Verificacao_Transformacao_Linear

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<p>Verificação se a Aplicação é uma Transformação Linear</p><p>Considere a aplicação $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ definida por $T(x, y) = (2x^2, 0, x + y)$. Verifique se esta aplicação é uma transformação linear ou não.</p><p>Passos para resolver:</p><p>Para verificar se a aplicação $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$, dada por $T(x, y) = (2x^2, 0, x + y)$, é uma transformação linear, precisamos verificar se ela satisfaz as duas propriedades essenciais de uma transformação linear:</p><p>1. **Propriedade da aditividade (ou preservação da soma):**</p><p>$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$, para quaisquer vetores $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$.</p><p>2. **Propriedade da homogeneidade (ou preservação da multiplicação por escalar):**</p><p>$T(c \cdot \mathbf{u}) = c \cdot T(\mathbf{u})$, para qualquer escalar $c$.</p><p>Verificação da Aditividade</p><p>Seja $\mathbf{u} = (x_1, y_1)$ e $\mathbf{v} = (x_2, y_2)$ vetores em $\mathbb{R}^2$. Vamos verificar se $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$.</p><p>Primeiro, calculemos $T(\mathbf{u} + \mathbf{v})$:</p><p>$\mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2),$</p><p>$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (2(x_1 + x_2)^2, 0, (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2)).$</p><p>Agora calculemos $T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$:</p><p>$T(\mathbf{u}) = T(x_1, y_1) = (2x_1^2, 0, x_1 + y_1),$</p><p>$T(\mathbf{v}) = T(x_2, y_2) = (2x_2^2, 0, x_2 + y_2),$</p><p>$T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = (2x_1^2 + 2x_2^2, 0, (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2)).$</p><p>Comparando os dois resultados, a primeira componente de $T(\mathbf{u} + \mathbf{v})$ é $2(x_1 + x_2)^2$, enquanto que a primeira componente de $T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$ é $2x_1^2 + 2x_2^2$. Como $2(x_1 + x_2)^2 \neq 2x_1^2 + 2x_2^2$ em geral, a aplicação não preserva a adição.</p><p>Verificação da Homogeneidade</p><p>Agora, vamos verificar a homogeneidade, ou seja, se $T(c \cdot \mathbf{u}) = c \cdot T(\mathbf{u})$.</p><p>Seja $c$ um escalar e $\mathbf{u} = (x, y)$. Calculamos $T(c \cdot \mathbf{u})$ e $c \cdot T(\mathbf{u})$.</p><p>Primeiro, calculemos $T(c \cdot \mathbf{u})$:</p><p>$c \cdot \mathbf{u} = (c x, c y),$</p><p>$T(c \cdot \mathbf{u}) = T(c x, c y) = (2(c x)^2, 0, c x + c y) = (2c^2 x^2, 0, c(x + y)).$</p><p>Agora calculemos $c \cdot T(\mathbf{u})$:</p><p>$T(\mathbf{u}) = (2x^2, 0, x + y),$</p><p>$c \cdot T(\mathbf{u}) = c \cdot (2x^2, 0, x + y) = (2c x^2, 0, c(x + y)).$</p><p>Comparando os dois resultados, a primeira componente de $T(c \cdot \mathbf{u})$ é $2c^2 x^2$, enquanto que a primeira componente de $c \cdot T(\mathbf{u})$ é $2c x^2$. Como $2c^2 x^2 \neq 2c x^2$ em geral, a aplicação não preserva a homogeneidade.</p><p>Conclusão</p><p>A aplicação $T(x, y) = (2x^2, 0, x + y)$ não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade nem de homogeneidade.</p>