Desconto simples

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<p>Descontos Simples:</p><p>Racional, Comercial e Bancário</p><p>Estrutura do Capítulo</p><p>Convenções em Desconto</p><p>Para que Calcular Descontos?</p><p>Valor Nominal</p><p>Valor Atual</p><p>Desconto</p><p>Desconto Racional Simples (por dentro)</p><p>Desconto Comercial Simples (por fora)</p><p>Taxa de Juros Efetiva no Desconto Comercial Simples</p><p>Desconto Bancário</p><p>Exercícios Resolvidos</p><p>Exercícios Propostos</p><p>Convenções em desconto</p><p>Observe a seguinte representação gráfica, que contém as convenções adota-</p><p>das em desconto:</p><p>V</p><p>N</p><p>0 n-11 2</p><p>Valor</p><p>nominal</p><p>Valor atual</p><p>ou Valor</p><p>descontado</p><p>nº de períodos para</p><p>cálculo ( ) VN nn −</p><p>3</p><p>DDesconto</p><p>Vencimento</p><p>do título( ) Nn</p><p>n</p><p>data anterior ao</p><p>vencimento ( )Vn</p><p>CONVENÇÕES EM DESCONTO</p><p>8</p><p>4772_MFCP.indb 384772_MFCP.indb 38 12/7/2007 20:44:1212/7/2007 20:44:12</p><p>Descontos Simples: Racional, Comercial e Bancário 39</p><p>+ Compare esta representação com a ilustração constante de “O CÁLCULO DO</p><p>MONTANTE EM JUROS SIMPLES”, Capítulo 4.</p><p>Para que calcular descontos?</p><p>É comum, no mercado financeiro, a realização de negócios com base em um</p><p>valor futuro determinado, como é o caso de notas promissórias, cheques pré-da-</p><p>tados, letras de câmbio e outros títulos.</p><p>Se o aplicador necessitar de dinheiro antes de vencer o prazo da aplicação</p><p>ou do título, deve-se antecipar o prazo: é a estas operações que chamamos de</p><p>desconto.</p><p>Mas, antes, precisamos de alguns conceitos:</p><p>Valor nominal</p><p>VALOR NOMINAL N é o valor “de face” de um título ou compromisso com</p><p>vencimento para uma data futura (valor futuro determinado).</p><p>+ Veja que o VALOR NOMINAL é análogo ao MONTANTE M .</p><p>Valor atual</p><p>VALOR ATUAL V é o valor que um título ou compromisso tem em uma data</p><p>que antecede ao seu vencimento, ou seja, é o valor nominal descontado.</p><p>+ Veja que o VALOR ATUAL é análogo ao CAPITAL C .</p><p>Desconto</p><p>DESCONTO D é o valor que se deduz do título ou compromisso pela ante-</p><p>cipação do seu vencimento. Em outras palavras, é a diferença entre o valor no-</p><p>minal N e o valor atual (descontado) V de um título que seja saldado antes de</p><p>seu vencimento: VND − .</p><p>+ Veja que o DESCONTO é análogo ao JURO J .</p><p>+ Lembre-se de que o número de períodos para cálculo do desconto deve ser</p><p>igual à data de vencimento do título menos a data para a qual se quer ante-</p><p>cipar o valor: V(n − n )N .</p><p>Desconto racional simples (por dentro)</p><p>O DESCONTO RACIONAL SIMPLES DRS, também conhecido como DESCON-</p><p>TO SIMPLES “POR DENTRO”, é obtido aplicando-se a taxa de desconto ao valor</p><p>4772_MFCP.indb 394772_MFCP.indb 39 12/7/2007 20:44:1312/7/2007 20:44:13</p><p>40 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido</p><p>descontado do título. Desta forma, usamos a mesma fórmula para cálculo do mon-</p><p>tante em juros simples, que é apenas adaptada para as convenções de desconto:</p><p>Fórmula do VALOR NOM IN AL no</p><p>DESCONTO RAC ION AL SIMPLES</p><p>Fórmula do MONTANTE no JURO SIMPLES ( )niCM ×+×= 1</p><p>( )niVN ×+×= 1</p><p>Mas, nos cálculos de desconto, normalmente partimos do valor nominal do</p><p>título, que é conhecido, para se chegar ao valor atual (descontado).</p><p>Desta forma, como: N = V × (1 + i × n) ⇒ V = N</p><p>1 + i × n</p><p>Se o problema pedir o valor do desconto DRS, é só aplicar a definição</p><p>VND − (válida para todos os descontos).</p><p>Substituindo o valor de V na definição de desconto, obtém-se o desconto</p><p>racional simples em função de N :</p><p>Como D = N – V ⇒ DRS = N – N</p><p>1 + i × n</p><p>∴ DRS =</p><p>N × i × n</p><p>1 + i × n</p><p>O desconto racional simples é análogo ao juro simples e, conseqüentemente,</p><p>podemos adaptar a fórmula básica do juro simples (Capítulo 4) para relacionar</p><p>o valor atual e o desconto:</p><p>Fórmula do DESCONTO RACIONAL</p><p>SIMPLES em função do VALOR ATUAL</p><p>Fórmula básica do JURO SIMPLES niCJ</p><p>niVDRS</p><p>4772_MFCP.indb 404772_MFCP.indb 40 12/7/2007 20:44:1412/7/2007 20:44:14</p><p>Descontos Simples: Racional, Comercial e Bancário 41</p><p>+ Não é necessário saber todas as fórmulas acima, mas apenas a fórmula do</p><p>valor nominal niVN 1 e a fórmula do desconto em função do valor</p><p>atual niVDRS . Com estas duas fórmulas, pode-se resolver qualquer pro-</p><p>blema envolvendo o desconto racional simples.</p><p>+ A taxa de juros no desconto racional simples é a taxa efetiva ief da operação,</p><p>pois é aplicada sobre o valor atual para se chegar ao valor nominal.</p><p>Desconto comercial simples (por fora)</p><p>O DESCONTO COMERCIAL SIMPLES DCS, também conhecido como DES-</p><p>CONTO SIMPLES “POR FORA”, é obtido multiplicando-se o valor nominal pela</p><p>taxa de desconto e pelo prazo entre o vencimento do título e a data de antecipa-</p><p>ção, dentro do regime de juros simples.</p><p>Logo, a fórmula é, por definição:</p><p>DRS = N × i × n</p><p>A partir da definição VND − (válida para todos os descontos), obtemos o</p><p>valor atual ou descontado: DNV − CS.</p><p>Como V = N – DCS ⇒ V = N – N × i × n ∴ V = N × (1 – i × n)</p><p>+ A taxa de juros no desconto comercial simples não é a taxa efetiva da ope-</p><p>ração, pois é aplicada sobre o valor nominal.</p><p>+ Para se lembrar da relação entre os termos por dentro e por fora e os descon-</p><p>tos racional e comercial, respectivamente:</p><p>• O desconto comercial usa o valor nominal como base de cálculo, ou seja, o</p><p>valor que está “por fora” do título, também chamado de valor “de face”.</p><p>• O desconto racional usa o valor atual como base de cálculo, valor este</p><p>que não está explícito no documento, mas sim “por dentro” de seu valor</p><p>nominal.</p><p>Taxa de juros efetiva no desconto comercial simples</p><p>A taxa de juros efetiva ief de qualquer operação financeira é aquela que é</p><p>aplicada sobre o capital (valor atual) e resulta no montante (valor nominal).</p><p>4772_MFCP.indb 414772_MFCP.indb 41 12/7/2007 20:44:1512/7/2007 20:44:15</p><p>42 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido</p><p>A taxa de juros no desconto comercial simples ic é aplicada sobre o valor no-</p><p>minal e, portanto, não representa a taxa efetiva da operação financeira.</p><p>Para obter a taxa efetiva a partir da taxa de desconto comercial simples, usa-</p><p>mos as seguintes fórmulas, já vistas neste capítulo:</p><p>O cálculo do valor atual, no desconto racional simples, utiliza a taxa efetiva:</p><p>V = N</p><p>1 + ief × n</p><p>A obtenção do valor atual, no desconto comercial simples, usa a taxa de</p><p>desconto comercial (não efetiva):</p><p>V = N × (1 – ic × n)</p><p>Assim, igualando-se os valores atuais, obtemos a fórmula da taxa efetiva a</p><p>partir da taxa de desconto comercial:</p><p>ief =</p><p>ic</p><p>1 – ic × n</p><p>Da mesma forma, obtemos a taxa de desconto comercial a partir da taxa</p><p>efetiva:</p><p>ic =</p><p>ief</p><p>1 + ief × n</p><p>+ Pode-se obter a taxa de juros efetiva no desconto comercial simples a partir</p><p>da fórmula básica de juros simples:</p><p>• Calculamos o DCS a partir da definição: niNDCS .</p><p>• Obtemos o V da regra geral de descontos: DNV − CS.</p><p>• Adaptamos a fórmula básica de juros simples (Capítulo 4) para os concei-</p><p>tos de desconto e, conhecidos V e DCS, calculamos a taxa efetiva na ope-</p><p>ração de desconto comercial simples:</p><p>J = C × i × n ⇒ DCS = V × ief × n ∴ ief =</p><p>DCS</p><p>V × n</p><p>4772_MFCP.indb 424772_MFCP.indb 42 12/7/2007 20:44:1612/7/2007 20:44:16</p><p>Descontos Simples: Racional, Comercial e Bancário 43</p><p>Desconto bancário</p><p>O DESCONTO BANCÁRIO DB é, por definição, o desconto comercial simples</p><p>acrescido de uma taxa prefixada h, calculada pelo banco sobre o valor nominal,</p><p>que independe do número de períodos de antecipação do título ou cheque a ser</p><p>descontado:</p><p>DB = DCS + N × h ⇒ DB = N × i × n + N × h ∴ DB = N × (i × n + h)</p><p>A partir da definição VND − (válida para todos os descontos), obtemos o</p><p>valor atual ou descontado: DNV − B .</p><p>+ Da mesma forma que no desconto comercial simples, a taxa de juros no des-</p><p>conto bancário não é a taxa efetiva da operação. Como vimos, a taxa efetiva</p><p>pode ser obtida a partir dos valores de DB e V :</p><p>• Calculamos o DB a partir da definição: hnND iB .</p><p>• Obtemos o V da regra geral de descontos: DNV − B .</p><p>• Chegamos à taxa efetiva na operação de desconto bancário, usando a fór-</p><p>mula básica de juros simples:</p><p>ief =</p><p>DB</p><p>V × n</p><p>Exercícios resolvidos</p><p>1o) (ACE-MICT/ESAF–1998) O desconto simples racional de um título descon-</p><p>tado à taxa de 24% ao ano, três meses antes de seu</p><p>vencimento, é de R$</p><p>720,00. Calcular o valor do desconto correspondente caso fosse um descon-</p><p>to simples comercial.</p><p>A B C D E</p><p>R$ 43,20 R$ 676,80 R$ 720,00 R$ 763,20 R$ 12.000,00</p><p>Cálculo da taxa efetiva correspondente à taxa nominal:</p><p>in = ief</p><p>nn nef</p><p>⇒</p><p>24% a.a.</p><p>= ief</p><p>4 trim. 1 trim.</p><p>⇒ ief =</p><p>24 × 1</p><p>4</p><p>∴</p><p>4772_MFCP.indb 434772_MFCP.indb 43 12/7/2007 20:44:1612/7/2007 20:44:16</p><p>44 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido</p><p>∴ ief = 6% a.t. = 0,06 a.t.</p><p>Cálculo do valor nominal:</p><p>n = 1 trimestre</p><p>DRS = V × i × n ⇒ V = DRS</p><p>i × n</p><p>⇒ V = 720,00</p><p>0,06 × 1</p><p>∴ V = R$ 12.000,00</p><p>N = V + D ⇒ N = 12.000,00 + 720,00 ∴ N = R$ 12.720,00</p><p>Cálculo do desconto comercial simples:</p><p>DCS = N × i × n ⇒ DCS = 12.720,00 × 0,06 × 1 ∴ DCS = R$ 763,20</p><p>Gabarito: D</p><p>2o) (FTE-SC/UFSC–1998) O valor nominal de um título de crédito descontado</p><p>quatro meses e meio antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 6%</p><p>ao ano que sofreu um desconto simples por fora no valor de R$ 225,00, vale:</p><p>A B C D E</p><p>R$ 100.000,00 R$ 1.000,00 R$ 10.000,00 R$ 40.000,00 R$ 30.000,00</p><p>Tornar a taxa de desconto comercial simples 6% a.a.i =C compatível com</p><p>o prazo (meses):</p><p>6% a.a.</p><p>= ic (% a.m.)</p><p>12 meses 1 mês</p><p>⇒ ic =</p><p>6 × 1</p><p>12</p><p>∴ ic = 0,5% a.m. = 0,005 a.m.</p><p>Calcular o valor nominal:</p><p>D = N × i × n ⇒ N = D</p><p>i × n</p><p>⇒ N = 225,00</p><p>0,005 × 4,5</p><p>∴ N = R$ 10.000,00</p><p>Gabarito: C</p><p>4772_MFCP.indb 444772_MFCP.indb 44 12/7/2007 20:44:1712/7/2007 20:44:17</p><p>Descontos Simples: Racional, Comercial e Bancário 45</p><p>3o) (Gerente-CEF/FCC–2001) Um banco realiza operações de desconto utili-</p><p>zando a taxa de desconto simples de 2,8% a.m. A taxa efetiva mensal cobra-</p><p>da numa operação com prazo de 45 dias é de, aproximadamente:</p><p>A B C D E</p><p>4,05% 3,80% 2,90% 2,88% 2,69%</p><p>Cálculo da taxa efetiva mensal:</p><p>+ O prazo deve ser transformado de dias para meses, para ficar compatível</p><p>com a taxa de juros.</p><p>n = 45 dias = 1,5 mês / ic = 2,8% a.m. = 0,028 a.m.</p><p>Fórmula: ief =</p><p>ic</p><p>1 – ic × n</p><p>⇒ ief =</p><p>0,028</p><p>1 – 0,028 × 1,5</p><p>⇒ ief =</p><p>0,028</p><p>0,958</p><p>∴</p><p>∴ ief = 0,029 a.m. = 2,9% a.m.</p><p>Gabarito: C</p><p>4o) (AFCE-TCU/ESAF–2000) Uma empresa desconta um título no valor de face</p><p>de R$ 10.000,00 em um banco, trinta dias antes do vencimento, obtendo</p><p>um desconto de 3% do valor nominal do título. Se o banco cobrasse ainda</p><p>uma taxa de abertura de crédito de R$ 50,00 e 1% do valor nominal do títu-</p><p>lo como imposto financeiro, no momento do desconto do título, qual seria o</p><p>custo do empréstimo, em termos de taxa de juros real paga pela empresa?</p><p>A B C D E</p><p>3,09% ao mês 4,00% ao mês 4,71% ao mês 4,59% ao mês 4,50% ao mês</p><p>Despesas do empréstimo:</p><p>• Desconto comercial:</p><p>ic = 3% a.m. = 0,03 a.m. / n = 30 dias = 1 mês</p><p>DCS = N × i × n ⇒ DCS = 10.000,00 × 0,03 × 1 ∴ DCS = R$ 300,00</p><p>4772_MFCP.indb 454772_MFCP.indb 45 12/7/2007 20:44:1812/7/2007 20:44:18</p><p>46 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido</p><p>• Taxa de abertura de crédito: R$ 50,00</p><p>• Imposto Financeiro (IF ): i = 1% = 0,01</p><p>IF = N × i ⇒ IF = 10.000,00 × 0,01 ∴ IF = R$ 100,00</p><p>• Despesas totais: 300,00 + 50,00 + 100,00 = R$ 450,00</p><p>Cálculo do valor atual (descontado) do título:</p><p>D = N – V ⇒ V = N – D ⇒ V = 10.000,00 – 450,00 ∴</p><p>∴ V = R$ 9.550,00</p><p>Cálculo da taxa de juros efetiva (real):</p><p>+ Observe que no lugar do desconto D devem entrar as despesas totais:</p><p>ief =</p><p>D</p><p>V × n</p><p>⇒ ief =</p><p>450,00</p><p>9.550,00 × 1</p><p>∴ ief = 0,0471 a.m. = 4,71% a.m.</p><p>Gabarito: C</p><p>5o) (Escriturário-BB/FCC–2006-1) Uma empresa desconta em um banco um</p><p>título com vencimento daqui a 4 meses, recebendo no ato o valor de R$</p><p>19.800,00. Sabe-se que a operação utilizada foi a de desconto comercial</p><p>simples. Caso tivesse sido aplicada a de desconto racional simples, com a</p><p>mesma taxa de desconto anterior i (i>0), o valor que a empresa receberia</p><p>seria de R$ 20.000,00. O valor nominal deste título é de:</p><p>A B C D E</p><p>R$ 21.800,00 R$ 22.000,00 R$ 22.400,00 R$ 22.800,00 R$ 24.000,00</p><p>Cálculo do valor nominal pelo desconto comercial simples:</p><p>4772_MFCP.indb 464772_MFCP.indb 46 12/7/2007 20:44:1812/7/2007 20:44:18</p><p>Descontos Simples: Racional, Comercial e Bancário 47</p><p>V = N × (1 – i × n) ⇒ N = V</p><p>1 – i × n</p><p>⇒ N = 19.800</p><p>1 – i × 4</p><p>Cálculo do valor nominal pelo desconto racional simples:</p><p>N = V × (1 – i × n) ⇒ N = 20.000 × (1 – i × 4) ⇒</p><p>⇒ N = 20.000 + 80.000 × i</p><p>Como o valor de N é o mesmo:</p><p>19.800</p><p>= 20.000 + 80.000 × i</p><p>1 – i × 4</p><p>⇒</p><p>⇒ 19.800 = (1 – i × 4) × (20.000 + 80.000 × i)</p><p>⇒ 19.800 = 20.000 + 80.000 × i – 80.000 × i – 320.000 × i2</p><p>⇒ 19.800 = 20.000 – 320.000 × i2 ⇒ 320.000 × i2 = 200 ⇒ i2 = 1</p><p>1.600</p><p>Calculando a raiz quadrada (por fatoração):</p><p>i = 1</p><p>40</p><p>∴ i = 0,025 a.m. = 2,5% a.m.</p><p>Substituindo i no cálculo de N pelo DCS:</p><p>N = 19.800</p><p>1 – i × 4</p><p>⇒ N = 19.800</p><p>1 – 0,025 × 4</p><p>⇒ N = 19.800</p><p>1 – 0,1</p><p>∴</p><p>∴ N = R$ 22.000,00</p><p>4772_MFCP.indb 474772_MFCP.indb 47 12/7/2007 20:44:1912/7/2007 20:44:19</p><p>48 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido</p><p>Substituindo i no cálculo de N pelo DRS:</p><p>N = 20.000 + 80.000 × i ⇒ N = 20.000 + 2.000 ∴</p><p>∴ N = R$ 22.000,00</p><p>Gabarito: B</p><p>Exercícios propostos</p><p>1o) (ATE-MS/ESAF–2001) Uma nota promissória no valor nominal de R$</p><p>5.000,00 sofre um desconto comercial simples a uma taxa de desconto de</p><p>4% ao mês. Qual o valor do desconto, dado que a nota foi resgatada três me-</p><p>ses antes do seu vencimento?</p><p>A B C D E</p><p>R$ 416,70 R$ 524,32 R$ 535,71 R$ 555,00 R$ 600,00</p><p>Gabarito: E</p><p>2o) (ATM-Fortaleza/ESAF–1998) Qual o valor hoje de um título de valor nomi-</p><p>nal de R$ 24.000,00, vencível ao fim de 6 meses, a uma taxa de 40% ao ano,</p><p>considerando um desconto simples comercial?</p><p>A B C D E</p><p>R$ 19.200,00 R$ 20.000,00 R$ 20.400,00 R$ 21.000,00 R$ 21.600,00</p><p>Gabarito: A</p><p>3o) (IF-SP–1998) Uma nota promissória de valor nominal de R$ 7.200,00 foi</p><p>resgatada 50 dias antes do vencimento, à taxa mensal de 2,4%, com descon-</p><p>to simples comercial. A taxa efetiva mensal cobrada nessa transação foi de:</p><p>Resposta: 2,5%</p><p>4772_MFCP.indb 484772_MFCP.indb 48 12/7/2007 20:44:1912/7/2007 20:44:19</p><p>Descontos Simples: Racional, Comercial e Bancário 49</p><p>4o) (IF-SP–1998) Um título com vencimento em 18/2/98 foi descontado em</p><p>20/11/97. Se o desconto comercial simples foi de R$ 300,00 e a taxa mensal</p><p>foi de 4%, o valor nominal desse título era:</p><p>Resposta: R$ 2.500,00</p><p>5o) (IF-SP–1998) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 me-</p><p>ses, a taxa anual empregada deve ser de 18%. Se o desconto comercial sim-</p><p>ples excede o racional simples em R$ 18,00, o valor nominal do título é:</p><p>Resposta: R$ 5.300,00</p><p>4772_MFCP.indb 494772_MFCP.indb 49 12/7/2007 20:44:2012/7/2007 20:44:20</p>