Aula 05 - Regras de derivação

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REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
Na aula anterior fizemos uma introdução sobre derivadas, analisando sua 
definição no aspecto geométrico e como taxa de variação, bem como o cálculo 
em diversas situações fazendo uso da definição propriamente dita. Nesta aula 
veremos algumas regras que irão simplificar o seu cálculo, ou seja, iremos 
estudar outros caminhos para se calcular a derivada sem termos que recorrer a 
definição. 
 
DEFININDO OBJETIVOS 
Com esta aula esperamos que vocês sejam capazes de: 
 
 Fazer o cálculo de derivadas fazendo uso de outros caminhos; 
 Entender a regra da cadeia, bem como fazer uso dela; 
 
DESENVOLVENDO O CONTEÚDO 
 
Regras de derivação 
 
 Com essas regras você irá perceber que calcular derivadas é mais fácil 
do que você pensava. Veremos aqui como simplificar esse processo. 
Essas regras surgiram quando alguém resolveu, em algum dia qualquer, 
calcular vários limites e perceber algumas regularidades e a partir delas 
conseguiram generalizar e a partir daí criaram-se as regras de derivação essas 
regras permitem o cálculo de derivadas de funções sem termos que recorrer a 
sua definição, ou seja, sem a necessidade de calcular o limite 
 
lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
. 
 
 Isso quer dizer que nesta aula vamos sistematizar o cálculo das 
derivadas procurando obter regras de derivação para determinar a derivada de 
uma função. 
 
 
 
Derivada de uma função constante 
 
Seja 𝑘 um constante e 𝑓(𝑥) = 𝑘 para todo 𝑥, então temos que sua derivada 
é 𝑓′(𝑥) = 0. 
Devido a simplicidade iremos provar esta proposição, não fazemos isso 
com as outras, porque não é objetivo desse curso, iremos fazer essa para que 
tenhamos uma noção do que seria a prova de uma proposição matemática. 
 
Prova: seja 𝑓(𝑥) = 𝑘. Então, 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑘 − 𝑘
ℎ
= lim
ℎ→0
0
ℎ
= lim
ℎ→0
0 = 0 
 
Exemplo 01: se 𝑓(𝑥) = 7, então 𝑓′(𝑥) = 0. 
 
Regra da potência 
 
Se 𝑛 é um número inteiro positivo e 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, então 𝑓′(𝑥) = 𝑛. 𝑥𝑛−1. 
 
Exemplo 02: se 𝑓(𝑥) = 𝑥7, então 𝑓′(𝑥) = 7. 𝑥7−1 = 7. 𝑥6. 
 
Exemplo 03: se 𝑔(𝑥) = 𝑥, então 𝑓′(𝑥) = 1. 𝑥1−1 = 1. 𝑥0 = 1.1 = 1. 
 
Exemplo 04: se ℎ(𝑥) = 𝑥12, então 𝑓′(𝑥) = 12. 𝑥12−1 = 12. 𝑥11. 
 
Derivada do produto de uma constante por uma função 
 
Seja 𝑓 uma função, 𝑐 uma constante e 𝑔 a função definida por 𝑔(𝑥) =
𝑐. 𝑓(𝑥). Se 𝑓′(𝑥) existe, então 𝑔′(𝑥) = 𝑐𝑓′(𝑥). 
 
Exemplo 05: se 𝑓(𝑥) = 6𝑥2, então 𝑓′(𝑥) = 6(2𝑥) = 12𝑥. 
 
Exemplo 06: se 𝑓(𝑥) = −3𝑥5, então 𝑓′(𝑥) = −3(5𝑥5−1) = −3(5𝑥4) =
−15𝑥4. 
 
 
 
Derivada da Soma 
 
Seja 𝑓 e 𝑔 duas funções e ℎ a função definida por ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥). 
Se 𝑓′(𝑥) e 𝑔′(𝑥) existem, então 
ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) 
 
Exemplo 07: Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥5 − 2𝑥 + 7, então calcule 𝑓′(𝑥). 
 
Solução: 𝑓′(𝑥) = 2. (5. 𝑥5−1) − 2 + 0 = 10𝑥4 − 2 
 
Exemplo 08: Seja 𝑓(𝑥) = 4𝑥7 − 𝑥5 − 3𝑥4 + 2, então calcule 𝑓′(𝑥). 
 
Solução: 
𝑓′(𝑥) = 4. (7. 𝑥7−1) − 5. 𝑥5−1 − 3. (4. 𝑥4−1) + 0 = 28𝑥6 − 5𝑥4 − 12𝑥3 
 
Derivada de um produto 
 
A derivada de um produto de duas funções é igual à derivada da primeira 
função vezes a segunda mais a primeira função vezes a derivada da segunda. 
Formalizando temos o seguinte: seja 𝑓 e 𝑔 funções e ℎ a função definida por 
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥). Se as derivadas 𝑓′(𝑥) e 𝑔′(𝑥) existem, então 
ℎ′(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥). 𝑔(𝑥) 
 
Exemplo 09: Seja 𝑓(𝑥) = (3𝑥2 − 1)(𝑥3 + 3𝑥4), calcule 𝑓′(𝑥). 
 
Solução: 𝑓′(𝑥) = (3𝑥2 − 1)(𝑥3 + 3𝑥4)′ + (3𝑥2 − 1)′(𝑥3 + 3𝑥4) 
Lembre-se 02 
𝑓′(𝑥) = (3𝑥2 − 1)(3𝑥3−1 + 3.4𝑥4−1) + (3.2𝑥2−1 − 0)(𝑥3 + 3𝑥4) 
𝑓′(𝑥) = (3𝑥2 − 1)(3𝑥2 + 12𝑥3) + (6𝑥)(𝑥3 + 3𝑥4) 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥4 + 36𝑥5 − 3𝑥2 − 12𝑥3 + 6𝑥4 + 18𝑥5 
𝑓′(𝑥) = 54𝑥5 + 9𝑥4 − 12𝑥3 − 3𝑥2 
 
 
 
Derivada de um quociente 
 
A derivada do quociente de duas funções é igual à derivada do numerador 
vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do donominador, e 
tudo isso sobre o denominador elevado ao quadrado. Formalizando temos o 
seguinte: seja 𝑓 e 𝑔 funções e ℎ a função definida por ℎ(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
. Se as 
derivadas 𝑓′(𝑥) e 𝑔′(𝑥) existem e 𝑔′(𝑥) ≠ 0, então 
ℎ′(𝑥) =
𝑔(𝑥). 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥). 𝑓(𝑥)
[𝑔(𝑥)2]
 
 
Exemplo 10: Seja 𝑓(𝑥) =
2𝑥3−1
3𝑥2−2𝑥+5
 , calcule 𝑓′(𝑥). 
 
Solução: 𝑓′(𝑥) =
(3𝑥2−2𝑥+5)(2𝑥3−1)
′
+(3𝑥2−2𝑥+5)
′
(2𝑥3−1)
(3𝑥2−2𝑥+5)2
 
𝑓′(𝑥) =
(3𝑥2 − 2𝑥 + 5)(2𝑥3 − 1)′ + (3𝑥2 − 2𝑥 + 5)′(2𝑥3 − 1)
(3𝑥2 − 2𝑥 + 5)2
 
𝑓′(𝑥) =
(3𝑥2 − 2𝑥 + 5)6𝑥2 + (6𝑥 − 2)(2𝑥3 − 1)
(3𝑥2 − 2𝑥 + 5)2
 
𝑓′(𝑥) =
18𝑥4 − 12𝑥3 + 30𝑥2 + 12𝑥4 − 6𝑥 − 4𝑥3 + 2
(3𝑥2 − 2𝑥 + 5)2
 
𝑓′(𝑥) =
30𝑥4 − 16𝑥3 + 30𝑥2 − 6𝑥 + 2
(3𝑥2 − 2𝑥 + 5)2
 
 
 Provar essas regras para vocês seria relativamente fácil, mas ficaríamos 
fazendo isso por um bom tempo desnecessariamente, caso alguém tenha um 
interesse em conhecer essas provas procure um livro de Cálculo Diferencial e 
Integral, nas referências tem algumas boas sugestões. 
 
Atividade 01 
 
01) Encontre a derivada das funções abaixo: 
 
a) 𝑓(𝑟) = 2𝜋𝑟3 
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 + 5𝑥2 − 4𝑥 + 8 
 
 
c) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥4
+
2
𝑥3
 (lembre-se 03) 
d) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 
e) 𝑓(𝑢) = (2𝑢2 − 𝑎)(𝑎 − 3𝑢) 
f) 𝑓(𝑥) =
1
3
𝑥4 +
3
𝑥5
 
g) 𝑓(𝑥) =
2−𝑥
3𝑥−1
 
h) 𝑓(𝑥) =
5𝑥3+3𝑥
2𝑥2−1
 
i) 𝑓(𝑥) = (5𝑥 − 3)−1(2𝑥 + 1) 
j) 𝑓(𝑡) =
(2𝑡−𝑎)3
𝑡−𝑏
 
 
02) Dadas as funções 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝐴𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝐵𝑥, determinar 𝐴 e 𝐵 de 
tal forma que 
{
𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) = 1 + 2𝑥
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑥2
 
 
03) Dada a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥 + 3, encontre 𝑓(0) − 𝑡𝑓′(0). 
 
 
Derivada da função composta 
 
Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵 uma função dada pela lei 𝑦 = 𝑓(𝑥). Seja 𝑔: 𝐵 → 𝐶 uma 
função dada pela lei 𝑧 = 𝑔(𝑦). Existe a função composta 𝐹: 𝐴 → 𝐶 dada pela 
lei 𝑧 = 𝐹(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)). 
Que pode ser representado pela figura 01. 
 
Figura 01: Função Composta 
 
Fonte: (DANTE, 2008, p. 241) 
 
 
 
Regra da cadeia 
 
Agora tendo em mente as funções compostas, o nosso interesse agora é 
mostrar uma regra das derivadas que envolvem a composição de funções e, 
dessa forma, possibilita o cálculo de funções mais elaboradas. 
Se 𝑦 = 𝑔(𝑢) e 𝑢 = 𝑓(𝑥) e as derivadas 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
 e 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 existem, então a função 
composta 𝑦 = 𝑔[𝑓(𝑥)] tem derivada que é dada por: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 ou 𝑦′(𝑥) = 𝑔′(𝑢). 𝑓′(𝑥). 
 
Exemplo 01: Dada a função 𝑦 = (𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 1)5, determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
 
Solução: perceba que podemos escrever 𝑦 = 𝑔(𝑢) = (𝑢)5, onde 𝑢 = 𝑥3 −
2𝑥2 + 3𝑥 − 1. Assim pela regra da cadeia: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 5𝑢4. (3𝑥2 − 4𝑥 + 3)
= 5(𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 1)4. (3𝑥2 − 4𝑥 + 3) 
 
Exemplo 02: Dada a função 𝑦 = (
2𝑥+1
4𝑥−3
)
4
, encontre 𝑦′. 
 
Solução: essa função pode ser escrita da seguinte maneira 𝑦 = 𝑢4, onde 
𝑢 =
2𝑥+1
4𝑥−3
, fazendo uso da regra da cadeia, temos: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4𝑢3. (
2𝑥 + 1
4𝑥 − 3
)
′
 
Podemos fazer a derivada a parte, assim temos: 
(
2𝑥 + 1
4𝑥 − 3
)
′
=
(4𝑥 − 3)(2𝑥 + 1)′ − (4𝑥 − 3)′(2𝑥 + 1)
(4𝑥 − 3)2
=
(4𝑥 − 3). 2 − 4. (2𝑥 + 1)
(4𝑥 − 3)2
=
8𝑥 − 6 − 8𝑥 − 4
(4𝑥 − 3)2
=
−10
(4𝑥 − 3)2
. 
 
Agora voltando a função inicial temos: 
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4𝑢3. (
2𝑥 + 1
4𝑥 − 3
)
′
= 4𝑢3.
−10
(4𝑥 − 3)2
= 4 (
2𝑥 + 1
4𝑥 − 3
)
3
.
−10
(4𝑥 − 3)2
=
−40(2𝑥 + 1)3
(4𝑥 − 3)3
 
 
Exemplo 03: Dada a função 𝑦 = (2𝑥3 + 2)4. (2𝑥 − 3𝑥2)3, determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
Solução: podemos considerar como sendo o produto de duas funções, onde 
𝑓(𝑥) = (2𝑥3 + 2)4 e 𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 3𝑥2)3. 
De acordo com a regra de derivada de um produto de duas funções temos 
que 
𝑦′ = 𝑓(𝑥). 𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥). 𝑔(𝑥) 
Sendo assim temos que encontrar os valores de 𝑓′(𝑥) e 𝑔′(𝑥), fazendo uso 
da regrada cadeia. 
𝑓′(𝑥) = 4(2𝑥3 + 2)3. (2𝑥3 + 2)′ = 4(2𝑥3 + 2)3. 6𝑥2 = 24𝑥2(2𝑥3 + 2)3 
𝑔′(𝑥) = 3(2𝑥 − 3𝑥2)3. (2𝑥 − 3𝑥2)′ = 3(2𝑥 − 3𝑥2)3. (2 − 6𝑥)
= (2𝑥 − 3𝑥2)3. (6 − 18𝑥) 
Daí temos que, 
𝑦′ = (2𝑥3 + 2)4. [(2𝑥 − 3𝑥2)3]′ + [(2𝑥3 + 2)4]′. (2𝑥 − 3𝑥2)3 
𝑦′ = (2𝑥3 + 2)4. (2𝑥 − 3𝑥2)3. (6 − 18𝑥) + 24𝑥2(2𝑥3 + 2)3. (2𝑥 − 3𝑥2)3 
 
Exemplo 04: Dada a função 𝑓(𝑥) = 3√𝑥2 − 5, determine 𝑓′(𝑥). 
Solução: podemos escrever essa função da seguinte maneira 𝑓(𝑥) =
3(𝑥2 − 5)
1
2, assim temos que 
𝑓′(𝑥) = 3.
1
2
(𝑥2 − 5)
1
2
−1. (𝑥2 − 5)′ = 3.
1
2
(𝑥2 − 5)−
1
2. 2𝑥 =
3.2𝑥
2(𝑥2 − 5)
1
2
=
6𝑥
2√𝑥2 − 5
 
 
Exemplo 05: seja 𝑓(𝑥) = 𝑥6 + (2𝑥 + 4)4 + √2𝑥, calcule 𝑓′(𝑥). 
Solução: 𝑓′(𝑥) = 6𝑥5 + 4(2𝑥 + 4)3. (2𝑥 + 4)′ +
1
2
(2𝑥)−
1
2. (2𝑥)′ 
𝑓′(𝑥) = 6𝑥5 + 4(2𝑥 + 4)3. 2 +
1
2
(2𝑥)−
1
2. 2 = 6𝑥5 + 8(2𝑥 + 4)3 +
1
√2𝑥
 
 
 
 
Exemplo 06: seja 𝑓(𝑥) = √3𝑥2 + 4𝑥 + 1
3
, calcule 𝑓′(𝑥). 
Solução: essa função pode ser escrita da seguinte maneira 𝑓(𝑥) =
(3𝑥2 + 4𝑥 + 1)
1
3, fazendo uso da regra da cadeia temos 
𝑓′(𝑥) =
1
3
(3𝑥2 + 4𝑥 + 1)
1
3
−1. (3𝑥2 + 4𝑥 + 1)′ 
𝑓′(𝑥) =
1
3
(3𝑥2 + 4𝑥 + 1)−
2
3. (6𝑥 + 4) 
𝑓′(𝑥) =
(6𝑥 + 4)
3√(3𝑥2 + 4𝑥 + 1)2
3
. 
 
Perceba que a regra da cadeia possibilita o cálculo de funções mais 
elaboradas, mas mesmo assim tem situações em que os cálculos são muito 
trabalhosos para serem feitos a mão, mas para isso, existem diversos softwares 
que realizam essas cálculos algébricos. O Derive ou o Geogebra, são alguns 
exemplos de softwares que possibilitam esses cálculos. 
 
Derivadas das funções elementares 
 
Agora apresentaremos as derivadas de algumas funções elementares. Em 
seguida nós teremos uma tabela com o resumo das regras de derivação. 
 
Derivada da função exponencial: se y = 𝑎𝑥 , (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1) então 𝑦′ =
𝑎𝑥 ln 𝑎 (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1). Essa regra pode ser deduzida a partir do calculo do 
limite que define a derivada de uma função qualquer. 
 
Exemplo 07: calcule a derivada da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥. 
Solução: 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 ln 2 
 
Caso particular: Se 𝑦 = 𝑒𝑥, onde 𝑒 é o número neperiano. Utilizando a regra 
da derivada da função exponencial temos que 
𝑦′ = 𝑒𝑥 ln 𝑒, como ln 𝑒 = 1, então podemos dizer que 𝑦′ = 𝑒𝑥. 
 
 
 
Derivada da função logarítmica: se 𝑦 = log𝑎 𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1), então: 𝑦
′ =
1
𝑥
log𝑎 𝑒 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1). 
 
Exemplo 08: calcule a derivada da função 𝑦 = log2 𝑥. 
Solução: 𝑦′ =
1
𝑥
log2 𝑒 
 
Caso particular: se 𝑦 = ln 𝑥 então 𝑦′ =
1
𝑥
. ln 𝑒, sabendo que ln 𝑒 = 1, então 
temos que 𝑦′ =
1
𝑥
. 
 
Exemplo 09: calcule a derivada da função 𝑓(𝑥) = 33𝑥
2+2𝑥−1. 
Solução: de acordo com a regra para funções exponencias temos que 
𝑓′(𝑥) = 33𝑥
2+2𝑥−1. ln 3 . (3𝑥2 + 2𝑥 − 1)′ 
𝑓′(𝑥) = 33𝑥
2+2𝑥−1. ln 3 . (6𝑥 + 2) = (6𝑥 + 2). 33𝑥
2+2𝑥−1. ln 3 
 
Exemplo 10: calcule a derivada da função 𝑓(𝑥) = (
2
3
)
√𝑥
. 
Solução: 𝑓′(𝑥) = (
2
3
)
√𝑥
ln
2
3
. (√𝑥)′, para isso iremos calcular antes a derivada 
(√𝑥)′, para em seguida substituirmos, antes vamos escrever essa raíz com 
expoente fracionário, vejamos: 
(√𝑥)
′
= (𝑥
1
2)
′
=
1
2
𝑥
1
2
−1 =
1
2
𝑥−
1
2 =
1
2√𝑥
 
Volatando para derivada temos: 
𝑓′(𝑥) = (
2
3
)
√𝑥
ln
2
3
. (√𝑥)
′
= (
2
3
)
√𝑥
ln
2
3
.
1
2√𝑥
=
1
2√𝑥
. (
2
3
)
√𝑥
. ln
2
3
 
 
Exemplo 11: calcule a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑒
2𝑥+1
𝑥−2 . 
Solução: 𝑓′(𝑥) = 𝑒
2𝑥+1
𝑥−2 . (
2𝑥+1
𝑥−2
) ′, para isso iremos calcular antes a derivada 
(
2𝑥+1
𝑥−2
) ′, que é a função interna vejamos: 
 
 
(
2𝑥 + 1
𝑥 − 2
)
′
=
(𝑥 − 2)(2𝑥 + 1)′ − (𝑥 − 2)′(2𝑥 + 1)
(𝑥 − 2)2
=
(𝑥 − 2). 2 − 1. (2𝑥 + 1)
(𝑥 − 2)2
=
2𝑥 − 4 − 2𝑥 − 1
(𝑥 − 2)2
= −
5
(𝑥 − 2)2
 
Fazendo as devidas substituições temos: 
𝑓′(𝑥) = 𝑒
2𝑥+1
𝑥−2 . (
2𝑥 + 1
𝑥 − 2
)
′
= 𝑓′(𝑥) = 𝑒
2𝑥+1
𝑥−2 . [−
5
(𝑥 − 2)2
] = −
5. 𝑒
2𝑥+1
𝑥−2
(𝑥 − 2)2
 
 
Exemplo 12: Calcule a derivada da função 𝑓(𝑥) = log2(3𝑥
2 + 7𝑥 − 1). 
Solução: 𝑓′(𝑥) =
1
(3𝑥2+7𝑥−1)
log2 𝑒 . (3𝑥
2 + 7𝑥 − 1)′ =
1
(3𝑥2+7𝑥−1)
log2 𝑒 . (6𝑥 + 7) =
(6𝑥+7)
(3𝑥2+7𝑥−1)
log2 𝑒 
 
Exemplo 13: Calcule a derivada da função 𝑓(𝑥) = ln
2𝑒𝑥
2𝑥−1
. 
Solução: 𝑓′(𝑥) =
1
2𝑒𝑥
2𝑥−1
(
2𝑒𝑥
2𝑥−1
) ′ neste caso vamos primeiro calcular a derivada 
da função interna. 
(
2𝑒𝑥
2𝑥 − 1
)
′
=
(2𝑥 − 1). (2𝑒𝑥)′ − (2𝑥 − 1)′. (2𝑒𝑥)
(2𝑥 − 1)2
 
(
2𝑒𝑥
2𝑥 − 1
)
′
=
(2𝑥 − 1). 2𝑒𝑥 − 2. (2𝑒𝑥)
(2𝑥 − 1)2
 
(
2𝑒𝑥
2𝑥 − 1
)
′
=
2𝑒𝑥(2𝑥 − 1 − 2)
(2𝑥 − 1)2
=
2𝑒𝑥(2𝑥 − 3)
(2𝑥 − 1)2
 
 
Veja abaxo uma tabela que resume as regras de derivação vista nesta aula: 
 
 
 
Nesta tabela as regras de derivação já absorvem a regra da cadeia. Veja as 
regras iniciais: 
 
 
Quadro resumo de algumas funções elementares. 
 
 
 
Atividade 02 
 
 
01) Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 7(𝑥2 − 3𝑥 + 5)8 
b) 𝑓(𝑥) = (5𝑥2 − 6𝑥)6(4𝑥 − 2)3 
c) 𝑓(𝑥) =
(5𝑥2−6𝑥)
6
(4𝑥−2)3
 
d) 𝑓(𝑥) = (2𝑥2 + 1)6 
e) 𝑓(𝑥) =
2𝑥
√2𝑥+3
 
f) 𝑓(𝑥) =
1
5
𝑒2−𝑥 
g) 𝑓(𝑥) = log2(3𝑥 + 5) 
h) 𝑓(𝑥) = ln (
1
𝑥
+
1
𝑥2
) 
i) 𝑓(𝑥) = 2. 𝑒3𝑥
2+6𝑥+3 
j) 𝑓(𝑥) = log(2𝑥3 − 3) 
 
02) Calcule 𝑓′(1), se 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥. ln 3𝑥. 
 
03) Dada 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥, calcular 𝑓(0) + 𝑥𝑓′(0). 
 
04) Calcule o coeficiente angular da reta tangente à curva 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2+5𝑥 no 
ponto de abscissa -1. 
 
05) Obtenha a equação da reta tangente à curva 𝑦 =
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
2
 no ponto de 
abscissa -2. 
 
 
[LEMBRE-SE! – 
 
Lembre-se 01: Para quem acha que calcular derivadas era difícil, então segue 
um pensamento de Tsai Chih Chung para refletir: “É mais fácil encontrar a 
resposta onde começa a duvida”. 
 
 
 
Lembre-se 02: Muitos vezes utilizamos apenas a apóstrofe (') para indicar que 
devemos derivar determinada função, como no exemplo 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 1 ou 
(2𝑥 + 1)′. 
 
Lembre-se 03: Se possível sempre escreva a sua função em forma de potência 
como por exemplo: 
2
𝑥3
= 2. 𝑥−3 ou √𝑥5
3
= 𝑥
5
3. 
 
[RESUMINDO 
 
Nesta aula, estudamos algumas regras de derivação a fim de se evitar sempre 
de recorrermos a definição como foi feito no módulo 04, também fizemos um 
estudo para o cálculo de derivadas de funções compostas fazendo uso da regra 
da cadeia, bem como analisou-se outras regras para o cálculo de funções 
logarítmica e exponencial. Na aula seguinte veremos como será o 
procedimento para o cálculo das funções trigonométricas e as trigonométricas 
inversas. 
 
 
AVALIANDO SEUS CONHECIMENTOS 
 
01) Seja 𝑓(𝑥) = (
𝑥+1
𝑥2+1
)
4
, calcule a sua derivada 𝑓′(𝑥). 
 
02) Seja 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 3
3
, calcule a sua derivada 𝑓′(𝑥). 
 
03) Calcule as derivadas abaixo: 
 
a) 𝑓(𝑡) = 𝑒2𝑡 
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 𝑒𝑥 
c) 𝑔(𝑡) = (𝑡2 + 3)4 
d) 𝑓(𝑥) = ln(2𝑥3 − 4𝑥) 
 
 
 
04) Obtenha a equação da reta tangent ao gráfico de 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
+ 𝑒𝑥 no 
ponto de abscissa 𝑥 = −1. 
 
05) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑒𝑥 + 3 ln 5𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒5𝑥+1 
 
 
CONHECENDO AS REFERÊNCIAS 
 
 
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. Ed. Porto Alegre: Bookman, 
2000. 1v. 
 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 3. Ed. São Paulo: 
Ática, 2008. 
 
FINNEY, Maurice D., THOMAS Jr. George B., WEIR, Frank R. Giordano. 
Cálculo. 10. Ed. São Paulo: Addison Wesley, 2002. Volume 1. 
 
FLEMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A. 6. Ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. Ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2001. 1v. 
 
IEZZI, Gelson, MACHADO, Nilson José, MURAKAMI, Carlos. Fundamentos 
de Matemática Elementar: limites, derivadas, noções de integral. 6. Ed. São 
Paulo: Atual, 2005.