Slides de Aula Unidade IV (1)

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<p>Prof. Msc. Fábio Assis</p><p>UNIDADE IV</p><p>Matemática para</p><p>Computação</p><p> Lógica: ciência que estuda regras gerais do pensamento humano.</p><p> A lógica consiste simplesmente na organização e explicação de um pensamento. Podemos</p><p>identificar a utilização da lógica no nosso dia a dia.</p><p> Lógica de programação é a organização coesa de uma sequência de instruções voltadas à</p><p>resolução de um problema, ou à criação de um software ou aplicação. Um ramo da</p><p>matemática.</p><p>Introdução à lógica – Conceito</p><p> Proposição: é uma sentença declarativa que assume um e apenas um dos seguintes valores</p><p>lógicos: verdadeiro (V) ou falso (F). Podendo ser simples ou composta.</p><p>Exemplos de proposições e seus valores lógicos:</p><p> A palavra “lógica” tem 6 letras. (V)</p><p> 1 + 1 = 2. (V)</p><p> Marte é uma estrela. (F)</p><p> A Terra é um planeta do Sistema Solar. (V)</p><p>Introdução à lógica – Proposições</p><p>Podemos combinar as proposições simples, nesse caso elas</p><p>se tornam compostas.</p><p>A Terra é um planeta do Sistema Solar, e Marte é uma estrela</p><p>Proposições simples</p><p>Proposição composta, com valor lógico (F)</p><p> Negação (~): Aplicada a uma proposição simples usando o conectivo “não”. A proposição</p><p>resultante será verdadeira somente se a proposição original for falsa.</p><p>Exemplo: considere a seguinte proposição de nome a com valor lógico verdadeiro.</p><p>a: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas. (V)</p><p>Realizar uma operação de negação sobre a proposição a seria</p><p>incluir em sua sentença o conectivo “não”, de forma a trocar o</p><p>seu valor lógico. Observe:</p><p>~a: Luís de Camões não escreveu Os Lusíadas. (F)</p><p>Introdução à lógica – Operações lógicas</p><p> Conjunção (∧): Une duas ou mais proposições simples utilizando o conectivo “e”. É</p><p>verdadeira apenas quando todas as proposições simples são verdadeiras.</p><p>Considere as duas proposições simples a seguir:</p><p> a: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas. (V)</p><p> b: Machado de Assis escreveu O Cortiço. (F)</p><p>Se realizarmos uma conjunção entre a e b, teremos a proposição composta que segue:</p><p> a ∧ b: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas, e Machado de</p><p>Assis escreveu O Cortiço. (F)</p><p> A operação de conjunção entre duas proposições simples</p><p>exige que ambas sejam verdadeiras para que o resultado seja</p><p>uma proposição composta verdadeira.</p><p>Introdução à lógica – Operações lógicas</p><p>a ∧ b = F</p><p> Disjunção inclusiva (∨): É verdadeira se pelo menos uma das proposições simples for</p><p>verdadeira. Considere as duas proposições simples a seguir:</p><p> a: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas. (V)</p><p> b: Machado de Assis escreveu O Cortiço. (F)</p><p>Se realizarmos uma disjunção inclusiva entre a e b, teremos a proposição composta:</p><p> a v b: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas, e Machado de</p><p>Assis escreveu O Cortiço. (V)</p><p> A operação de disjunção inclusiva entre duas proposições</p><p>simples exige que pelo menos uma seja verdadeira para que o</p><p>resultado seja uma proposição composta verdadeira.</p><p>Introdução à lógica – Operações lógicas</p><p>a v b = V</p><p> Disjunção exclusiva (⊻): É verdadeira se apenas uma das proposições simples for</p><p>verdadeira. Considere as duas proposições simples a seguir.</p><p> a: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas. (V)</p><p> b: Machado de Assis escreveu O Cortiço. (F)</p><p>Se realizarmos a disjunção exclusiva entre a e b, teremos a proposição composta que segue:</p><p> a ⊻ b: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas, e Machado de</p><p>Assis escreveu O Cortiço. (V)</p><p> A operação de disjunção exclusiva, traz o sentido de “ou uma,</p><p>ou outra, mas não ambas”. Desse modo, a operação de</p><p>disjunção exclusiva entre duas proposições simples exige que</p><p>apenas uma delas seja verdadeira para que o resultado seja</p><p>uma proposição composta verdadeira.</p><p>Introdução à lógica – Operações lógicas</p><p>a ⊻ b = V</p><p> Condicional (→) “Se então”: Só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o</p><p>consequente é falso. Considere as duas proposições simples a seguir:</p><p> a: Machado de Assis nasceu no Rio de Janeiro. (V)</p><p> b: Machado de Assis é brasileiro. (V)</p><p>Se realizarmos a operação condicional entre a e b, teremos a proposição composta que segue:</p><p> a → b: Se Machado de Assis nasceu no Rio de Janeiro, então</p><p>ele é brasileiro. (V)</p><p> No caso, a primeira proposição, a, é chamada antecedente, e</p><p>a segunda, b, é chamada consequente.</p><p> Se a acontece, b deve acontecer também. A proposição</p><p>composta será falsa somente quando tivermos antecedente</p><p>verdadeiro com consequente falso.</p><p>Introdução à lógica – Operações lógicas</p><p>a → b = V</p><p> Bicondicional (↔) “Se e somente se”: É verdadeira se ambas as proposições tiverem o</p><p>mesmo valor lógico. Considere as duas proposições simples a seguir:</p><p> a: O número 11 é par. (F)</p><p> b: O número 11 é divisível por 2. (F)</p><p>Se realizarmos a operação bicondicional entre a e b, teremos a proposição composta:</p><p> a ↔ b: O número 11 é par se e somente se ele for divisível</p><p>por 2. (V)</p><p> A proposição composta será verdadeira quando tivermos</p><p>valores lógicos iguais entre as proposições simples.</p><p>Consequentemente, a proposição composta será falsa</p><p>quando tivermos valores lógicos diferentes entre as</p><p>proposições simples.</p><p>Introdução à lógica – Operações lógicas</p><p>a ↔ b = V</p><p>Considere as seguintes proposições simples:</p><p> p: Ana é dentista.</p><p> q: Ana joga vôlei.</p><p>a) p ∨ ~q.</p><p>b) ~p → q.</p><p>c) p ↔ ~q.</p><p>d) ~p ∧ ~q.</p><p>e) ~p ∧ q.</p><p>Interatividade</p><p>Qual das alternativas ao lado, representa a proposição</p><p>composta pela frase:</p><p>“Ana é dentista ou não joga vôlei”.</p><p>Considere as seguintes proposições simples:</p><p> p: Ana é dentista.</p><p> q: Ana joga vôlei.</p><p>a) p ∨ ~q.</p><p>b) ~p → q.</p><p>c) p ↔ ~q.</p><p>d) ~p ∧ ~q.</p><p>e) ~p ∧ q.</p><p>Resposta</p><p>Qual das alternativas ao lado, representa a proposição</p><p>composta pela frase:</p><p>“Ana é dentista ou não joga vôlei”.</p><p>p v ~q</p><p>Analisando a questão temos, p v ~q, portanto alternativa a.</p><p>Operações lógicas: utilizam conectivos lógicos, que são termos empregados para unir</p><p>proposições simples, formando assim proposições compostas. São elas:</p><p>Introdução à lógica – Operações lógicas</p><p>Operador Símbolo</p><p>Nome da</p><p>Proposição</p><p>Regra</p><p>E ∧ Conjunção</p><p>Será verdadeiro caso todas as</p><p>proposições sejam verdadeiras</p><p>Ou ∨ Disjunção</p><p>Será verdadeiro caso pelo menos</p><p>uma das proposições seja verdadeira</p><p>Não ~ ou ¬ Negação Negação da proposição</p><p>Se...</p><p>Então...</p><p>→ Condicional</p><p>Só será falsa quando a proposição</p><p>antecedente for verdadeira e a</p><p>consequente for falsa</p><p>Se e</p><p>somente se</p><p>↔ Bicondicional</p><p>Será verdadeira quando ambas as</p><p>proposições forem verdadeiras ou</p><p>ambas falsas</p><p> Negação (~ ou ¬): Aplicada a uma proposição simples usando o conectivo “não”. A</p><p>proposição resultante será verdadeira somente se a proposição original for falsa.</p><p>Tabela-verdade da negação:</p><p> Conjunção (∧): Une duas ou mais proposições simples utilizando o conectivo “e”. É</p><p>verdadeira apenas quando todas as proposições simples são verdadeiras.</p><p>Tabela-verdade da conjunção:</p><p>Introdução à lógica – Operações lógicas</p><p>p q p ∧ q</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>F F F</p><p>p ¬p</p><p>V F</p><p>F V</p><p> Disjunção inclusiva (∨): É verdadeira se pelo menos uma das proposições simples</p><p>for verdadeira.</p><p>Tabela-verdade da disjunção</p><p>inclusiva:</p><p> Disjunção exclusiva (⊻): É verdadeira se apenas uma das proposições simples</p><p>for verdadeira.</p><p>Tabela-verdade da disjunção exclusiva:</p><p>Introdução à lógica – Operações lógicas</p><p>p q p ∨ q</p><p>V V V</p><p>V F V</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p>p q p ⊻ q</p><p>V V F</p><p>V F V</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p> Condicional (→): Só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.</p><p>Tabela-verdade da</p><p>operação condicional:</p><p> Bicondicional (↔): É verdadeira se ambas as proposições tiverem o mesmo valor lógico.</p><p>Tabela-verdade da operação bicondicional:</p><p>Introdução à lógica – Operações lógicas</p><p>p q p ↔ q</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>F F V</p><p>p q p → q</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V V</p><p>F F V</p><p>Montagem da tabela-verdade de uma expressão lógica.</p><p> Passo 1: Determine o número de proposições simples (n) e calcule o número de linhas l(n).</p><p> Passo 2: Crie a lista com todas as combinações possíveis das entradas, iniciando com todas</p><p>verdadeiras (V) e finalizando com todas falsas (F).</p><p> Passo 3: Definia</p><p>a ordem de resolução das operações usando a precedência dos</p><p>operadores: ~, ∧, ∨, ⊻, → e ↔ ou utilizando parênteses.</p><p> Passo 4: Resolva as operações lógicas, sendo a última coluna da tabela a saída.</p><p> Tabela-verdade: Tabela que descreve o comportamento de</p><p>uma expressão lógica, mesmo que não saibamos quais são os</p><p>valores lógicos das entradas.</p><p>Introdução à lógica – Tabelas-verdade</p><p>l(n) = 2n</p><p>Introdução à lógica – Tabelas-verdade</p><p>Exemplo: Monte a tabela da expressão S = ~p ∧ q</p><p>l(2) = 22 = 4</p><p>p q ¬p (¬p ∧ q)</p><p>V V F F</p><p>V F F F</p><p>F V V V</p><p>F F V F</p><p>Considere a expressão lógica S = (~a ⊻ b) → c, que representa uma equivalência à expressão</p><p>que caracteriza o circuito digital desenvolvido por um projetista. A tabela-verdade dessa</p><p>expressão tem quantas linhas indicando resultado falso?</p><p>a) 2.</p><p>b) 3.</p><p>c) 4.</p><p>d) 5.</p><p>e) 6.</p><p>Interatividade</p><p>Considere a expressão lógica S = (~a ⊻ b) → c, que representa uma equivalência à expressão</p><p>que caracteriza o circuito digital desenvolvido por um projetista. A tabela-verdade dessa</p><p>expressão tem quantas linhas indicando resultado falso?</p><p>a) 2.</p><p>b) 3.</p><p>c) 4.</p><p>d) 5.</p><p>e) 6.</p><p>Resposta</p><p>Solução: Para entradas a, b e c, temos l(3) = 23 = 8 linhas</p><p> Estatística: ciência destinada ao aprendizado a partir dos dados. Trabalha com populações</p><p>ou com amostras.</p><p> População: uma população é a coleção completa de todos os elementos (ou indivíduos)</p><p>que interessam ao estudo de determinado fenômeno.</p><p> Amostra: uma amostra é um subconjunto não vazio da população. Na figura seguinte,</p><p>vemos uma amostra de 4 elementos, extraída da população composta por 8 elementos.</p><p>Introdução à estatística – População e amostra</p><p>População</p><p>8 elementosAmostra</p><p>4 elementos</p><p>Elemento</p><p>(ou indivíduo)</p><p>Fonte: livro-texto.</p><p> Parâmetro: uma característica numérica estabelecida para a população.</p><p> Estimativa: uma característica numérica estabelecida para uma amostra. A intenção de uma</p><p>estimativa é representar o parâmetro relativo à sua característica.</p><p> Exemplo: considere uma cidade chamada “Nova Londres”, que tem 50 eleitores habilitados.</p><p>Na eleição para prefeito, concorrem os candidatos A e B.</p><p> A população estudada é o conjunto de todos os 50 eleitores, representando a totalidade</p><p>eleitoral da cidade.</p><p> Um possível parâmetro é a proporção real de intenção de</p><p>votos para o candidato A.</p><p> Uma amostra é um grupo de, por exemplo, 12 eleitores</p><p>selecionados na cidade.</p><p> Uma estimativa seria a proporção de intenções de votos para</p><p>o candidato A dentro dessa amostra.</p><p>Introdução à estatística – Parâmetro e estimativa</p><p> Exemplo: considere uma cidade chamada “Nova Londres”, que tem 50 eleitores habilitados.</p><p>Na eleição para prefeito, concorrem os candidatos A e B.</p><p>Introdução à estatística – Parâmetro e estimativa</p><p> Média aritmética: medida de tendência central que se calcula somando todos os valores de</p><p>um conjunto de dados e dividindo o total pelo número de elementos.</p><p> Média aritmética da população: quando temos dados de toda a população, a média</p><p>aritmética é geralmente representada pela letra grega μ, e constitui um parâmetro. Temos,</p><p>matematicamente, o que segue.</p><p>N o número de elementos da população;</p><p>X uma variável que representa os elementos da característica numérica estudada;</p><p>i um índice de contagem dos elementos (que vai de 1 até N).</p><p>Introdução à estatística – Média aritmética e desvio-padrão</p><p> Média aritmética da amostra: quando temos dados de uma amostra, a média aritmética é</p><p>geralmente representada pelo símbolo ҧ𝑥, e seu resultado constitui uma estimativa. Temos:</p><p>n o número de elementos da amostra;</p><p>x uma variável que representa os elementos da característica numérica estudada;</p><p>i um índice de contagem dos elementos (que vai de 1 até n).</p><p>Introdução à estatística – Média aritmética e desvio-padrão</p><p>Uma empresa de jogos coletou uma amostra da pontuação, que poderia variar de 0 a 100, de</p><p>doze partidas de usuários aleatórios. As pontuações conquistadas foram as seguintes: 52, 41,</p><p>37, 82, 24, 63, 68, 98, 10, 23, 55, 86. Encontre a média aritmética dessa série de dados e, em</p><p>seguida, assinale a alternativa correta.</p><p>a) 52,25.</p><p>b) 52,50.</p><p>c) 52,75.</p><p>d) 53,00.</p><p>e) 53,25.</p><p>Interatividade</p><p>Uma empresa de jogos coletou uma amostra da pontuação, que poderia variar de 0 a 100, de</p><p>doze partidas de usuários aleatórios. As pontuações conquistadas foram as seguintes: 52, 41,</p><p>37, 82, 24, 63, 68, 98, 10, 23, 55, 86. Encontre a média aritmética dessa série de dados e, em</p><p>seguida, assinale a alternativa correta.</p><p>a) 52,25.</p><p>b) 52,50.</p><p>c) 52,75.</p><p>d) 53,00.</p><p>e) 53,25.</p><p>Resposta</p><p>Solução: montamos a tabela a seguir, que resume os dados da</p><p>amostra, para facilitar a organização dos dados.</p><p> Desvio-padrão: principal medida de dispersão, o desvio-padrão de um conjunto de dados é</p><p>um valor que indica quão dispersos são os valores que compõem nosso conjunto de dados</p><p>em relação à média dos valores.</p><p>Se o desvio-padrão de um conjunto de dados é:</p><p> Zero: significa que esse conjunto é formado por valores</p><p>idênticos.</p><p> Pequeno: quando comparado à média, significa que esse</p><p>conjunto é formado por valores “pouco dispersos”, que variam</p><p>pouco.</p><p> Grande: quando comparado à média, significa que esse</p><p>conjunto é formado por valores “muito dispersos”, que variam</p><p>muito.</p><p>Introdução à estatística – Média aritmética e desvio-padrão</p><p> Desvio-padrão: se estamos tratando de dados de toda uma população, o desvio-padrão é</p><p>geralmente expresso pela letra grega σ, e seu resultado representa um parâmetro.</p><p> Seu formato de cálculo é dado conforme exposto a seguir, em que:</p><p>N é o número de elementos da população;</p><p>X é a variável que representa os elementos da característica numérica estudada;</p><p>i é o índice de contagem dos elementos (que vai de 1 até N);</p><p>μ é a média aritmética populacional.</p><p>Introdução à estatística – Média aritmética e desvio-padrão</p><p> Desvio-padrão: As etapas de cálculo, indicadas na própria fórmula, são as que seguem.</p><p> 1) Calcule a média aritmética populacional.</p><p> 2) Calcule a diferença entre cada elemento Xi da sua população e a média populacional μ.</p><p> 3) Eleve cada uma dessas diferenças ao quadrado. Isso fará com que a distância entre Xi e μ</p><p>se torne um valor sempre positivo, independentemente de Xi ser maior ou menor do que μ.</p><p> 4) Faça o somatório dos valores elevados ao quadrado.</p><p> 5) Divida o resultado por N.</p><p> 6) Extraia a raiz quadrada. Como elevamos, anteriormente, as</p><p>diferenças ao quadrado, extrair a raiz nos permitirá voltar à</p><p>mesma ordem de grandeza das diferenças, e também permite</p><p>que a unidade de medida do desvio-padrão seja a mesma dos</p><p>dados dos quais partimos.</p><p>Introdução à estatística – Média aritmética e desvio-padrão</p><p>Exemplo: Vamos imaginar que um aluno realizou quatro testes de uma matéria, calcule o</p><p>desvio-padrão de suas notas:</p><p> Notas do aluno: 4, 6, 8, 8</p><p>Passo 1: Calcular a média = 4 + 6 + 8 + 8 = 26 = 6,5</p><p>4 4</p><p>Passo 2: Calcular as diferenças entre cada nota e a média.</p><p> 4 – 6,5 = -2,5</p><p> 6 – 6,5 = -0,5</p><p> 8 – 6,5 = 1,5</p><p> 8 – 6,5 = 1,5</p><p>Introdução à estatística – Média aritmética e desvio-padrão</p><p>Passo 3: Elevar ao quadrado cada uma das diferenças.</p><p> (-2,5)² = 6,25</p><p> (-0,5)² = 0,25</p><p> (1,5)² = 2,25</p><p> (1,5)² = 2,25</p><p>Passo 4 e 5: Calcular a média das diferenças ao quadrado (Variância). Faça o somatório dos</p><p>valores elevados ao quadrado e divida o resultado por N.</p><p> 6,25 + 0,25 + 2,25 + 2,25 = 11,00 = 2,75</p><p>4 4</p><p>Passo 6:</p><p>Desvio-padrão =</p><p>Introdução à estatística – Média aritmética e desvio-padrão</p><p> Desvio-padrão: se estamos tratando com dados de uma amostra, o desvio-padrão é</p><p>geralmente expresso pela letra S, e seu resultado representa uma estimativa. Seu formato</p><p>de cálculo, ou seja, seu estimador, é dado conforme exposto a seguir, em que:</p><p>n é o número de elementos da amostra;</p><p>𝑥 é a variável que representa os elementos da característica numérica estudada;</p><p>i é o índice de contagem dos elementos (que vai de 1 até n);</p><p>ҧ𝑥</p><p>é a média aritmética amostral.</p><p>Existe uma diferença entre a lógica de cálculo do parâmetro e</p><p>do estimador: enquanto o parâmetro utiliza apenas N no</p><p>denominador da fração, o estimador utiliza n - 1. Essa diferença</p><p>na lógica de cálculo deve-se ao fato de não conhecermos todos</p><p>os dados da população. Ao dividirmos por n - 1, o estimador</p><p>tende a gerar resultados mais próximos do parâmetro.</p><p>Introdução à estatística – Média aritmética e desvio-padrão</p><p>Considere que cinco empregados recebem os seguintes salários: 3, 7, 8, 10 e 11 vezes o</p><p>salário mínimo. Qual das seguintes opções indica corretamente o desvio-padrão desses</p><p>salários?</p><p>a) 𝜎 = 2,78.</p><p>b) 𝜎 = 9,7.</p><p>c) 𝜎 = 3,20.</p><p>d) 𝜎 = 3,11.</p><p>e) 𝜎 = 7,70.</p><p>Interatividade</p><p>Considere que cinco empregados recebem os seguintes salários: 3, 7, 8, 10 e 11 vezes o</p><p>salário mínimo. Qual das seguintes opções indica corretamente o desvio-padrão desses</p><p>salários?</p><p>a) 𝜎 = 2,78.</p><p>b) 𝜎 = 9,7.</p><p>c) 𝜎 = 3,20.</p><p>d) 𝜎 = 3,11.</p><p>e) 𝜎 = 7,70.</p><p>Resposta</p><p>Solução:</p><p>µ = 3 + 7 + 8 + 10 + 11 = 39 = 7,8</p><p>5 5</p><p>ATÉ A PRÓXIMA!</p>