– 3) = (– 3)³ + 3 · (– 3)² – 2 · (– 3) – 9</p><p>f(– 3) = – 27 + 27 + 6 – 9</p><p>f(– 3) = – 3</p><p>Então, temos que f(2) – f(– 3) = 7 – (– 3) = 7 + 3 = 10.</p><p>O valor da corrida de um taxista é calculado por meio da função que relaciona a distância percorrida em quilômetros e a taxa fixa de R$ 5,50, conhecida como bandeira fixa. Sabendo que o valor por km rodado é de R$ 2,75, a quantia paga pelo cliente após rodar 7 km é de:</p><p>A) R$ 22,00.</p><p>B) R$ 24,75.</p><p>C) R$ 26,50.</p><p>D) R$ 27,25.</p><p>E) R$ 52,50.</p><p>Resposta Questão 4</p><p>Alternativa B</p><p>Primeiro vamos descrever a função que relaciona o valor pago V pela quantidade de km percorridos. Sabemos que são cobrados R$ 2,75 por km rodado, além da taxa fixa de R$ 5,50.</p><p>V(x) = 2,75x + 5,50</p><p>Queremos saber, então, o valor numérico para x = 7</p><p>V(7) = 2,75 · 7 + 5,50</p><p>V(7) = 19.25 + 5,50</p><p>V(7) = 24,75</p><p>(Enem 2016) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t) = -2t² + 120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.</p><p>A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.</p><p>A segunda dedetização começou no</p><p>A) 19º dia.</p><p>B) 20º dia.</p><p>C) 29º dia.</p><p>D) 30º dia.</p><p>E) 60º dia.</p><p>Resposta Questão 7</p><p>Alternativa B</p><p>Queremos o valor de t para que – 2t² + 120t = 1600</p><p>Aplicando a equação do 2º grau, temos que:</p><p>– 2t² + 120t – 1600 = 0</p><p>a = – 2; b = 120 e c = – 1600</p><p>∆ = ( – 120)² – 4 · 2 · 160</p><p>∆ = 14400 – 12800</p><p>∆ = 1600</p><p>Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara:</p><p>Então, a dedetização ocorreu no 20º dia.</p><p>image1.png</p>