Exercícios de Geometria Plana

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<p>100 Exercícios DE Geometria Plana Resolvidos - Celso Brasil</p><p>Matemática (Universidade Federal do Pará)</p><p>Digitalizar para abrir em Studocu</p><p>A Studocu não é patrocinada ou endossada por nenhuma faculdade ou universidade</p><p>100 Exercícios DE Geometria Plana Resolvidos - Celso Brasil</p><p>Matemática (Universidade Federal do Pará)</p><p>Digitalizar para abrir em Studocu</p><p>A Studocu não é patrocinada ou endossada por nenhuma faculdade ou universidade</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=100-exercicios-de-geometria-plana-resolvidos-celso-brasil</p><p>https://www.studocu.com/pt-br/document/universidade-federal-do-para/matematica/100-exercicios-de-geometria-plana-resolvidos-celso-brasil/76548950</p><p>https://www.studocu.com/pt-br/course/universidade-federal-do-para/matematica/3425168?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=100-exercicios-de-geometria-plana-resolvidos-celso-brasil</p><p>https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=100-exercicios-de-geometria-plana-resolvidos-celso-brasil</p><p>https://www.studocu.com/pt-br/document/universidade-federal-do-para/matematica/100-exercicios-de-geometria-plana-resolvidos-celso-brasil/76548950</p><p>https://www.studocu.com/pt-br/course/universidade-federal-do-para/matematica/3425168?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=100-exercicios-de-geometria-plana-resolvidos-celso-brasil</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>1</p><p>(01) (UNICAMP-SP) Uma rampa de inclinação constante, como a que da acesso ao Palacio do</p><p>Planalto em Brasília, tem 4 m de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la,</p><p>nota que após caminhar 12,3 m sobre a rampa está a 1,5 m de altura em relação ao solo. Calcule</p><p>quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.</p><p>Solução</p><p>Note que os triângulos ABC e ADE são semelhantes, logo:</p><p>1,54 = 12,312,3 + x => 1,5 (12,3 + x) = 4 . 12,3 => 18,45 + 1,5x = 49,2 => 1,5x = 49,2 − 18,45 =></p><p>1,5x = 30,75 => x = 30,751,5 => 𝐱 = 𝟐𝟎, 𝟓 𝐦</p><p>(02) (FATEC-SP) Na figura abaixo, o triangulo ABC e retângulo e isósceles, e o retângulo nele inscrito</p><p>tem</p><p>lados que medem 4 cm e 2 cm. O perímetro do triangulo MBN e:</p><p>Solução</p><p>MN= AP = 4 (Medidas dos lados opostos do retângulo APNM) ∆BMN ~ ∆BAC BM̂N ≅ BÂC (retos) B ̂(comum)</p><p>Então o triângulo BMN é retângulo isósceles.</p><p>BM = MN = 4</p><p>(BN)² = (BM)² + (MN)²</p><p>(BN)² = 4² + 4² => (BN)² = 16 + 16 => (BN)² = 32 => BN = √32 => 𝐁𝐍 = 𝟒√𝟐</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>2</p><p>Perímetro (P) do triângulo BMN:</p><p>P = 4 + 4 + 4√2 => P = 8 + 4√2 => 𝐏 = 𝟒(𝟐 + √𝟐)𝐜𝐦</p><p>(03) (UFPE) A figura representa um rio cujas margens são retas paralelas. Qual é o número inteiro</p><p>mais próximo da largura do rio, quando esta é medida em metros?</p><p>Solução</p><p>(04) Duas pessoas A e B, medem, respectivamente, 2,04 m e 1,80 m. O comprimento da sombra</p><p>projetada no chão pela pessoa mais alta, no mesmo instante em que a pessoa mais baixa projeta uma</p><p>sombra de 90 cm é:</p><p>(a) 1,20 m (b) 1,10 m (c) 1,08 m (d) 1,05 m (e) 1,02</p><p>Solução</p><p>2,041,80 = x0,90 →</p><p>x = 2,04 x 0,901,80 →</p><p>x = 1,8361,80 →</p><p>𝐱 = 𝟏, 𝟎𝟐 𝐦</p><p>Resposta: E</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>3</p><p>(05) (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo instante, a</p><p>seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2 m. Se mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50</p><p>cm, a sombra da pessoa passou a medir:</p><p>(a) 30 cm (b) 45 cm (c) 50 cm (d) 80 cm (e) 90 cm</p><p>Solução</p><p>Situação inicial</p><p>Situação final</p><p>Sabemos que 2 m = 200 cm e 1,80 m = 180 cm.</p><p>Seja “h” a altura do poste. Temos:</p><p>18060 = h200 → h = 200.18060 → h = 3600060 → 𝐡 = 𝟔𝟎𝟎 𝐜𝐦</p><p>(06) Quando a sombra do poste diminuiu 50 cm, a medida dele passou a ser 1,50 m (150 cm). As</p><p>alturas, tanto do poste quanto da pessoa não mudam. Vamos considerar que a medida da sombra da</p><p>pessoa é x, como mostra o esquema anterior, logo, "na situação final", temos:</p><p>Na situação final, temos:</p><p>180x = 600150 → x = 180 x 150600 → x = 27000600 → 𝐱 = 𝟒𝟓 𝐜𝐦</p><p>(07) O acesso a uma garagem situada no subsolo de uma casa é feito por rampa. Conforme nos mostra</p><p>o desenho. Sabe-se que a rampa AC tem 10,25 metros de comprimento, e a altura BC da garagem é</p><p>2,25 metros. A distância AB entre o portão e a entrada da casa, em metros, vale:</p><p>(a) 4,00 (b) 6,00 (c) 7,00 (d) 9,00 (e) 10,00</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>4</p><p>Solução</p><p>No triângulo retângulo ABC, pelo</p><p>Teorema de Pitágoras, temos:</p><p>(10,25)2 = d2 + (2,25)2 →</p><p>105,0625 = d2 + 5,0625 →</p><p>d2 = 105,0625 − 5m0625 →</p><p>d2 = 100</p><p>d = √100</p><p>𝐝 = 𝟏𝟎 𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨𝐬</p><p>Resposta: E</p><p>(08) Em um recente vendaval um poste de luz de 9</p><p>metros de altura quebrou-se em um ponto a uma</p><p>distância x do solo, A parte do poste acima da</p><p>fratura inclinou-se e sua extremidade superior</p><p>encostou no solo a uma distância de 3 metros do</p><p>mesmo. A que altura x do solo o poste quebrou?</p><p>Solução</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>5</p><p>(09) O ângulo x no triângulo ABC da figura mede (em graus):</p><p>(a) 32°</p><p>(b) 39°</p><p>(c) 45°</p><p>(d) 52°</p><p>(e) Não se pode determinar</p><p>Solução</p><p>No triângulo ADC destacado, temos:</p><p>α + 2α + 84° = 180°</p><p>3α + 84° = 180°</p><p>3α = 180° − 84°</p><p>3α = 96° ∶ (3)</p><p>𝛂 = 𝟑𝟐°</p><p>No triângulo BCD, temos:</p><p>x + 96° + α = 180° x + 96° + 32° = 180° x + 128° = 180° → 𝐱 = 𝟓𝟐°</p><p>Resposta: D</p><p>(10) Em uma fotografia aérea, um trecho em linha reta de uma estrada, que mede 12,5 km de</p><p>comprimento, aparece medindo 5 cm. Na mesma fotografia, uma área queimada aparece com 9 cm².</p><p>A área da região queimada, em km², mede:</p><p>(a) 50,22 (b) 51,33 (c) 56,25 (d) 58,00 (e) 58,60</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>6</p><p>Solução</p><p>Devemos ter o seguinte:</p><p>Escala = Tamanho na foto (em cm)tamano real (em cm) → E = 5 cm12,5 km → E = 5 cm1,25x106 cm : 55 → 𝐄 = 𝟏𝟎, 𝟐𝟓𝐱𝟏𝟎𝟔</p><p>( 10,25x106)2 = 9x → 10,0625𝑥1012 = 9x → x = (0,5625)𝑥10121010 → 𝑥 = 0,5625 𝑥 102 → 𝑥 = 0,5625𝑥100</p><p>𝐱 = 𝟓𝟔, 𝟐𝟓 𝐤𝐦²</p><p>Resposta: C.</p><p>(11) Para estimar a profundidade de um poço com 1,10 m de</p><p>largura, uma pessoa cujos olhos estão a 1,60 m do chão</p><p>posiciona-se a 0,50 m de sua borda. Desta forma, a borda do</p><p>poço esconde exatamente seu fundo, como mostra a figura. A</p><p>profundidade do poço, em metros, é:</p><p>(a) 3,52</p><p>(b) 3,60</p><p>(c) 3,84</p><p>(d) 3,96</p><p>(e) 4,00</p><p>Solução</p><p>A figura apresentada no enunciado nos mostra dois</p><p>triângulos: retângulos semelhantes:ABC e EBD. Logo:</p><p>1,600,50 = 𝑥1,10 →</p><p>x = 1,60.1,100,50 →</p><p>x = 1,760,50 →</p><p>𝐱 = 𝟑, 𝟓𝟐 𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨𝐬</p><p>Resposta: A</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>7</p><p>(12) Uma lajota com decoração simétrica será usada para revestir a parede de um banheiro. Sabe-se</p><p>que cada lajota é um quadrado de 30 cm de lado. A</p><p>os perímetros dos lotes 1 e 2, vale:</p><p>P1P2 = 165150 : 55 → P1P2 = 3330 : 33 → 𝐏𝟏𝐏𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟎</p><p>Resposta: D</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>72</p><p>(81) (FUMARC - ADAPTADA) Para fazer um projeto de rede elétrica, seria necessário saber a</p><p>distância entre os postes, e a presença do lago impedia a medição direta dessa distância. Um</p><p>engenheiro posicionou-se em um local onde era possível visualizar os dois postes e medir a distância</p><p>entre eles. Com os equipamentos apropriados, realizou as medidas e fez o seguinte esboço, chamando</p><p>de d a distância entre os postes.</p><p>A distância d entre os postes é (Aproximadamente):</p><p>Dados: sen 35° = 0,57 e sen 45° = 0,70</p><p>a) 100</p><p>b) 122</p><p>c) 123</p><p>d) 121</p><p>e) 125</p><p>Solução</p><p>Vamos chamar o ângulo Q de w:</p><p>A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, logo</p><p>105° +45° + w = 180°</p><p>145° + w = 180°</p><p>w = 35°</p><p>Pela lei dos senos, em todo triângulo a razão de um lado e o seno do ângulo oposto é constante, ou seja, a</p><p>razão entre 100 e sen 35° é igual à razão entre “d” e sen 45°:</p><p>100sen 35° = dsen 45° → 1000,57 = d0,70 → d = 700,57 → d = 122,80 → 𝐝 ≅ 𝟏𝟐𝟑</p><p>Resposta: C</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>73</p><p>(82) (UDESC) A figura abaixo apresenta uma semicircunferência de diâmetro AB, com raio igual a √3</p><p>cm e com o ponto C sobre a semicircunferência.</p><p>Sabendo-se que o segmento AC mede 3 cm, o comprimento do arco AC é:</p><p>Solução</p><p>De acordo com o enunciado, temos:</p><p>Segundo a questão o segmento AC mede 3 cm. perceba que o</p><p>triângulo AOC tem 2 lados iguais, logo ele é isósceles.</p><p>Vamos traçar a altura saindo do vértice O.</p><p>Note o triângulo retângulo OMC. Nele, temos:</p><p>Sen MOC = 1,5√3 . √3√3 → sen MOC = 1,5√33 → MOC = √32</p><p>Logo:</p><p>MÔC = 60°</p><p>E como nós já sabemos OM divide o ângulo AÔC ao meio, ou seja AÔC é o dobro de MÔC, AÔC = 120°</p><p>Finalmente o comprimento de um arco de circunferência é:</p><p>C = πrα180° → C = π√3. 120°180° → 𝐂 = 𝟐𝛑√𝟑𝟑</p><p>Resposta: D</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>74</p><p>(83) (UPE) Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 8 cm. Quais são as</p><p>respectivas medidas dos lados de um triângulo semelhante a este cujo perímetro mede 0, 6 m?</p><p>(a) 15 cm, 21 cm e 24 cm</p><p>(b) 12 cm, 22 cm e 26 cm</p><p>(c) 18 cm, 20 cm e 22 cm</p><p>(d) 11 cm, 23 cm e 26 cm</p><p>(e) 16 cm, 18 cm e 26 cm</p><p>Solução</p><p>O perímetro de um triângulo é simplesmente a soma dos seus lados, ou seja:</p><p>P1 = 5 + 7 + 8</p><p>𝐏𝟏 = 𝟐𝟎 𝐜𝐦</p><p>O perímetro do semelhante, segundo a questão, é 0,6 m = 60 cm, o triplo de</p><p>T1, por conseguinte os lados do semelhante são o triplo dos lados de T1, ou</p><p>seja: 15 cm, 21 cm e 24 cm.</p><p>Resposta: A</p><p>(84) (SSA3) Seis canos de mesmo diâmetro estão amarrados por uma fita, conforme mostra a figura.</p><p>Se cada cano tem 10 cm de diâmetro, quanto mede o comprimento</p><p>total da fita?</p><p>(Considere π = 3)</p><p>(a) 30 cm (b) 50 cm (c) 60 cm (d) 70 cm (e) 90 cm</p><p>Solução</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>75</p><p>Se o diâmetro de cada cano vale 10 cm, então o raio mede 5 cm. Logo:</p><p>De P1 até P3 = 20 cm; P4 até P5 = 20 cm e P6 até P7 = 20 cm.</p><p>Portanto o comprimento da fita até agora é 20 +20 +20 = 60, contudo</p><p>ainda faltam os pedaços compreendidos entre P1 e P7, P3 e P4 e P5 e</p><p>P6.</p><p>Observe o triângulo: O1O3O5. Ele é equilátero, portanto, todos os seus ângulos medem 60°.</p><p>P1O1P7 + 90° +90° +60°= 360°</p><p>P1O1P7 = 120°</p><p>Então o comprimento do arco P1P7 é: P1P7 = πrα180° → P1P7 = 3.5.120°180° → 𝐏𝟏𝐏𝟕 = 𝟏𝟎 𝐜𝐦</p><p>O comprimento dos outros 2 arcos é igual ao comprimento de P1P7, logo o arco P3P4 mede 10 cm e o arco</p><p>P5P6, também mede 10 cm.</p><p>Finalmente o comprimento da fita é:</p><p>Comprimento da fita = 20 +20 +20 +10 +10 +10 =></p><p>Comprimento da fita = 90 cm</p><p>Resposta: E.</p><p>(85) (UEG) Três ruas paralelas são cortadas por duas avenidas transversais nos pontos A, B e C da</p><p>Avenida 1 e nos pontos D, E e F da Avenida 2, de tal forma que AB = 90 m, BC = 100 m, DE = x e EF</p><p>= 80 m. Nessas condições, o valor de x é:</p><p>(a) 62 m (b) 60 m (c) 72 m (d) 74 m (e) 68 m</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>76</p><p>Solução</p><p>Pelo Teorema de Tales, a razão entre 2 segmentos quaisquer de uma</p><p>reta transversal a um feixe de retas paralelas é igual à razão entre os 2</p><p>segmentos correspondentes de outra reta transversal ao mesmo feixe de</p><p>retas paralelas.</p><p>90100 = 𝑥80 → 91 = 𝑥8 → 𝒙 = 𝟕𝟐 𝒎</p><p>Resposta: C</p><p>(86) (IFCE) O triângulo ABC é retângulo em A e tem catetos medindo 12 cm e 24 cm. Os pontos D, E</p><p>e F são tomados em AB, BC e AC, respectivamente, de tal forma que ADEF é um quadrado. A área</p><p>desse quadrado, em cm2, vale:</p><p>(a) 25 (b) 49 (c) 36 (d) 64 (e) 81</p><p>Solução</p><p>tg w = 2412 → 𝐭𝐠 𝐰 = 𝟐</p><p>D é um ponto sobre AB, E é um ponto sobre BC e F é um</p><p>ponto sobre AC. ADEF é um quadrado, digamos que seu lado</p><p>mede x. Se BA mede 12 e DA mede x, então DB mede 12 -x</p><p>Agora olhe para o triângulo retângulo BDE. Novamente, a tangente de w, no triângulo retângulo BDE, é tg w = x12 − 𝑥 → 2 = x12 − 𝑥 → 24 − 2𝑥 = 𝑥 → 3𝑥 = 24 → 𝑥 = 8</p><p>A área do quadrado é:</p><p>S = x² => S = 8² => S = 64 cm² (Resposta: D)</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>77</p><p>(87) (IFSUL) Três lotes residenciais têm frente para a rua dos Álamos e para a rua das Hortências,</p><p>conforme a figura a seguir.</p><p>As fronteiras entre os lotes são perpendiculares à rua das Hortênsias. Qual é a medida, em metros, da</p><p>frente do lote A para a rua dos Álamos, sabendo-se que as frentes dos três lotes somadas medem 135</p><p>metros?</p><p>(a) 55 (b) 65 (c) 75 (d) 85 (e) 90</p><p>Solução</p><p>Devemos ter o seguinte:</p><p>x + y + z = 135</p><p>Pelo Teorema de Tales, temos:</p><p>x50 = y10 = z30 = x + y + z90 = 13590 : 1515 = 96 : 33 =</p><p>32 ∴ x50 = 32 → x = 1502 → 𝐱 = 𝟕𝟓 𝐦</p><p>(88) (IFG 2015) Dois círculos, C1 e C2, possuem raios com medidas 3x e x+5, em cm, respectivamente.</p><p>Sabe-se que a razão entre o comprimento de C1 e o comprimento de C2 é igual a 2. Dessa forma, é</p><p>correto afirmar que as áreas de C1 e C2 valem em cm², respectivamente:</p><p>(use π = 3,14)</p><p>(a) 900 π e 225 π</p><p>(b) 920 π e 240 π</p><p>(c) 905 π e 255 π</p><p>(d) 910 π e 235 π</p><p>Solução</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>78</p><p>Sabemos que a razão entre o comprimento do círculo C1 e do C2 é igual a 2 e que r1 = 3x e r2 = x + 5:</p><p>Calculando a área do círculo C1:</p><p>A1 = πr²</p><p>A1 = π (3x)²</p><p>Como x = 10, então:</p><p>A1 = π · (3 · 10)²</p><p>A1 = π · 30²</p><p>A1 = 900π</p><p>Agora, calcularemos A2:</p><p>A2 = πr²</p><p>A2 = π (x + 5)²</p><p>Como x = 10, calculamos:</p><p>A2 = π · (10 + 5)²</p><p>A2 = π · 15²</p><p>A2 = 225π</p><p>As áreas são, respectivamente, 900π cm² e 225π cm².</p><p>Resposta: A</p><p>(89) (ENEM) Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a forma de um círculo com</p><p>diâmetro medindo 6 m, é cercada por grama. A administração do condomínio deseja ampliar essa</p><p>área, mantendo seu formato circular e aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa região, mantendo o</p><p>revestimento da parte já existente. O condomínio dispõe, em estoque, de material suficiente para</p><p>pavimentar mais 100 m² de área. O síndico do condomínio avaliará se esse material disponível será</p><p>suficiente para pavimentar a região a ser ampliada.</p><p>A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando a nova área a ser pavimentada, é a</p><p>de que o material disponível em estoque:</p><p>(Use π = 3)</p><p>(a) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 21 m²</p><p>(b) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 24 m²</p><p>(c) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 48 m²</p><p>(d) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 108 m²</p><p>(e) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 120 m²</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>79</p><p>Solução</p><p>A área inicialmente possuía um raio de 3 metros. Como o diâmetro será aumentado em 8m, essa região terá</p><p>14 metros de diâmetro, ou seja, 7 metros de raio. Calculando a diferença entre essas áreas:</p><p>A1= πr² = 3 · 3² = 27 m²</p><p>A2 = πr² = 3 · 7² = 147 m²</p><p>147 – 27 = 120 m²</p><p>Logo, a quantidade de material não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 120</p><p>m.</p><p>Resposta: E</p><p>(90) (Enem 2016) Um ciclista A usou uma bicicleta com rodas com diâmetros medindo 60 cm e</p><p>percorreu, com ela, 10 km. Um ciclista B usou outra bicicleta com rodas cujos diâmetros mediam 40</p><p>cm e percorreu, com ela, 5 km. Considere: 3,14 como aproximação para π. A relação entre o número</p><p>de voltas efetuadas pelas rodas da bicicleta do ciclista A e o número de voltas efetuadas pelas rodas da</p><p>bicicleta do ciclista B é dada por:</p><p>(a) 1/2 (b) 2/3 (c) 3/4 d) 4/3 (e) 3/2</p><p>Solução</p><p>Esta é a roda do ciclista A:</p><p>Se ela tem 60 cm de diâmetro, seu raio mede 30 cm.</p><p>Para cada volta que ela dá, o ciclista percorre uma distância igual ao comprimento</p><p>da roda.</p><p>O comprimento de uma circunferência é: c = 2πr, assim sendo, o comprimento da</p><p>roda do ciclista A é ca = 2.3,14.30 cm.</p><p>Se ao dar 1 volta o ciclista percorre 2.3,14.30 cm, quantas voltas ela precisa dar para percorrer 10 km ou</p><p>106 cm</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>80</p><p>1 -------- 2.3,14.30</p><p>x -------- 106</p><p>O mesmo vale para B. O raio da roda do ciclista B é 20 cm, logo o comprimento da roda é cb = 2.3,14.20</p><p>cm.</p><p>Para cada volta que ela dá, o ciclista B percorre uma distância de 2.3,14.20 cm, então para percorrer 5 km ou</p><p>5.105 cm a roda do ciclista B dá y voltas</p><p>1 ---------- 2.3,14.20</p><p>y ---------- 5. 105</p><p>Finalmente,</p><p>Resposta: D</p><p>𝑥𝑦 = 10.2030.5 → 𝑥𝑦 = 2015 : 55 → 𝒙𝒚 = 𝟒𝟑</p><p>(91) (CMRJ) O retângulo PQRS é a representação de uma mesa de sinuca. O objetivo é alcançar a</p><p>bola verde, representada pelo ponto V, com a bola branca, representada pelo ponto B. Sabe-se que o</p><p>ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, como destacado na figura abaixo.</p><p>Qual o valor da tangente do ângulo β?</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>81</p><p>a) 32/37</p><p>b) 33/37</p><p>c) 36/37</p><p>d) 32/35</p><p>e) 33/35</p><p>Solução</p><p>Com as informações do enunciado e da figura dada no exercício, podemos montar a imagem abaixo.</p><p>A definição de triângulos semelhantes nos diz que:</p><p>Dois triângulos são semelhantes se os três ângulos são ordenadamente congruentes e se os lados</p><p>homólogos são proporcionais.</p><p>Sendo assim, os triângulos são semelhantes.</p><p>Então, é válido dizer que:</p><p>0,9/(1,5 - y) = (0,75 - x)/0,35</p><p>0,315 = 1,125 - 1,5x - 0,75y + xy</p><p>-0,81 = -1,5x + xy - 0,75y</p><p>0,81 = 1,5x - xy + 0,75y</p><p>Como 1,5x - xy = 0,9y, então:</p><p>0,81 = 0,9y + 0,75y</p><p>0,81 = 1,65y</p><p>y = 27/55.</p><p>Logo, 15/10 - 27/55 = 111/110.</p><p>Sabendo que tangente é igual a razão entre cateto oposto e cateto adjacente, podemos concluir que:</p><p>tg(β) = 9/10.110/111</p><p>tg(β) = 33/37 (Resposta: B)</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>82</p><p>(92) (ENEM) A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A</p><p>figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a</p><p>esfinge.</p><p>Medindo-se com uma régua diretamente na</p><p>fotografia, verifica-se que a medida do queixo</p><p>até o alto da cabeça da turista é igual a 2/3 da</p><p>medida do queixo da esfinge até o alto da sua</p><p>cabeça. Considere que essas medidas na</p><p>realidade são representadas por d e d’,</p><p>respectivamente, que a distância da esfinge à</p><p>lente da câmera fotográfica, localizada no</p><p>plano horizontal do queixo da turista e da</p><p>esfinge, é representada por b, e que a distância</p><p>da turista à mesma lente, por a. A razão entre</p><p>“b” e “a” será dada por:</p><p>Solução</p><p>seguir, temos:</p><p>Os triângulos verde e amarelod são semelhantes,</p><p>logo:</p><p>ba = 𝑑𝑐 (𝑖)</p><p>Sabemos que:</p><p>𝑑 = 23 𝑑′(𝑖𝑖)</p><p>Substituundo (ii) em (i), temos:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>83</p><p>ba = 23 𝑑′𝑐 →</p><p>𝑏𝑎 = 23 𝑑′. 1𝑐 →</p><p>𝐛𝐚 = 𝟐𝐝′𝟑𝐜</p><p>Resposta: D</p><p>(93) (ENEM) A manchete demonstra que o transporte de grandes cargas representa cada vez mais</p><p>preocupação quando feito em vias urbanas.</p><p>CAMINHÃO ENTALA EM VIADUTO NO CENTRO</p><p>Um caminhão de grande porte entalou</p><p>embaixo do viaduto no cruzamento das</p><p>avenidas Borges de Medeiros e Loureiro</p><p>da Silva no sentido Centro-Bairro,</p><p>próximo à Ponte de Pedra, na capital. Esse</p><p>veículo vinha de São Paulo para Porto</p><p>Alegre e transportava três grandes tubos,</p><p>conforme ilustrado na foto.</p><p>Considere que o raio externo de cada cano da imagem seja 0, 60 m e que eles estejam em cima de uma</p><p>carroceria cuja parte superior está a 1, 30 m do solo. O desenho representa a vista traseira do</p><p>empilhamento dos canos.</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>84</p><p>A margem de segurança recomendada para que um veículo passe sob um viaduto é que a altura total</p><p>do veículo com a carga seja, no mínimo, 0, 50 m menor do que a altura do vão do viaduto.</p><p>Considere 1, 7 como aproximação para √3.</p><p>Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em metro, para que esse caminhão pudesse passar com</p><p>segurança sob seu vão:</p><p>a) 2, 82</p><p>b) 3, 52</p><p>c) 3, 70</p><p>d) 4, 02</p><p>e) 4, 20</p><p>Solução</p><p>Veja como poderíamos ilustrar o cálculo objetivado pela questão.</p><p>A altura total (Ht) é dada por: 0,50 + 0,60 + h triângulo equilátero + 0,60 + 1,30</p><p>Ht = 3,00 + h triângulo equilátero.</p><p>O cano superior formará com os canos inferiores um triângulo equilátero onde os vértices deste triângulo são</p><p>os centros dos três canos. A distância entre cada centro será de 2 raios, ou seja, 1,20 m. Vejamos de forma</p><p>ilustrada como fica:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>https://1.bp.blogspot.com/-PDMsJbklO-I/XWLF661AYjI/AAAAAAAAIgc/BK_jblMDrmcFkd_CuNlSoSt6EVG7Hy_uwCLcBGAs/s1600/questao-enem-caminhao-canos-limite.png</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>85</p><p>Podemos encontrar h por meio do Teorema de Pitágoras.</p><p>(Vou andar a vírgular uma casa para direita em todos os números para facilitar a conta)</p><p>h² + 6² = 12²</p><p>h² = 144 - 36</p><p>h² = 108</p><p>h² = 2² . 3³</p><p>h = 2.3 . √3 = 6. 1,7 = 10,2 {agora volto a vírgula uma casa para a esquerda h = 1,02 m}</p><p>Também podemos encontrar a altura de um triângulo equilátero aplicando a fórmula ( h = lado vezes a raiz</p><p>de 3 dividido por dois )</p><p>h = l √3 / 2</p><p>h = 0,60 . 1,7 = 1,02 m</p><p>Finalmente precisamos somar essa altura na fórmula objetivo: Ht = 3,00 + h triângulo equilátero.</p><p>Ht = 3,00 + 1,02</p><p>Ht = 4,02 m [alternativa correta é a letra D]</p><p>(94) (ESPM) Uma pessoa cujos olhos estão a 1, 80 m de altura em relação</p><p>ao chão avista o topo de um</p><p>edifício segundo um ângulo de 30° com a horizontal. Percorrendo 80 m no sentido de aproximação do</p><p>edifício, esse ângulo passa a medir 60°. Usando o valor 1, 73 para a raiz quadrada de 3, podemos</p><p>concluir que a altura desse edifício é de aproximadamente:</p><p>a) 59 m</p><p>b) 62 m</p><p>c) 65 m</p><p>d) 69 m</p><p>e) 71 m</p><p>Solução</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>https://1.bp.blogspot.com/--vpqkuvhEts/XWLH87bizoI/AAAAAAAAIgo/Vy01W-zcELw9JM9y29vNYdHsQ3tjuW7ZwCLcBGAs/s1600/enem-triangulo-equilatero.png</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>86</p><p>(95) (UFPR) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16</p><p>km/h em um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade</p><p>6 km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de</p><p>viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o</p><p>mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?</p><p>(a) 10 km (b) 14 km (c) 15 km (d) 17 km (e) 22 km</p><p>Solução</p><p>Resposta: B</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>87</p><p>(96) Para medir a distância entre dois pontos,</p><p>A e B, em margens distintas de um precipício,</p><p>um engenheiro, que estava na mesma margem</p><p>que o ponto A, adotou um segmento AC = 300</p><p>m. Através de um teodolito, obteve os ângulos</p><p>BAC = 58º e BCA = 67º. Com uma calculadora</p><p>científica obteve os valores de sen 67º = 0, 9205</p><p>e sen 55º = 0, 8192. Com base nesses valores,</p><p>determine a distância AB, calculada pelo</p><p>engenheiro.</p><p>a) 337</p><p>b) 341</p><p>c) 353</p><p>d) 370</p><p>e) 383</p><p>Solução</p><p>1° a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, logo:</p><p>58 +67 +ABC = 180</p><p>ABC = 55°</p><p>2º pela lei dos senos, em todo triângulo a razão de um lado e o seno do ângulo oposto é constante, ou seja, a</p><p>razão entre AB e sen 67 é igual à razão entre AC, que mede 300 m, e sen 55:</p><p>2º pela lei dos senos, em todo triângulo a razão de um lado e o seno do ângulo oposto é constante, ou seja, a</p><p>razão entre AB e sen 67</p><p>Resposta: A</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>88</p><p>(97) (IFPE) Às 10 h 45 min de uma manhã ensolarada, as sombras de um edifício e de um poste de 8</p><p>metros de altura foram medidas ao mesmo tempo. Foram encontrados 30 metros e 12 metros,</p><p>respectivamente, conforme a ilustração abaixo.</p><p>De acordo com as informações acima, a altura</p><p>h do prédio é de</p><p>a) 12 metros</p><p>b) 18 metros</p><p>c) 16 metros</p><p>d) 14 metros</p><p>e) 20 metros</p><p>Solução</p><p>De acordo com as informações acima, a altura h do prédio é de</p><p>Veja, os dois raios de luz são paralelos</p><p>Por conseguinte, os ângulos que eles formam com o chão são iguais os dois medem x</p><p>Assim sendo tg x no triângulo pequenininho</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>89</p><p>tg x no triângulo maior</p><p>Igualando as tangentes</p><p>(98) (ENEM 2016) A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos planos e nivelados,</p><p>limitados por tablados perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são</p><p>bolas feitas de um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, que é uma</p><p>bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente lançada.</p><p>A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma cancha. Suponha que um</p><p>jogador tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no bolim, de raio 2 cm,</p><p>conforme ilustra a figura 2.</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>90</p><p>Considere o ponto C como o centro da bocha, e o</p><p>ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e</p><p>B são pontos em que a bocha e o bolim,</p><p>respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a</p><p>distância entre A e B é igual a d. Nessas condições,</p><p>qual a razão entre d e o raio do bolim?</p><p>Solução</p><p>1º nós precisamos determinar o valor de d</p><p>Vamos traçar uma reta de C a O</p><p>note que CO é o raio da bocha +o raio do bolim = 5 +2 = 7</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>91</p><p>Vamos traçar uma reta de C até A</p><p>CA é o raio da bocha que mede 5 cm</p><p>Agora vamos traçar uma reta de O até B</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>92</p><p>OB é o raio do bolim que mede 2 cm</p><p>Vamos traçar uma reta de O até a reta CA paralela a “d”</p><p>Perceba que OP também mede d</p><p>Note que se OB mede 2 cm PA também mede 2 cm, logo PC mede 3 cm</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>93</p><p>De acordo com o teorema de Pitágoras o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos,</p><p>então no triângulo COP nós temos</p><p>72 = 32 +d2</p><p>d = √40</p><p>d = 2√10</p><p>Finalmente a razão entre “d” e o raio do bolim é</p><p>Resposta: E</p><p>(99) (CESMAC 2017) Em um terreno em declive foi construída uma rampa plana e uma plataforma</p><p>sustentada por duas colunas paralelas, como ilustrado a seguir:</p><p>A distância entre as colunas de sustentação é de 4 m, a plataforma mede 12 m, e a coluna menor mede</p><p>3 m. Qual a medida da outra coluna de sustentação?</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>94</p><p>a) 4, 5 m</p><p>b) 4, 6 m</p><p>c) 4, 7 m</p><p>d) 4, 8 m</p><p>e) 4, 9 m</p><p>Solução</p><p>Vamos colocar a rampa em pé</p><p>Se AC mede 12 e BC mede 4, então AB mede 8</p><p>BE é um segmento paralelo à CD, e qualquer segmento paralelo a um dos lados de um triângulo gera um</p><p>novo triângulo semelhante ao original, ou seja, o segmento BE gera o triângulo ABE semelhante ao</p><p>triângulo ACD</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>95</p><p>Em triângulos semelhantes as razões entre os lados correspondentes são iguais, isto significa que, a altura</p><p>do grande dividida sua base,</p><p>é igual à altura do pequeno dividida sua base</p><p>A Figura 1 apresenta a imagem de um poste que pode ser visto nas ruas de algumas cidades</p><p>brasileiras.</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>96</p><p>(100) A seguir temos uma representação de um desses postes (Figura 2),</p><p>que pode ser dividido em 3 partes: uma haste AB, vertical e fixada no</p><p>chão plano (horizontal), medindo 3 metros; uma haste AE medindo 1</p><p>metro, tal que BÂE = 120°; e uma haste ED paralela ao chão plano</p><p>(horizontal). Uma lâmpada será instalada no ponto D. A altura, em</p><p>relação ao chão plano, em que esta lâmpada será instalada, em metros,</p><p>é:</p><p>(a) 3, 2</p><p>(b) 3, 5</p><p>(c) 3, 6</p><p>(d) 4, 0</p><p>(e) 4, 2</p><p>Solução</p><p>A seguir temos uma representação de um desses postes (Figura 2), que pode ser dividido em 3 partes:</p><p>uma haste AB, vertical e fixada no chão plano (horizontal), medindo 3 metros; uma haste AE medindo</p><p>1 metro, tal que BÂE = 120°; e uma haste ED paralela ao chão plano (horizontal).</p><p>Uma lâmpada será instalada no ponto D. A altura, em relação ao chão</p><p>plano, em que esta lâmpada será instalada, em metros. Vamos traçar</p><p>uma reta horizontal partindo de A</p><p>Como AB é vertical e AF é</p><p>horizontal o ângulo B F mede 90°:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>97</p><p>Se BÂE mede 120° e BÂF mede 90, FÂE mede 30°.</p><p>Vamos traçar uma reta vertical em direção ao chão saindo de E:</p><p>Novamente como AF é horizontal e EG é vertical o ângulo AGE</p><p>mede 90, portanto o triângulo AGE é retângulo.</p><p>O seno de 30° é:</p><p>sen 30° = GE.1 => sen 30 = 1/2.</p><p>Resposta: B</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>área da região vermelha em cada lajota vale, em</p><p>cm²:</p><p>Considere π = 3,14</p><p>(a) 172</p><p>(b) 262</p><p>(c) 272</p><p>(d) 282</p><p>(e) 292</p><p>Solução</p><p>Área da região vermelha (S) = Área do quadrado - 2 x Área do</p><p>círculo</p><p>S = (30)2 − 2. π. (10)2</p><p>S = 900 − 2.3,14.100</p><p>S = 900 − 6,28.100</p><p>S = 900 − 628</p><p>𝐒 = 𝟐𝟕𝟐 𝐜𝐦²</p><p>Resposta: C</p><p>(13) A fim de garantir inclusão de pessoas com algum tipo de deficiência na sociedade, a legislação</p><p>brasileira utiliza parâmetros da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) como referência.</p><p>Em relação à largura das rampas de acesso a edificações públicas, por exemplo:</p><p>[...] deve ser estabelecida de acordo com</p><p>o fluxo de pessoas. A largura livre mínima</p><p>recomendável para as rampas em as rotas</p><p>acessíveis são de 1,50 m, sendo o mínimo acessível</p><p>1,20 m [...].</p><p>(ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE</p><p>NOSMAS TÉCNICAS (ABNT – RIO DE</p><p>JANEIRO)</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>8</p><p>Em um edifício público, foi construída uma rampa de acesso cuja superfície tem formato</p><p>retangular com 25 m de perímetro e com a largura mínima recomendada pela ABNT. Deseja-se</p><p>construir, nas laterais dessa rampa, dois corrimões que acompanhem toda a sua extensão. Quanto</p><p>deve medir o comprimento de cada corrimão?</p><p>(a) 5 m (b) 7 m (c) 10 m (d) 11 m (e) 12 m</p><p>Solução</p><p>A largura da superfície dessa rampa de acesso é 1,5 m,</p><p>já que se trata da medida mínima recomendada pela</p><p>ABNT. Além disso, o perímetro dessa rampa é 25 m.</p><p>Denominando x a medida do comprimento de cada</p><p>corrimão, temos:</p><p>x + 1,5 + x + 1,5 = 25 =></p><p>2x + 3 = 25 =></p><p>2x = 25 – 3 =></p><p>2x = 22 =></p><p>x = 11 metros</p><p>Portanto, o comprimento de cada corrimão dessa rampa</p><p>de acesso deve medir 11 m. (Resposta: D)</p><p>(14) As medidas dos ângulos internos de um pentágono formam, em grau, uma progressão aritmética</p><p>de razão igual a 3. Portanto, o menor ângulo interno desse polígono mede:</p><p>(a) 45° (b) 93° (c) 102° (d) 110° (e) 118°</p><p>Solução</p><p>(i) Sabemos que em uma PA, cada elemento a partir do 2° é igual ao anterior somado com a razão. Vamos</p><p>supor que os ângulos internos sejam:</p><p>PA (x, x +3. x + 6, x + 9, x + 12)</p><p>(ii) Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono é dada por:</p><p>Si = 180°(n − 2)</p><p>Onde “n” é o n° de lados do polígono. Logo:</p><p>Si = 180°(n − 2) → Si = 180°(5 − 2) → Si = 180° x 3 → 𝐒𝐢 = 𝟓𝟒𝟎°</p><p>(iii) Devemos ter, então, o seguinte:</p><p>x + x + 3 + x + 6 + x + 9 + x + 12 = 540° →</p><p>5𝑥 + 30 = 540° →</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>9</p><p>5𝑥 = 540° − 30 → 5𝑥 = 510° →</p><p>x = 510°5 →</p><p>𝐱 = 𝟏𝟎𝟐°</p><p>Resposta: C</p><p>(15) Um polígono convexo possui um ângulo interno com medida igual a 130°, outros dois com</p><p>medidas iguais a 145°, e os demais, com medidas iguais a 160°.</p><p>(a) Qual é a quantidade de lados desse polígono?</p><p>(b) Determine a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono.</p><p>Solução</p><p>(a) Note que foram dados os valores de 3 ângulos: 130°, 145°, 160°.</p><p>Em todo polígono, a quantidade de lados é igual à quantidade de ângulo. Vamos supor que a quantidade de</p><p>lados seja igual a “n”, logo: Quantidade de lados = Quantidade de ângulos = n. Somando todos os ângulos</p><p>fornecidos, temos:</p><p>Devemos ter, então:</p><p>S = 130° + 290° + (n − 3). 160° S = 420° + 160°n − 480° → 𝐒 = 𝟏𝟔𝟎°𝐧 − 𝟔𝟎° (𝐢)</p><p>(i) Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono é dada por:</p><p>S = 180°(n − 2) → 𝐒 = 𝟏𝟖𝟎°𝐧 − 𝟑𝟔𝟎° (𝐢𝐢)</p><p>Igualando as equações (i) e (ii), temos:</p><p>160°n − 60° = 180°n − 360° → 180n − 160n = 360 − 60 → 20n = 300 → n = 30020 →</p><p>𝐧 = 𝟏𝟓 𝐥𝐚𝐝𝐨𝐬</p><p>(b)</p><p>S = 180°(n − 2) → S = 180°(15 − 2) → S = 180°. 13 → 𝐒 = 𝟐𝟑𝟒𝟎°</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>10</p><p>(16) A figura ao lado representa o jardim de</p><p>certa empresa. A região em vermelho tem</p><p>formato de losango e corresponde ao espaço que</p><p>será destinado ao plantio de rosas, sendo</p><p>recomendadas 3 mudas, no máximo, por metro</p><p>quadrado. Quantas mudas de rosas podem ser</p><p>plantadas, no máximo, em todo esse espaço?</p><p>(a) 52</p><p>(b) 62</p><p>(c) 72</p><p>(d) 82</p><p>(e) 92</p><p>Solução</p><p>Interessa-nos saber a área total do losango (figura em vermelho). Logo:</p><p>Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo</p><p>destacado, temos:</p><p>52 = (MB)2 + 32 → 25 = (MB)2 + 9 →</p><p>(MB)2 = 26 − 9 → (MB)2 = 16 → MB = √16 → 𝐌𝐁 = 𝟒</p><p>Note que DB = 2.MB => DB = 2.4 => DB = 8 m</p><p>Área do losango:</p><p>S = D. d2 → S = 6.82 → S = 482 → 𝐒 = 𝟐𝟒 𝐦²</p><p>De acordo com o enunciado da questão, devemos ter 3 mudas de rosas por m², logo:</p><p>3 mudas.............................1 m²</p><p>x.........................................24 m²</p><p>x = 3.24 =></p><p>𝐱 = 𝟕𝟐 𝐦𝐮𝐝𝐚𝐬</p><p>Resposta: C</p><p>(17) (INSPER) Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R 101, que é retilínea e apresenta 300</p><p>km de extensão. A 160 km de X, a beira da R 101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R 102,</p><p>também retilínea e perpendicular à R 101. Está sendo construída uma nova rodovia retilínea, a R 103,</p><p>que ligará X à capital do Estado. A nova rodovia interceptará a R 102 no ponto P, distante 120 km da</p><p>cidade Z.</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>11</p><p>O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade Y até a</p><p>R 103. A menor extensão, em km, que está ligação poderá ter é:</p><p>(a) 250 (b) 240 (c) 225 (d) 200 (e) 180</p><p>Solução</p><p>(i) Vamos determina, pelo Teorema de Pitágoras, o</p><p>valor de k no triângulo destacado XZP:</p><p>k2 = (120)2 + (160)2</p><p>k2 = 14.400 + 25.600</p><p>k2 = 40.000</p><p>k = √40.000</p><p>𝐤 = 𝟐𝟎𝟎 𝐤𝐦</p><p>(ii) Os triângulos: XZP e XDY são semelhantes, logo:</p><p>XPXY = ZPYD => 200300 = 120d → d = 3602 →</p><p>𝐝 = 𝟏𝟖𝟎 𝐤𝐦</p><p>Resposta: E</p><p>(18) (UNESP) Para que alguém, com o olho normal possa atingir um ponto separado de outro, é</p><p>necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas, em sua retina, estejam separadas uma da</p><p>outra a uma distância de 0,005 mm.</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>12</p><p>Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado uma</p><p>esfera cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, a menor distância x, em metros, que dois pontos</p><p>luminosos distantes 1 mm um do outro podem estar do observador, para que este os perceba</p><p>separados é:</p><p>(a) 0,5 (b) 1,0 (c) 2 (d) 2,5 (e) 3,0</p><p>Solução</p><p>Os triângulos: ABC e BDE são</p><p>semelhantes, portanto:</p><p>AC𝐶𝐵 = DEBD → 1𝑥 = 0,00515 →</p><p>x = 150,005 → x = 3.000 mm →</p><p>𝑥 = 𝟑 𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨𝐬</p><p>Resposta: E</p><p>(19) (UNESP) Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 21 dm, com alta velocidade inicial e passa</p><p>rente à rede, a uma altura de 9 dm. Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu</p><p>movimento parabólico, considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e contida num</p><p>plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma distância de 120 dm da rede, a que distância da</p><p>mesma, em metros, ela tingirá o outro lado da quadra?</p><p>(a) 8,0 m (b) 9,0 m (c) 10 m (d) 11 m (e) 12 m</p><p>Solução</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>13</p><p>Os triângulos: ABC e CDE são</p><p>semelhantes, portanto:</p><p>9d = 21𝑑 + 120 →</p><p>21𝑑 = 9𝑑 + 1080</p><p>21𝑑 − 9𝑑 = 1080</p><p>12𝑑 = 1080</p><p>d = 108012 → d = 90 dm → 𝐝 = 𝟗 𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨𝐬</p><p>Resposta: B</p><p>(20)</p><p>(UFPR) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço colocados</p><p>nos pontos A, B e C, como mostra a figura. Os suportes nas extremidades A e C medem,</p><p>respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura.</p><p>A altura do suporte B é, então, de:</p><p>(a) 4,2 m (b) 4,5 m (c) 5,0 m (d) 5,2 m (e) 5,5 m</p><p>Solução</p><p>(i) Traçando o segmento DF paralelo a AC, temos os triângulos semelhantes DHE e DGF. Logo:</p><p>x12 = 220 → 20𝑥 = 24 → 𝑥 = 2420 → 𝑥 = 1,2 → 𝐵 = 4 + 1,2 → 𝐁 = 𝟓, 𝟐 𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨𝐬</p><p>Resposta: D</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>14</p><p>(21) (EEWB) Na figura, ANM é um triângulo e ABCD é um quadrado. Calcule a área do quadrado,</p><p>em cm².</p><p>AM = 4 cm,</p><p>NA = 6 cm.</p><p>(a) 2,4 (b) 5,76 (c) 3,6 (d) 7,4</p><p>Solução</p><p>Os triângulos BCM e DCN são semelhantes, logo:</p><p>4 − xx = x6 − x →</p><p>x2 = (4 − x)(6 − x) →</p><p>x2 = 24 − 4x − 6x + x2 → −10x = −24 → x = −24−10 →</p><p>x = 2,4</p><p>Área do quadrado:</p><p>S = x2 → S = (2,4)2 → 𝐒 = 𝟓, 𝟕𝟔 𝐜𝐦²</p><p>Resposta: B</p><p>(22) (MACKENZIE) A área do quadrado assinalado na figura é igual a:</p><p>(a) 15</p><p>(b) 20</p><p>(c) 12</p><p>(d) 18</p><p>(e) 16</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>15</p><p>Solução</p><p>(23) (EPCAR) A figura representa o logotipo que será estampado em 450 camisetas de uma</p><p>Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do Colégio Alfa. Essa figura é formada por um</p><p>círculo de centro O inscrito num triângulo isósceles cuja base BC mede 24 cm e altura relativa a esse</p><p>lado mede 16 cm. O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é necessário, exatamente, 1 pote</p><p>de tinta cinza para pintar 5400 cm².</p><p>Adote: 𝝅 = 𝟑</p><p>Com base nesses dados, é correto afirmar que o número de potes necessários para pintar o círculo em</p><p>todas as camisetas é igual a:</p><p>(a) 9 (b) 10 (c) 11 (d) 12</p><p>Solução</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>16</p><p>1 pote..........................5400 cm²</p><p>x..................................48600 cm²</p><p>x = 486005400 → 𝐱 = 𝟗 𝐩𝐨𝐭𝐞𝐬</p><p>Resposta: A</p><p>(24) (ENEM) Em caneiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando</p><p>medidas de comprimento e ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se</p><p>erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber</p><p>que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os</p><p>pontos médios dos lados desse triângulo conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram</p><p>indicadas por letras.</p><p>A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a</p><p>área a ser calçada corresponde:</p><p>(a) a mesma área do triângulo AMC</p><p>(b) a mesma área do triângulo BNC</p><p>(c) a metade da área formada pelo triângulo ABC</p><p>(d) ao dobro da área do triângulo MNC</p><p>(e) ao triplo da área do triângulo MNC</p><p>Solução</p><p>Resposta: E</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>17</p><p>(25) (CPS) A figura representa os triângulos retângulos PQR</p><p>e STR, sendo RS = 5 cm, ST = 3 cm e QT = 6 cm. A medida</p><p>do cateto PQ, em centímetros, é:</p><p>(a) 7,5</p><p>(b) 8,2</p><p>(c) 8,6</p><p>(d) 9,0</p><p>(e) 9,2</p><p>(26) (FGV) Bem no topo de uma árvore de 10,2 metros</p><p>de altura, um gavião casaca-de-couro, no ponto A da</p><p>figura, observa atentamente um pequeno roedor que</p><p>subiu na mesma árvore e parou “preocupado” no ponto</p><p>B, bem abaixo do gavião, na mesma reta vertical em</p><p>relação ao chão. Junto à árvore, um garoto fixa</p><p>verticalmente no chão uma vareta de 14,4 centímetros de</p><p>comprimento e, usando uma régua, descobre que a</p><p>sombra da vareta mede 36 centímetros de comprimento.</p><p>Exatamente nesse instante, vê no chão, a sombra do</p><p>gavião percorrer 16 metros em linha reta e ficar sobre a</p><p>sombra do roedor, que não havia se movido de susto.</p><p>Calcule e responda: Quantos metros o gavião teve de</p><p>voar para capturar o roedor, se ele voa verticalmente de</p><p>A para B?</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>18</p><p>Solução</p><p>(27) (UNEMAT) No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são respectivamente os pontos médios</p><p>dos lados AB e AC. O segmento MN mede 6 cm.</p><p>A área do triângulo ABC mede:</p><p>(𝐚) 𝟏𝟖√𝟑 𝐜𝐦𝟐 (𝐛) 𝟐𝟒√𝟐 𝐜𝐦𝟐 (𝐜) 𝟑𝟎√𝟐 𝐜𝐦𝟐 (𝐝) 𝟑𝟎√𝟑 𝐜𝐦𝟐 (𝐞) 𝟑𝟔√𝟑 𝐜𝐦²</p><p>Solução</p><p>O lado MN do triângulo AMN é a base média do triângulo ABC.</p><p>Logo: MN = BC2 → 6 = BC2 → 𝐁𝐂 = 𝟏𝟐</p><p>Área do triângulo equilátero ABC:</p><p>S = L2 √34 → S = (12)2√34 → S = 144√34 → 𝐒 = 𝟑𝟔√𝟑 𝐜𝐦² (Resposta: E)</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>19</p><p>(28) (ENEM) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um</p><p>paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8</p><p>metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da</p><p>rampa é:</p><p>(a) 1,16 metros (b) 3,0 metros (c) 5,4 metros (d) 5,6 metros (e) 7,4 metros</p><p>Solução</p><p>Os triângulos ABC e EBD são semelhantes. Logo:</p><p>x + 3,23,2 = 2,20,8 → 0,8(𝑥 + 3,2) = 3,2.2,2 →</p><p>0,8 𝑥 + 2,56 = 7,04 →</p><p>0,8𝑥 = 7,04 − 2,56</p><p>0,8x = 4,48 → x = 4,480,8 → 𝐱 = 𝟓, 𝟔 𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨𝐬</p><p>(29) (FUVEST) Na figura ABC e CDE são triângulos retângulos, AB = 1, 𝐁𝐂 = √𝟑 e BE = 2DE. Logo, a medida de AE é:</p><p>(𝐚) √𝟑𝟐 (𝐛) √𝟓𝟐 (𝐜) √𝟕𝟐 (𝐝) √𝟏𝟏𝟐 (𝐞) √𝟏𝟑𝟐</p><p>Solução</p><p>No triângulo ABC, pelo Teorema de</p><p>Pitágoras, temos:</p><p>y2 = (√3)2 + 12 →</p><p>𝑦2 = 3 + 1 →</p><p>𝑦2 = 4 →</p><p>𝑦 = √4 →</p><p>𝐲 = 𝟐</p><p>Os triângulos ABC e CDE são semelhantes, logo:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>20</p><p>ABDE = 𝐴𝐶𝐶𝐸 →</p><p>1𝑥 = 2√3 − 2𝑥 →</p><p>√3 − 2𝑥 = 2𝑥 →</p><p>4𝑥 = √3</p><p>𝐱 = √𝟑𝟒</p><p>No triângulo ABE, pelo Teorema de</p><p>Pitágoras, temos:</p><p>z2 = (2x)2 + 12 → z2 = (2. √34 )2 + 1 → 𝑧2 = (√32 )2 + 1 → 𝑍2 = 34 + 1 → 𝑧2 = 74 → 𝑧 = √74 →</p><p>𝐳 = √𝟕𝟐</p><p>Resposta: C</p><p>(30) (FUVEST) Na figura ao lado, ABC é um triângulo retângulo de</p><p>catetos AB = 4 e AC = 5. O segmento DE é paralelo a AB, F é um ponto de</p><p>AB e o segmento CF intercepta DE no ponto G, com CG = 4 e GF = 2.</p><p>Assim, a área do triângulo CDE é:</p><p>(𝐚) 𝟏𝟔𝟑 (𝒃) 𝟑𝟓𝟔 (𝒄) 𝟑𝟗𝟖 (𝒅) 𝟒𝟎𝟗 (𝒆) 𝟕𝟗𝟗</p><p>Solução:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>21</p><p>Ao lado, temos novamente a figura, com as dimensões dos lados</p><p>(dadas no enunciado):</p><p>(i) Os triângulos CAF e CGD são semelhantes, logo: CGCF = CDCA → 46 = CD5 → CD = 206 → 𝐂𝐃 = 𝟏𝟎𝟑</p><p>(ii) Os triângulos ABC e CDE são semelhantes, logo:</p><p>CDCA = DEAB → 1035 = DE4 → 1015 = DE4 → DE = 4015 → 𝐃𝐄 = 𝟖𝟑</p><p>(iii) Área do triângulo CDE:</p><p>S = DE. CD2 → S = 83 . 1032 → S = 8092 → S = 809 . 12 → S = 8018 : 22 → 𝐒 = 𝟒𝟎𝟗</p><p>Resposta: D</p><p>(31) (Aprendiz de Marinheiro) Observe a figura abaixo</p><p>Um prédio projeta no solo uma sombra de 30 m de extensão no mesmo instante em que uma pessoa de</p><p>1,80 m projeta uma sombra de 2,0 m. Pode-se afirmar que a altura do prédio vale:</p><p>a) 27 m</p><p>b) 30 m</p><p>c) 33 m</p><p>d) 36 m</p><p>e) 40 m</p><p>Solução</p><p>Podemos considerar que o prédio,</p><p>sua sombra projetada e o raio solar formam um triângulo. Da mesma</p><p>forma, temos também um triângulo formado pela pessoa, sua sombra e o raio solar.</p><p>Considerando que os raios solares são paralelos e que o ângulo entre o prédio e o solo e a pessoa e o solo é</p><p>igual a 90º, os triângulos, indicados na figura abaixo, são semelhantes (dois ângulos iguais).</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>22</p><p>Sendo os triângulos semelhantes, podemos escrever a</p><p>seguinte proporção:</p><p>Resposta: A</p><p>(32) Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB = 4 e BC = 2. Sejam M o ponto</p><p>médio do lado e N o ponto médio do lado . Os segmentos interceptam o segmento</p><p>nos pontos E e F, respectivamente.</p><p>A área do triângulo AEF é igual a:</p><p>Solução</p><p>A área do triângulo AEF pode ser encontrada</p><p>diminuindo a área do triângulo ABE da área do</p><p>triângulo AFB, conforme figura ao lado:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>23</p><p>Vamos começar encontrando a área do triângulo</p><p>AFB. Para isso, precisamos descobrir o valor da</p><p>altura deste triângulo, pois o valor da base é</p><p>conhecido (AB = 4).</p><p>Note que os triângulos AFB e CFN são semelhantes</p><p>pois possuem dois ângulos iguais (caso AA),</p><p>conforme indicado na figura abaixo:</p><p>Vamos traçar a altura H1, relativa ao lado AB, no triângulo</p><p>AFB. Como a medida do lado CB é igual a 2, podemos</p><p>considerar que a altura relativa do lado NC no triângulo FNC</p><p>é igual a 2</p><p>H1.</p><p>Podemos então, escrever a seguinte proporção:</p><p>Conhecendo a altura do triângulo, podemos calcular sua área:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>24</p><p>Para encontrar a área do triângulo ABE, também será</p><p>necessário calcular o valor da sua altura. Para isso,</p><p>usaremos o fato dos triângulos ABM e AOE, indicados na</p><p>figura ao lado, serem semelhantes.</p><p>Além disso, o triângulo OEB é um triângulo retângulo e</p><p>os outros dois ângulos são iguais (45º), logo é um</p><p>triângulo isósceles. Desta forma, os dois catetos deste</p><p>triângulo valem H2, conforme imagem ao lado:</p><p>Desta forma, o lado AO, do triângulo AOE, é igual a 4 - H2. Com base nessas informações, podemos indicar</p><p>a seguinte proporção:</p><p>Sabendo o valor da altura, agora podemos calcular a área do triângulo ABE:</p><p>Assim, a área do triângulo AFE será igual a:</p><p>Resposta: D</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>25</p><p>(33) (CEFET – MG) A ilustração a seguir representa uma mesa de sinuca retangular, de largura e</p><p>comprimento iguais a 1,5 m e 2,0 m, respectivamente. Um jogador deve lançar a bola branca do ponto</p><p>B e acertar a preta no ponto P, sem acertar em nenhuma outra, antes. Como a amarela está no ponto</p><p>A, esse jogador lançará a bola branca até o ponto L, de modo que a mesma possa rebater e colidir com</p><p>a preta.</p><p>Se o ângulo da trajetória de incidência da bola na lateral da mesa e o ângulo de rebatimento são</p><p>iguais, como mostra a figura, então a distância de P a Q, em cm, é aproximadamente:</p><p>(a) 67 (b) 70 (c) 74 (d) 81</p><p>Solução</p><p>Os triângulos, assinalados em vermelho na imagem abaixo, são</p><p>semelhantes, pois possuem dois ângulos iguais (ângulo igual a</p><p>α e ângulo igual a 90º).</p><p>Sendo assim, podemos escrever a seguinte proporção:</p><p>Resposta: A</p><p>(34) (COLÉGIO MILITAR - RJ) Em um triângulo ABC, os pontos “D” e “E” pertencem,</p><p>respectivamente, aos lados AB e AC e são tais que DE / / BC . Se F é um ponto de AB tal que EF / / CD</p><p>e as medidas de AF e FD e são, respectivamente, 4 e 6, a medida do segmento DB é:</p><p>(a) 15 (b) 10 (c) 20 (d) 16 (e) 36</p><p>Solução</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>26</p><p>Podemos representar o triângulo ABC, conforme figura ao lado.</p><p>Sendo o segmento DE paralelo a BC, então os triângulos: ADE e ABC</p><p>são semelhantes, pois seus ângulos são congruentes.</p><p>Podemos então escrever a seguinte proporção:</p><p>Os triângulos FED e DBC também são semelhantes, visto que os segmentos FE e DC são paralelos. Assim,</p><p>a seguinte proporção também é verdadeira:</p><p>Isolando o y nessa proporção, temos:</p><p>Substituindo o valor do y na primeira igualdade:</p><p>Resposta: A</p><p>(35) (FUVEST) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o</p><p>ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertencente ao cateto BC e o ponto F pertence à</p><p>hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do</p><p>paralelogramo DECF vale:</p><p>(a) 63/25</p><p>(b) 12/5</p><p>(c) 58/25</p><p>(d) 56/25</p><p>(e) 11/5</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>27</p><p>Solução</p><p>A área do paralelogramo é encontrada multiplicando-se o valor da</p><p>base pela altura. Vamos chamar de h a altura e de x a medida da base,</p><p>conforme figura ao lado:</p><p>Sendo DECF um paralelogramo, seus lados são paralelos dois a dois. Desta forma, os lados AC e DE são</p><p>paralelos. Assim, os ângulos são iguais.</p><p>Podemos então, identificar que os triângulos ABC e DBE são semelhantes (caso AA). Temos ainda que a</p><p>hipotenusa do triângulo ABC é igual a 5 (triângulo 3,4 e 5).</p><p>Desta forma, vamos escrever a seguinte proporção:</p><p>Para encontrar a medida x da base, iremos considerar a seguinte proporção:</p><p>Calculando a área do paralelogramo, temos:</p><p>Resposta: A</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>28</p><p>(36) (FUVEST) Na figura ao lado, estão representados um quadrado</p><p>de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2.</p><p>Então a área da região hachurada é:</p><p>(𝐚) 𝛑𝟐 + 𝟐 (𝐛) 𝛑 + 𝟐 (𝐜) 𝛑 + 𝟑 (𝐝) 𝛑 + 𝟒 (𝐞) 𝟐𝛑 + 𝟏</p><p>Solução</p><p>Primeiramente desenhamos um triângulo retângulo (linha vermelha):</p><p>A área da região hachurada é a soma de 1/4 da área do círculo, mais a</p><p>área do triângulo retângulo:</p><p>(i)</p><p>𝟏𝟒 𝐝𝐚 á𝐫𝐞𝐚 𝐨 𝐜í𝐫𝐜𝐮𝐥𝐨:</p><p>S′ = 14 πr2 → S′ = 14 π. 22 → 𝐒′ = 𝛑</p><p>ii) Á𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐨 𝐭𝐫𝐢â𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨 𝐫𝐞𝐭â𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨: S′′ = 2 . 22 → 𝐒′′ = 𝟐</p><p>(iii) Área hachurada: Shachurada = S′ + S′′ → 𝐒𝐡𝐚𝐜𝐡𝐮𝐫𝐚𝐝𝐚 = 𝛑 + 𝟐</p><p>(37) O quadrado abaixo tem lado igual a 4 cm. Calcule a área da região assinalada:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>29</p><p>Solução</p><p>Traçando a diagonal AC, e trasladando a parte hachurada acima da diagonal temos um triângulo retângulo</p><p>ACD como a área que deve ser calculada, logo: SHachurada = BC . CD2 => SHachurada = 4 . 42 => SHachurada = 162 => 𝐒𝐇𝐚𝐜𝐡𝐮𝐫𝐚𝐝𝐚 = 𝟖 𝐜𝐦²</p><p>(38) Calcule a área da região hachurada:</p><p>Solução</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>30</p><p>Analisando a figura ao lado, notamos que a área hachurada é dada por: SHachurada = SQuadrado − STriângulo − STrapézio − S14Círculo =></p><p>SHachurada = 82 − 4 . 82 − (8 + 4). 42 − π. 424 => SHachurada = 64 − 16 − 24 − 4π => SHachurada = 24 − 4π => 𝐒𝐇𝐚𝐜𝐡𝐮𝐫𝐚𝐝𝐚 = 𝟒(𝟔 − 𝛑) 𝐜𝐦²</p><p>(39) Na figura ao lado, os vértices de um triângulo equilátero de lado 4 cm são centros de três círculos</p><p>que se tangenciam mutuamente, determinando a região hachurada de preto no interior do triângulo.</p><p>Qual é a medida da área dessa região?</p><p>Considere π =3,0 e √3 = 1,7.</p><p>(a) 0,6</p><p>(b) 0,3</p><p>(c) 0,5</p><p>(d) 0,8</p><p>(e) 0,4</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>31</p><p>Solução</p><p>Área hachurada = Área do triângulo – 3 x Área setor circular</p><p>Shacurada = L²√34 − 3. πr2α360° → Shacurada = 42√34 − 𝜋. 22. 60°120° →</p><p>Shacurada = 4√3 − 2𝜋 → Shacurada = 4.1,7 − 2.3 →</p><p>Shacurada = 6,8 − 6</p><p>𝐒𝐡𝐚𝐜𝐮𝐫𝐚𝐝𝐚 = 𝟎, 𝟖</p><p>Resposta: D</p><p>(40) Calcule a área da região hachurada, na figura abaixo:</p><p>Solução</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>32</p><p>Trasladando as duas partes abaixo da diagonal BD para a parte superior da figura, formamos 1/4 do círculo.</p><p>Por simetria as duas partes transladadas são iguais às partes da figura colorida acima. Logo: SHachurada = 14 SCírculo − STriângulo BCD =></p><p>𝐒𝐇𝐚𝐜𝐡𝐮𝐫𝐚𝐝𝐚 = (𝛑 − 𝟐) 𝐦²</p><p>(41) Na figura abaixo temos três semicírculos e a medida do segmento 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ é igual ao dobro da medida</p><p>do segmento 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ . Nessas condições, a área da região colorida é expressa por:]</p><p>Solução</p><p>(i) Cálculo da área da semicircunferência menor:</p><p>S′ = π (x2)22 => S′ = π. x242 => 𝐒′ = 𝝅. 𝒙²𝟖</p><p>(ii) Cálculo da área da semicircunferência média:</p><p>S′′ = π(x)22 => 𝐒′′ = 𝝅. 𝒙²𝟐</p><p>(iii) Área da semicircunferência maior:</p><p>S = π (3x2 )22 => S = π. 9x242 => 𝐒 = 𝟗𝛑. 𝐱²𝟖</p><p>(iv) Área hachurada:</p><p>SHachurada = S − S′ − S′′ =></p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>33</p><p>SHachurada = 9π. x28 − 𝜋. 𝑥28 − 𝜋. 𝑥22 =></p><p>SHachurada = 9π. x28 − π. x2 − 4. π. x28 => SHachurada = 9π. x28 − 5π. x28 => SHachurada = 4πx28 : 44 =></p><p>𝐒𝐇𝐚𝐜𝐡𝐮𝐫𝐚𝐝𝐚 = 𝛑. 𝐱²𝟐</p><p>Resposta: C</p><p>(42) Calcule a área da região assinalada:</p><p>Solução</p><p>(i) No triângulo retângulo ABD, temos:</p><p>h2 = m. n => (6√3)2 = 6. x =></p><p>36.3 = 6x => 𝐱 = 𝟏𝟖 𝐜𝐦</p><p>(ii) Raio da circunferência média:</p><p>R’ = 18: 2 => R’ = 9 cm</p><p>(iii) Cálculo do raio da semicircunferência</p><p>maior:</p><p>R = 6 + 182 => 𝐑 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦</p><p>(iv) Área hachurada:</p><p>SHachurada = SSemicircunferência Maior − SSemiCircunferência Média − SSemiCircunferência Menor</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>34</p><p>SHachurada = π. (12)22 − π. 922 − π. 322 =></p><p>SHachurada = 144π − 81π − 9π2 => SHachurada = 54π2 =></p><p>𝐒𝐇𝐚𝐜𝐡𝐮𝐫𝐚𝐝𝐚 = 𝟐𝟕𝛑 𝐜𝐦²</p><p>(43) (UFMG) Observe a figura.</p><p>Nela, a circunferência de centro O tem raio r e arcos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HÁ</p><p>congruentes. O valor da área sombreada, em função de r, é:</p><p>Solução</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>35</p><p>(i) No triângulo retângulo destacado ao</p><p>lado, temos:</p><p>sen 45° = xr => √22 = xr =></p><p>𝐱 = 𝐫√𝟐𝟐</p><p>(ii) Note que temos 8 triângulos</p><p>retângulos isósceles, logo:</p><p>S8 triângulos = 8. (r√22 ) . (r√22 )2</p><p>S8 triângulos = 4. (r2. 24 ) => 𝐒𝟖 𝐭𝐫𝐢â𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨𝐬 = 𝟐. 𝐫²</p><p>(iii) Área hachurada:</p><p>SHachurada = SCírculo − S8 triângulos =></p><p>SHachurada = π. r2 − 2r2 =></p><p>𝐒𝐇𝐚𝐜𝐡𝐮𝐫𝐚𝐝𝐚 = 𝐫²(𝛑 − 𝟐)</p><p>Resposta: A</p><p>(44) (FUVEST) Na figura ao lado, ABC é um triangulo</p><p>isósceles e retângulo em A, e PQRS é um quadrado de lado 𝟐√𝟐𝟑 . Portanto, a medida do lado AB é:</p><p>(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (c) 5</p><p>Solução:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>36</p><p>Pelo Teorema de Pitágoras, temos:</p><p>x2 + x2 = (2√2)2 → 2x2 = 8 → 𝐱 = 𝟐</p><p>Resposta: B</p><p>Vídeo com resolução detalhada: https://www.youtube.com/watch?v=LPaDm3Jz-4Q</p><p>(45) (FUVEST) Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por</p><p>articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam-se de tal</p><p>forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objeto,</p><p>associa-se θ, a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área da região delimitada pelo</p><p>paralelogramo quando θ = 90° é A.</p><p>Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja A/2, o valor de θ é, necessariamente,</p><p>igual a:</p><p>(a) 15° (b) 22,5° (c) 30° (d) 45° (e) 60°</p><p>Solução:</p><p>A área do paralelogramo é A = b x h (base vezes altura). Com a movimentação indicada, a altura muda, mas</p><p>a base permanece igual. Portanto para que a área seja reduzida à metade é preciso que a altura seja também</p><p>reduzida à metade.</p><p>Para saber qual o ângulo que corresponde à metade da altura bastante lembrar do ciclo trigonométrico.</p><p>Resposta: c) 30°</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>http://sci-culture.com/br/matematica/trigonometria/circulo-trigonometrico-animado.html</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>37</p><p>(46) A figura ao lado representa um trapézio isósceles ABCD,</p><p>com AD = BC = 4 cm. M é o ponto médio de AD, e o ângulo</p><p>BMC é reto.</p><p>O perímetro do trapézio ABCD, em cm, é igual a:</p><p>(a) 8 (b) 10 (c) 12 (d) 14 (e) 15</p><p>Solução</p><p>(i) Note que o triângulo CMN é isósceles, logo:</p><p>MN = CN.= 2</p><p>(ii) MN é base média do trapézio, logo:</p><p>MN = CD + AB2 → CD + AB2 = 2 →</p><p>CD + AB = 4</p><p>(iii) Perímetro (P) do trapézio:</p><p>P = CD + AB + AD + BC</p><p>P = 4 + 4 + 4 =></p><p>𝐏 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦 - Resposta: (C)</p><p>(47) (MACKENZIE) Na figura, AB é paralelo a CD. O valor de x é:</p><p>(a) 30°</p><p>(b) 45°</p><p>(c) 50°</p><p>(d) 65°</p><p>(e) 75°</p><p>Solução</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>38</p><p>Prolongando o ângulo DEF de y e EFD de w. Veja que os</p><p>ângulos w e 45° são alternos internos, logo, são congruentes, ou</p><p>seja w = 45°. Além disso, y e 75 são suplementares e ângulos</p><p>suplementares são ângulos cuja soma dá 180, ou seja y +75 = 180 ∴ y = 105°.</p><p>No triângulo DEF, temos: 𝑦 + 𝑤 + 𝑥 = 180° 105° + 45° + 𝑥 = 180° 150° + 𝑥 = 180° 𝑥 = 180° − 150° 𝒙 = 𝟑𝟎°</p><p>Resposta: A</p><p>(48) (AFA) Sejam r e s paralelas. A medida do ângulo α, na figura abaixo é:</p><p>(a) 115°</p><p>(b) 125°</p><p>(c) 135°</p><p>(d) 145°</p><p>(e) 120°</p><p>Solução</p><p>Prolongamos a reta AB. Chamamos o ângulo DEB de w.</p><p>Note que os ângulos z e 40° são alternos internos, logo: z = 40°.</p><p>No triângulo EBD, temos: w + 40° + 50° = 180° → w + 90° = 180° → 𝐰 = 𝟗𝟎°.</p><p>Como os ângulos y e w são suplementares, w + y = 180° =></p><p>90° + y = 180° => y = 90°</p><p>Note que os ângulos “𝛼 − 𝑦" 𝑒 "𝛼" são suplementares. Logo:</p><p>α − y + α = 180° → 2α − 90° = 180° → 2α = 180° + 90° → 2α = 270° → α = 270°2 → 𝜶 = 𝟏𝟑𝟓°</p><p>Resposta: C</p><p>(49) (UF-CE) Um losango possui 24 m² de área e 3 m de distância entre dois lados paralelos. O</p><p>perímetro do losango mede, em metros:</p><p>(a) 16 (b) 20 (c) 24 (d) 28 (e) 32</p><p>Solução</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>39</p><p>A área da figura ao lado é dada por: Base x altura, logo: S = 24 3. x = 24 x = 243 x = 8 m</p><p>Perímetro (P) = 4.x</p><p>P = 4.8</p><p>P = 32 m</p><p>Resposta: E</p><p>(50) (Mackenzie – SP) Um disco de metal, ao ser colocado em um forno, sofre uma dilatação, de modo</p><p>que seu raio aumenta de 1,5%. Das alternativas abaixo, o valor mais próximo do aumento percentual</p><p>da área do disco é:</p><p>(a) 2,5 (b) 1,5 (c) 1 (d) 2 (e) 3</p><p>Solução</p><p>Vamos supor que o raio inicial do disco fosse: 𝑟1 = 1, logo, sua área seria:</p><p>S1 = π. (r1)2 → S1 = π. (1)² → 𝐒𝟏 = 𝟏𝛑</p><p>Como o disco sofreu um aumento de 1,5% no seu raio, temos como raio final:</p><p>𝑟2 = 1 𝑥 1,5100</p><p>→ 𝑟2 = 1,5100 → 𝑟2 = 0,015 → 𝑟2 = 1 + 0,15 → 𝐫𝟐 = 𝟏, 𝟏𝟓</p><p>A nova área do disco será:</p><p>S2 = π(r2)2 → S2 = π(1,15)2 → 𝐒𝟐 = 𝟏, 𝟑𝟐𝟐𝟓𝛑</p><p>Comparando as duas áreas, temos:</p><p>Aumento percentual = 𝟏, 𝟑𝟐𝟐𝟓𝛑 − 𝟏𝛑 →</p><p>Aumento percentual = 0,3225π →</p><p>𝐀𝐮𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐩𝐞𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭𝐮𝐚𝐥 ≅ 𝟑%</p><p>Resposta: E</p><p>(51) (Enem - MEC) Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga, em</p><p>quase 800 mil km² de área. Quando não chove, o homem do sertão e sua família precisam caminhar</p><p>quilômetros em busca da água dos açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais</p><p>interferem na vida do sertanejo.</p><p>Segundo este levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes</p><p>por km2, é de:</p><p>(a) 250 (b) 25 (c) 2,5 (d) 0,25 (e) 0,025</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>40</p><p>Solução</p><p>𝐃𝐞𝐧𝐬𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞 𝐝𝐞𝐦𝐨𝐠𝐫á𝐟𝐢𝐜𝐚 = 𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐡𝐚𝐛𝐢𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞𝐬𝐤𝐦𝟐 →</p><p>D. D. = 20.000.000 hab800.000 km2 →</p><p>D. D. = 2008 →</p><p>DD = 25 hab./km²</p><p>Resposta: B</p><p>(52) (U.E. Londrina-PR) Uma metalúrgica utiliza chapas de aço quadradas</p><p>de 8 m x 8 m para recortar formas circulares de 4 m de diâmetro, como</p><p>mostrado na figura a seguir. A área de chapa que resta após a operação é</p><p>de aproximadamente:</p><p>(Dado: considere: 𝝅 = 3,14).</p><p>(a) 7,45 m² (b) 13,76 m² (c) 26,30 m² (d) 48 m² (e) 56 m²</p><p>Solução</p><p>Devemos ter o seguinte:</p><p>(i) Área do quadrado:</p><p>SQ = L2 → 𝑆𝑄 = 82 → 𝐒𝐐 = 𝟔𝟒 𝐦𝟐</p><p>(ii) Áreas dos 4 círculos:</p><p>SC = 4. 𝜋. 𝑟2 → SC = 4 . 3,14 . 22 → SC = 12,55 . 4 →</p><p>𝐒𝐂 = 𝟓𝟎, 𝟐𝟒 𝐦²</p><p>(iii) A área de chapa que resta após a operação:</p><p>S = SQ − 𝐒𝐂 → S = 64 m2 − 50,24 m2 → 𝐒 = 𝟏𝟑, 𝟕𝟔 𝐦²</p><p>Resposta: B</p><p>(53) (FUVEST – SP) Na figura ao lado, OAB é um setor circular com centro em O, ABCD é um</p><p>retângulo, e o segmento 𝐂𝐃̅̅ ̅̅ é tangente em X ao arco de extremos A e B do setor circular. Se 𝑨𝑩 =𝟐√𝟑 e AD = 1, então a área do setor OAB é igual a:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>41</p><p>(𝐚) 𝛑𝟑 (𝐛) 𝟐𝛑𝟑 (𝐜) 𝟒𝛑𝟑 (𝐝) 𝟓𝛑𝟑 (𝐞) 𝟕𝛑𝟑</p><p>Solução</p><p>(54) (Fuzileiro Naval) Determine a área da região hachurada na figura abaixo, onde AM = MB.</p><p>(a) 200,86 cm²</p><p>(b) 198,00 cm²</p><p>(c) 100,48 cm²</p><p>(d) 50,24 cm²</p><p>(e) 25,12 cm²</p><p>Solução</p><p>Devemos ter o seguinte:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>42</p><p>(1/2) Área(r=8) - 2 x [ (1/2) Área(r=4) ]</p><p>(1/2) (3,14 . 8²) - [ 3,14 . 4² ]</p><p>(1/2) (3,14 . 64) - [ 3,14 . 16 ]</p><p>3,14 . 32 - 3,14 . 16</p><p>3,14 . (32 - 16)</p><p>3,14 . 16</p><p>50,24 cm²</p><p>Resposta: D</p><p>(55) (ESA) Num triângulo a medida dos ângulos internos são diretamente proporcionais aos números</p><p>3, 4 e 2, respectivamente. Então, os ângulos desse triângulo medem, em graus:</p><p>(a) 100, 50 e 30</p><p>(b) 60, 70 e 50</p><p>(c) 60, 80 e 40</p><p>(d) 60, 90 e 30</p><p>(e) 50, 90 e 40</p><p>Solução</p><p>Devemos ter:</p><p>a3 = 𝑏4 = 𝑐2 = 𝑘</p><p>𝑎 = 3𝑘; 𝑏 = 4𝑘; 𝑐 = 2𝑘</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 180° → 3𝑘 + 4𝑘 + 2𝑘 = 180° → 9𝑘 = 180° → 𝑘 = 180°9 → 𝑘 = 20°</p><p>a = 3k → a = 3.20° → 𝐚 = 𝟔𝟎° b = 4k → b = 4.20° → 𝐛 = 𝟖𝟎° c = 2k → c = 2.20° → 𝐜 = 𝟒𝟎°</p><p>Resposta: C</p><p>(56) (ITA) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AC deste triângulo considere um</p><p>ponto D tal que os segmentos AD, BD e BC são todos congruentes entre si. A medida do ângulo BÂC é</p><p>igual a:</p><p>(a) 23°</p><p>(b) 32°</p><p>(c) 36°</p><p>(d) 40°</p><p>(e) 45°</p><p>Solução</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>43</p><p>A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, logo:</p><p>x +2y = 180 (i)</p><p>Sabemos que AD e BD são congruentes, ou seja têm o mesmo tamanho. então</p><p>o triângulo ABD também é isósceles. Sua base é AB e como já foi mencionado</p><p>os ângulos da base são iguais, portanto ABD = x.</p><p>O ângulo BDC é externo ao triângulo ADB. Ângulos externos são iguais à soma</p><p>dos ângulos internos não adjacentes, isto significa que:</p><p>BDC = x +x ∴ BDC = 2x</p><p>BD e BC também são congruentes, logo o triângulo DBC é isósceles. Sua base é</p><p>DC, portanto: y = 2x.</p><p>Lembre-se que o ângulo ABC mede y, enquanto que o ângulo ABD mede x,</p><p>portanto o ângulo DBC mede y -x</p><p>Lembre-se que o ângulo ABC mede y, enquanto que o ângulo ABD mede x, portanto o ângulo DBC mede:</p><p>y – x.</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>44</p><p>A soma dos ângulos do triângulo DBC é:</p><p>2x +2x + y - x = 180</p><p>3x +y = 180</p><p>y = 180 -3x</p><p>Vamos substituir y em (i)</p><p>x +2(180 -3x) = 180</p><p>x = 36° (Resposta: C)</p><p>(57) (OBMEP) A figura mostra dois trechos de 300 km cada um percorridos por um avião. O</p><p>primeiro trecho faz um ângulo de 18° com a direção norte e o segundo de 44°, também com a direção</p><p>norte. Se o avião tivesse percorrido o trecho assinalado em pontilhado, qual seria o angulo desse</p><p>trecho com a direção norte?</p><p>(a) 12°</p><p>(b) 13°</p><p>(c) 14°</p><p>(d) 15°</p><p>(e) 16°</p><p>Solução</p><p>Devemos ter o seguinte:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>45</p><p>w é o ângulo que nós estamos procurando. Prolongamos CD.</p><p>Veja que CD e BE são paralelas cortadas pela transversal AB. Logo, x e 44° são</p><p>correspondentes, então: x = 44°.</p><p>Os ângulos AFD e CFB são opostos pelo vértice,</p><p>e ângulos opostos pelo vértice também</p><p>são congruentes, assim CFB = 44°.</p><p>Vamos chamar o ângulo FBC de y.</p><p>A soma dos ângulos do triângulo CFB é:</p><p>18 +44 +y = 180</p><p>y = 118°</p><p>Agora voltemos a nossa atenção para o triângulo ABC. Segundo a questão que CB = BA = 300 km.</p><p>Se um triângulo tem 2 lados iguais ele é</p><p>isósceles e nós sabemos que os ângulos da</p><p>base de um triângulo isósceles são iguais,</p><p>isto significa que se BAC mede θ, ACB</p><p>também mede θ. Assim sendo:</p><p>θ + θ +118 = 180</p><p>2 θ = 180° - 118°</p><p>2 θ = 62°</p><p>θ = 31°</p><p>Se ACB mede 31°, então:</p><p>ACB é w +18</p><p>w +18 = 31</p><p>w = 13°</p><p>Resposta: B</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>46</p><p>(58) Observe a figura abaixo, nela temos AB = BE, AC = CD e BÂC = 100°. O valor, em graus, do</p><p>ângulo DÂE é igual a:</p><p>(a) 20°</p><p>(b) 30°</p><p>(c) 40°</p><p>(d) 50°</p><p>(e) 60°</p><p>Solução</p><p>Comecemos nomeando alguns ângulos ⇨ BÂD = a; DÂE = b;</p><p>EÂC = c; ABD = x; ACE = z.</p><p>Sabemos que:</p><p>a + b + c = 100° (i)</p><p>Vamos isolar o triângulo ABE. Sabemos que AB = BE. Logo, o triângulo ABE é isósceles e os ângulos da</p><p>base de um triângulo isósceles são iguais, isto quer dizer que, se BÂE mede θ, AÊB também mede θ.</p><p>No triângulo ABE, temos:</p><p>2θ + x = 180° (iii)</p><p>Note que: θ = a + b ou:</p><p>a = θ – b (iv)</p><p>Agora vamos isolar o triângulo ACD:</p><p>Veja que AC = CD. ACD também é um triângulo isósceles, triângulos</p><p>isósceles têm 2 ângulos iguais, os ângulos da base, portanto se CÂD mede</p><p>α, A�̂�C também mede α.</p><p>Temos, então, no triângulo ACD:</p><p>2α +z = 180° (v)</p><p>Sabemos que:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>47</p><p>α = b + c</p><p>c = α – b (v)</p><p>Do triângulo maior ABC, temos:</p><p>x + z + a + b + c = 180°</p><p>x + z + 100° = 180°</p><p>x + z = 80° (ii)</p><p>Além do mais, de acordo com o enunciado:</p><p>BÂC = 100°.</p><p>a +b +c = 100°</p><p>Resumindo tudo o que já vimos, temos:</p><p>Vamos substituir “a” e “c”, eq4 e eq6, em eq1</p><p>a + b + c = 100°</p><p>(θ - b)</p><p>+ b + (α - b) = 100°</p><p>θ + α - b = 100° (eq7)</p><p>Agora vamos somar eq3 + eq5</p><p>2θ + x = 180°</p><p>+2α + z = 180°</p><p>--------------------</p><p>2θ +2α + x + z = 360°</p><p>Da eq2 nós sabemos que x + z = 80°, logo:</p><p>2θ +2α + x + z = 360°</p><p>2θ +2α +80° = 360°</p><p>2θ +2α = 280°</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>48</p><p>2(θ +α) = 280°</p><p>θ +α = 140°</p><p>E finalmente substituindo θ + α em eq7</p><p>θ + α - b = 100°</p><p>140 - b = 100°</p><p>b = 40°</p><p>Resposta: C</p><p>(59) (VUNESP) Para fundamentar a elaboração de um projeto, um terreno, de formato e dimensões,</p><p>em metros, mostrados na figura, foi dividido em três regiões retangulares e uma região com a forma</p><p>de um triângulo retângulo, indicadas, respectivamente, por R e por T na figura.</p><p>A área total desse terreno é igual a:</p><p>(a) 300 m2</p><p>(b) 360 m2</p><p>(c) 380 m2</p><p>(d) 400 m2 .</p><p>(e) 460 m2 .</p><p>Solução</p><p>Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo</p><p>retângulo (IV), temos:</p><p>(17)2 = 82 + x2 →</p><p>289 = 64 + 𝑥2 →</p><p>𝑥2 = 289 − 64 →</p><p>𝑥2 = 225</p><p>𝑥 = √225 →</p><p>𝐱 = 𝟏𝟓</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>49</p><p>Área I:</p><p>S1 = 15.8 → 𝐒𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 𝐦²</p><p>Área II:</p><p>S2 = 15.4 → 𝐒𝟐 =60 m²</p><p>Área III:</p><p>𝐒𝟑 = 𝐒𝟐 = 𝟔𝟎 𝐦²</p><p>Área IV: S4 = 15.82 → S4 = 1202 → 𝐒𝟒 = 𝟔𝟎 𝐦²</p><p>Área do Terreno S = S1 + S2 + S3 + S4</p><p>S = 120 + 60 + 60 + 60</p><p>𝐒 = 𝟑𝟎𝟎 𝐦²</p><p>Resposta: A</p><p>(60) (VUNESP0 Considere as placas retangulares P e Q, mostradas nas figuras, cujas dimensões</p><p>indicadas estão em centímetros. Sabe-se que a razão entre as medidas de comprimento das placas P e</p><p>Q é igual à razão entre as medidas das respectivas larguras.</p><p>Sabendo-se que o perímetro da placa</p><p>Q é 420 cm, conclui-se que a área da</p><p>placa Q é igual a:</p><p>(a) 200 cm2</p><p>(b) 8800 cm2</p><p>(c) 9600 cm2</p><p>(d) 10200 cm2</p><p>(e) 10800 cm2</p><p>Solução</p><p>De acordo com o enunciado da questão: x80 = y60 → x8 = y6 → x = 8y6 → 𝐱 = 𝟒𝐲𝟑 (𝒊)</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>50</p><p>O perímetro da placa Q é 420 cm, logo: 2x + 2y = 420 ∶ (2) → 𝑥 + 𝑦 = 210 → 𝐱 = 𝟐𝟏𝟎 − 𝐲 (𝐢𝐢)</p><p>Igualando as equações (i) e (ii), temos: 4y3 = 210 − y → 4𝑦 = 630 − 3𝑦 → 4𝑦 + 3𝑦 = 630 → 7𝑦 = 630 → 𝑦 = 6307 → 𝐲 = 𝟗𝟎 𝐜𝐦 x = 210 − y (ii) → x = 210 − 90 → 𝐱 = 𝟏𝟐𝟎 𝐜𝐦</p><p>Área da placa Q:</p><p>S = x. y → S = 120.90 → 𝐒 = 𝟏𝟎𝟖𝟎𝟎 cm²</p><p>Resposta: C</p><p>(61) Na figura, a área do quadrado é 16 cm² e a área de cada quadradinho cinza é 1 cm². Qual é a</p><p>área, em cm², da flor central?</p><p>(a) 3 (b) 7/2 (c) 4 (d) 11/2 (e) 6</p><p>Solução</p><p>- Sabe-se que a área do quadrado = 16 cm²</p><p>- O quadrado tem todos os seus lados iguais</p><p>- A área do quadrado é calculado por = lado x lado, então:</p><p>L.L = 16 -> L² = 16 -> L = 4cm</p><p>Sendo assim, sabemos que cada lado do quadrado tem 4 cm</p><p>- cada quadrado cinza tem área de 1cm², então: L.L = 1 -> L² = 1 -> Lcinza = 1cm</p><p>- A área do triângulo é calculada por Base x Altura /2</p><p>A base do triângulo é igual a 2 cm, pois temos: 4 (lado maior do quadrado) -1 -1 (dois lados do quadrado</p><p>cinza) = 2 cm (o tamanho da base do triângulo em branco)</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>51</p><p>A altura = 2cm, pois a altura do triângulo coincide com a metade do lado do quadrado, então 4/2 = 2cm</p><p>Temos 4 triângulos brancos:</p><p>A área da flor é dada por: Área do quadrado grande - Área total dos quadrados pequenos - Área dos</p><p>triângulos = 16 - 4 - 8 = 4cm ²</p><p>(62) (ENEM) Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma</p><p>medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um</p><p>formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi</p><p>comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas,</p><p>para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo comprimento</p><p>seja 7 m maior do que a largura.</p><p>Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas,</p><p>em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a:</p><p>(a) 7,5 e 14,5 (b) 9,0 e 16,0 (c) 9,3 e 16,3 (d) 10,0 e 17,0 (e) 13,5 e 20,5.</p><p>Solução</p><p>Primeiramente, dividimos a figura B em dois triângulos B1 e B2, um com altura de 21 m e base de 3 m e</p><p>outro com altura e base medindo 15 m.</p><p>Assim, temos que área da figura A = área da figura B = B1 + B2</p><p>x(x + 7) = 15.15 / 2 + 21.3/2 = 144</p><p>Fatorando 144, temos que:</p><p>x(x + 7) = 9.16</p><p>x(x + 7) = 9(9 + 7)</p><p>Assim, as medidas do retângulo são 9 m e 16 m.</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>52</p><p>(63) Uma família possui um terreno retangular com 18 metros de largura e 24 metros de</p><p>comprimento. Foi necessário demarcar nesse terreno dois outros iguais, na forma de triângulos</p><p>isósceles, sendo que um deles será para o filho e o outro para os pais. Além disso, foi demarcada uma</p><p>área de passeio entre os dois novos terrenos para o livre acesso das pessoas.</p><p>Os terrenos e a área de passeio são representados na figura</p><p>A área de passeio calculada pela família, em metro quadrado, é de</p><p>(a) 108 (b) 216 (c) 270 (d) 288 324</p><p>Solução</p><p>Primeiro, calculamos a área do terreno retangular.</p><p>Ar = 24×18</p><p>Ar = 432 m²</p><p>Como os triângulos formados são isósceles, eles possuem dois lados iguais. No caso, esses lados iguais</p><p>correspondem à largura do retângulo (18 m).</p><p>Assim, a área de cada triângulo é:</p><p>At = b×h/2</p><p>At = 18×18/2</p><p>At = 162 m²</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>53</p><p>A área do passeio é a diferença entre a área do quadrado e a área desses dois triângulos. Logo:</p><p>Ap = Ar - 2(At)</p><p>Ap = 432 - 2.162</p><p>Ap = 432 - 324</p><p>Ap = 108 m²</p><p>Resposta: A</p><p>(64) Na figura, o quadrado tem área 36 e a soma das áreas das regiões cinzentas é igual a 27. As letras</p><p>p, q, r, s indicam as medidas dos segmentos sobre os lados do quadrdo. Qual é o valor de p + q + r + s?</p><p>(a) 4 (b) 6 (c) 8 (d) 9 (e) 10</p><p>Solução</p><p>S1 + S2 + S3 + S4 = 27</p><p>s. 62 + r. 62 + q. 62 + p. 62 = 27 => s. 3 + r. 3 + q. 3 + p. 3 = 27</p><p>3(s + r + q + p) = 27 ÷ 3</p><p>𝐬 + 𝐫 + 𝐪 + 𝐩 = 𝟗</p><p>Resposta: D</p><p>(65) (FATEC) Uma artesã borda, com lã, tapetes com desenhos baseados em figuras geométricas. Ela</p><p>desenvolve um padrão retangular de 20 cm por 40 cm. No padrão, serão bordados dois triângulos</p><p>pretos e quatro triângulos na cor cinza e o restante será bordado com lã branca, conforme a figura.</p><p>Cada triângulo preto é retângulo e isósceles com</p><p>hipotenusa 12√2 cm. Cada triângulo cinza é semelhante</p><p>a um triângulo preto e possui dois lados de medida 10</p><p>cm. Assim posto, a área no padrão bordada em branco</p><p>é, em cm²:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>https://4.bp.blogspot.com/-xPA8-jDBriU/XBmsiGZ7PSI/AAAAAAACR8g/7yHvV5T7IZYbjxpfAXOzFW8mCws5TfMbACLcBGAs/s1600/20cm40cm.jpg</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>54</p><p>(a) 344</p><p>(b) 456</p><p>(c) 582</p><p>(d) 628</p><p>(e) 780</p><p>Solução</p><p>x2 + x2 = (12√2)2</p><p>2𝑥2 = 144.2</p><p>𝑥2 = 144</p><p>𝐱 = 𝟏𝟐</p><p>Área total = Área branca + Área cinza + Área preta</p><p>20.40 = Abranca + 4. 10.102 + 2. (12.12)2</p><p>800 = Abranca + 200 + 144</p><p>Abranca = 800 − 344</p><p>𝐀𝐛𝐫𝐚𝐧𝐜𝐚 = 𝟒𝟓𝟔 𝐜𝐦² (Rsposta: B)</p><p>(66) (Enem) Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel</p><p>transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30° com a borda inferior. O</p><p>raio da base do cilindro mede 6/π cm, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice,</p><p>como na figura.</p><p>O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>55</p><p>a) 36√3</p><p>b) 24√3</p><p>c) 4√3</p><p>d) 36</p><p>e) 72</p><p>Solução</p><p>Segundo a questão o raio da base é 6/π, então o comprimento da base é:</p><p>C = 2πr → C = 2π. 6π → C = 12 cm (Comprimento da base do cilindro)</p><p>Se nós quisermos revestir a lateral com papel, vamos precisa ter 12 cm de comprimento e altura h</p><p>Como o papel transparente deu 6 voltas, o comprimento total do papel é:</p><p>C = 6 x 12 = 72 cm</p><p>tg 30° = h72 → √33 = h72 → 𝐡 = 𝟐𝟒√𝟑 𝐜𝐦</p><p>Resposta: B</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>56</p><p>(67) (ITA) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AC deste triângulo considere um</p><p>ponto D tal que os segmentos AD, BD e BC são todos congruentes entre si. A medida do ângulo BAC é</p><p>igual a:</p><p>(a) 23° (b) 32° (c) 36° (d) 40° (e) 45°</p><p>Solução</p><p>(i) O triângulo ABC é isósceles. Logo, os seus ângulos da base</p><p>são iguais:</p><p>�̂� = �̂�</p><p>(ii) O triângulo ABD é isósceles, logo, os ângulos: �̂� e 𝐴�̂�𝐷 têm</p><p>mesma medida = x. Note que o ângulo �̂� é um ângulo externo do</p><p>triângulo ABD, logo:</p><p>D̂ = x + x → �̂� = 𝟐𝐱</p><p>(iii) O triângulo BCD é isósceles, logo, os ângulos �̂� 𝑒 �̂� têm a</p><p>mesma medida igual a 2x.</p><p>(iv) Como o triângulo ABC é isósceles, os ângulos �̂� 𝑒 �̂� têm a</p><p>mesma medida igual a 2x.</p><p>(v) No triângulo BCD, temos:</p><p>x + 2x + 2x = 180°</p><p>5x = 180° x = 180°5</p><p>x = 36°</p><p>Resposta: C</p><p>(68) (UFB) Na figura AB = BC = CD = DE e BÂC = 15°; então assinale a medida do ângulo CDE.</p><p>(a) 70°</p><p>(b) 75°</p><p>(c) 80°</p><p>(d) 85°</p><p>(e) 90°</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>57</p><p>Solução</p><p>(i) O triângulo ABC é isósceles e AB = BC, logo:</p><p>Â = AĈB = 15°</p><p>(ii) B̂ é um ângulo externo do triângulo ABC, logo:</p><p>B̂ = 15° + 15° → �̂� = 30° ∴ 𝐁�̂�𝑪 = 30°</p><p>(iii) No triângulo ACD, o ângulo 𝐷Ĉ𝐸 é um ângulo externo, logo:</p><p>𝐷ĈE = 15° + 30° → DĈE = 45°</p><p>(iv) No triângulo isósceles CDE, os ângulos Ĉ e Ê = 45°. Assim,</p><p>O ângulo CD̂E vale: 45°+ 45° + CD̂E = 180°</p><p>𝐂�̂�𝐄 = 𝟗𝟎° (Resposta: E)</p><p>(69) Na figura, ABC e CDE são triângulos retângulos. AB = 1, BC = √𝟑 e BE = 2DE. Logo, a medida</p><p>de 𝑨𝑬̅̅ ̅̅ é:</p><p>(𝐚) √𝟑𝟐 (𝐛) √𝟓𝟐 (𝐜) √𝟕𝟐 (𝐝) √𝟏𝟏𝟐 (𝐞) √𝟏𝟑𝟐</p><p>Solução</p><p>(i) No triângulo retângulo CBA, temos:</p><p>(CA)2 = 12 + (√3)2 → (CA)2 = 1 + 3 → (CA)2 = 4 → 𝐂𝐀 = 𝟐</p><p>(ii) No triângulo retângulo ABE, temos:</p><p>x2 = 12 + (2𝑎)2 (𝑖)</p><p>(iii) Os triângulos CDE e CBA são semelhantes. Logo:</p><p>CECA = DEAB → √3 − 2a2 = a1 → √3 − 2a = 2a → 2a + 2a = √3</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>58</p><p>4a = √3 → 𝐚 = √𝟑𝟒 (𝒊𝒊)</p><p>Substituindo (ii) em (i), temos:</p><p>x2 = 12 + (2a)2 → x2 = 1 + (2. √34 )2 → x2 = 1 + (√32 )2 → x2 = 1 + 34 → x2 = 74 → x = √74</p><p>𝐱 = √𝟕𝟐</p><p>Resposta: C</p><p>(70) (UFGO) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é:</p><p>(a) 100°</p><p>(b) 120°</p><p>(c) 110°</p><p>(d) 140°</p><p>(e) 130°</p><p>Solução</p><p>Vamos isolar as retas r, s e t:</p><p>6x e 120° são correspondentes, e ângulos correspondentes são congruentes, têm a mesma medida, ou seja:</p><p>6x = 120°</p><p>x = 20°</p><p>Assim sendo 4x = 80°.</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>59</p><p>Agora vamos isolar as retas r, s e u:</p><p>Novamente duas paralelas cortadas por uma transversal.</p><p>80 e b são suplementares.</p><p>Ângulos suplementares, são ângulos cuja soma dá 180, ou seja 80 +b = 180 ∴ b = 100°.</p><p>Resposta: A</p><p>(71) (UFMG) Observe a figura. Nela, AB = AC, BD é bissetriz de A�̂�C, CE é bissetriz de B�̂�D e a</p><p>medida do ângulo A�̂�F é 140°. A medida do ângulo D�̂�C, em graus, é:</p><p>(a) 20</p><p>(b) 30</p><p>(c) 40</p><p>(d) 50</p><p>(e) 60</p><p>Solução</p><p>Como AB = AC, o triângulo ABC é isósceles, logo os ângulos da base B e C têm medidas iguais:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>60</p><p>Â + B̂ + Ĉ = 180°</p><p>Â + B̂ + B̂ = 180°</p><p>Â + 2. B̂ = 180°</p><p>�̂� = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟐. �̂� (𝐢)</p><p>Note que o ângulo ACF = 140° é um ângulo externo do triângulo</p><p>ABC. Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos</p><p>ângulos internos não adjacentes, isto significa que:</p><p>Â + B̂ = 140°</p><p>�̂� = 𝟏𝟒𝟎° − 𝐁 (𝐢𝐢)</p><p>Fazendo (i) = (ii), temos:</p><p>180° − 2. B̂ = 140° − B̂</p><p>−B̂ + 2B̂ = 180° − 140°</p><p>�̂� = �̂� = 𝟒𝟎°</p><p>Sabemos que BD é bissetriz de A�̂�C. Uma bissetriz é uma reta que passa pelo vértice de um ângulo e o</p><p>divide em 2 ângulos exatamente iguais. Então BD divide o ângulo de 40° em 2 de 20°. De igual modo, CE é</p><p>bissetriz de A�̂�B, então nós temos outros 2 ângulos de 20°</p><p>Observe o triângulo BEC. Nele temos:</p><p>20° + 20° + Ê = 180°</p><p>40° + Ê = 180°</p><p>Ê = 180° − 40°</p><p>�̂� = 𝟏𝟒𝟎°</p><p>Queremos saber o valor do ângulo DÊC (amarelo).</p><p>Logo:</p><p>Ê + DÊC = 180°</p><p>DÊC = 180° - 140°</p><p>D�̂�C = 40°</p><p>Resposta: C</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>61</p><p>(72) (ENEM) As Artes Marciais Mistas, tradução do inglês: MMA - mixed martial arts, são realizadas</p><p>num octógono regular. De acordo com a figura, em certo momento os dois lutadores estão</p><p>respectivamente nas posições G e F, e o juiz está na posição I. O triângulo IGH é equilátero e GIF é o</p><p>ângulo formado pelas semirretas com origem na posição do juiz, respectivamente passando pelas</p><p>posições de cada um dos lutadores.</p><p>A medida do ângulo GIF é:</p><p>(a) 120° (b) 75° (c) 67,5° (d) 60° (e) 52,5°</p><p>Solução</p><p>(i) O octógono possui 8 lados iguais e 8 ângulos</p><p>iguais.</p><p>(ii) O ângulo G é um ângulo interno do cotógono.</p><p>ai = (n − 2)180°𝑛 →</p><p>ai = (8 − 2). 180°8 → ai = 6.90°4 →</p><p>ai = 6.45°2 → ai = 3.45° → 𝐚𝐢 = 𝟏𝟑𝟓°</p><p>(iii) Note que o ângulo FGI vale G – 60°, logo:</p><p>G – 60° => 135° - 60° => 75°</p><p>(iv) Como o triângulo FGI é isósceles, temos:</p><p>2𝛼 + 𝛼 + 75° = 180°</p><p>2𝛼 = 180° − 75</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>62</p><p>2𝛼 = 105°</p><p>α = 105°2</p><p>𝛂 = 𝟓𝟐, 𝟓°</p><p>Resposta: E</p><p>(73) (ACAFE) A praça de uma cidade tem a forma de um triângulo retângulo ABC e está sendo</p><p>reformada. A região triangular foi dividida em duas partes, conforme a figura abaixo. A região</p><p>formada pelo triângulo CDE será destinada aos jardins e a região formada pelo quadrilátero ABED</p><p>será usada para passeios e eventos.</p><p>Sabendo-se que as dimensões são AB = 2 km, AC = 2√3 km e AD = 4DE, a razão entre a área</p><p>destinada aos passeios e eventos e a área dos jardins é igual a:</p><p>(a) 11/6 (b) 11/2 (c)11/4 (d) 11 (e) 15</p><p>Solução</p><p>(i) No triângulo ABC, pelo Teorema de Pitágoras,</p><p>temos:</p><p>a2 = (2√3)2 + 22 → a2 = 12 + 4 → 𝐚 = 𝟒</p><p>Ainda no triângulo ABC, temoss:</p><p>sen x = 2a → sen x = 24 → 𝐬𝐞𝐧 𝐱 = 𝟏𝟐 (𝒊)</p><p>Segundo o enunciado da questão: AD = 4DE. Logo, CD = 2√3 − 4y.</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>63</p><p>Segundo o enunciado da questão: AD = 4DE. Logo,</p><p>CD = 2√3 − 4y.</p><p>No triângulo CDE, temos:</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑦2√3 − 4𝑦 (𝑖𝑖)</p><p>Substituindo (i) em (ii), temos:</p><p>12 = 𝑦2√3 − 4𝑦 → 2𝑦 = 2√3 − 4𝑦</p><p>2y + 4y = 2√3 → 6y = 2√3 → y = 2√36 → 𝐲 = √𝟑𝟑</p><p>O lado CD do triângulo CDE vale:</p><p>CD = 2√3 − 4y → CD = 2√3 − 4. √33 → CD = 6√3 − 4√33 → 𝐂𝐃 = 𝟐√𝟑𝟑</p><p>CD é a hipotenusa do triângulo CDE, e</p><p>DE e EC são os catetos, então aplicando o</p><p>Teorema Pitágoras, temos:</p><p>(𝐶𝐸)2 + (√33 )2 = (2√33 )2</p><p>(𝐶𝐸)2 + 39 = 129</p><p>(CE)2 = 129 − 39 → (CE)2 = 99 → (CE)2 = 1 → CE = √1 → 𝐂𝐄 = 𝟏</p><p>A área de um triângulo retângulo é o produto dos catetos</p><p>dividido por 2, portanto a área do triângulo CDE é:</p><p>SCDE = 1. √332 → 𝐒𝐂𝐃𝐄 = √𝟑𝟔</p><p>A área do triângulo ABC é:</p><p>SCAB = 2.2√32 → 𝐒𝐂𝐀𝐁 = 𝟐√𝟑</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>64</p><p>A área do quadrilátero ADEB é a área de ABC - a área do triângulo CDE:</p><p>SADEB = SABC − SCDE → SADEB = 2√3 − √36 → SADEB = 12√3 − √36 → 𝐒𝐀𝐃𝐄𝐁 = 𝟏𝟏√𝟑𝟔</p><p>A questão pede a razão entre a área destinada aos passeios e eventos (ABED) e a área dos jardins (CDE):</p><p>SADEBSCDE = 11√36√36 →</p><p>𝐒𝐀𝐃𝐄𝐁𝐒𝐂𝐃𝐄 = 𝟏𝟏</p><p>Resposta: D</p><p>(74) (EEAR) Seja um triângulo ABC, conforme a figura. Se D e E são pontos, respectivamente de AB</p><p>e AC, de forma que AD = 4, DB = 8, DE = x, BC = y, e se DE//BC, então</p><p>(a) y = 3x -8</p><p>(b) y = x +8</p><p>(c) y = x +4</p><p>(d) y = 3x</p><p>(e) y = 2x</p><p>Solução</p><p>Note que os triângulos ADE e ABC são semelhantes. Logo:</p><p>4x = 12𝑦 →</p><p>4𝑦 = 12𝑥 ∶ (4) →</p><p>𝐲 = 𝟑𝐱</p><p>Resposta: D</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>65</p><p>(75) (EEAR) Com um fio de arame, deseja-se cercar dois jardins: um circular, de raio 3 m, e o outro</p><p>triangular, cujo perímetro é igual ao comprimento da circunferência do primeiro. Considerando π =</p><p>3, 14 para cercar totalmente esses jardins, arredondando para inteiros, serão necessários metros de</p><p>arame.</p><p>(a) 29</p><p>(b) 30</p><p>(c) 35</p><p>(d) 38</p><p>Solução</p><p>Comprimento da ircunferência:</p><p>C = 2πr → C = 2.3,14.3 → 𝐂 = 𝟏𝟖. 𝟖𝟒</p><p>Como o comprimento da circunferência é igual ao perímetro do</p><p>triângulo, o total de arame é:</p><p>Total = 2 x 18,84 =></p><p>Total = 37,68</p><p>Logo, o total é igual a 38 metros.</p><p>Resposta: D</p><p>(76) (PUCCAMP) A figura a seguir é um corte vertical de uma peça usada em um certo tipo de</p><p>máquina. No corte aparecem dois círculos, com raios de 3 cm e 4 cm, um suporte vertical e um apoio</p><p>horizontal.</p><p>A partir das informações dadas na figura, conclui-se que a altura do suporte é:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>66</p><p>a) 7 cm</p><p>b) 11 cm</p><p>c) 12 cm</p><p>d) 14 cm</p><p>e) 16 cm</p><p>Solução</p><p>Devemos ter o seguinte:</p><p>sen 30° = BC24 → 12 = 𝐵𝐶24 → 𝐁𝐂 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦</p><p>Note que: 4 destes 12 cm são o raio da circunferência grande,</p><p>eles não pertencem ao suporte. Assim sendo, a altura do suporte é:</p><p>8 cm + 3 cm = 11 cm</p><p>Resposta: B</p><p>(77) (PUC) Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma praia e, num</p><p>dado instante, veem sob respectivos ângulos de 30º e 45º, um pássaro (P) voando, conforme é</p><p>representado na planificação abaixo.</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>67</p><p>Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele</p><p>instante, a distância entre A e G era de 240 m, então a quantos metros de altura o pássaro distava da</p><p>superfície da praia?</p><p>(a) 60(√3 +1)</p><p>(b) 120(√3 -1)</p><p>(c) 120(√3 +1)</p><p>(d) 180(√3 -1)</p><p>(e) 180(√3 +1)</p><p>Solução</p><p>No triângulo PAB, temos:</p><p>tg 30° = hd → √33 = hd → d = 3h√3 . √3√3 → d = 3h√33 → 𝐝 = 𝐡√𝟑(i)</p><p>A tangente de 45° no triângulo PBG é:</p><p>tg 45° = h240 − d → 1 = h240 − d → h = 240 − d → 𝐝 = 𝟐𝟒𝟎 − 𝐡 (𝐢𝐢)</p><p>Fazendo: (i) = (ii), temos:</p><p>h√3 = 240 − h → h√3 + h = 240 → h(√3 + 1) = 240 → h = 240√3 + 1 . (√3 − 1)(√3 − 1) → ℎ = 240(√3 − 1)3 − 1</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>68</p><p>h = 240(√3 − 1)2 → 𝐡 = 𝟏𝟐𝟎(√𝟑 − 𝟏)</p><p>Resposta: B</p><p>(78) (UERJ) Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distância entre seus centros A</p><p>e B igual a 11 cm, como mostra o esquema.</p><p>Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas no mesmo tempo em que a maior dá 375 voltas, e que</p><p>os comprimentos dos dentes de ambas têm valores desprezíveis.</p><p>A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale a:</p><p>(a) 2, 5</p><p>(b) 3, 0</p><p>(c) 3, 5</p><p>(d) 4, 0</p><p>(e) 4, 5</p><p>Solução</p><p>Observando a figura, temos:</p><p>R + r = 11 =></p><p>R = 11 – r (i)</p><p>O comprimento da circunferência (equivale a 1 volta) é dado por: C = 2πr. Logo:</p><p>1000 r = 375 R (ii)</p><p>Substituindo (i) em (ii), temos:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>69</p><p>1000r = 375(11 − r) → 1000r = 4125 − 375r → 1000r + 375r = 4125 → 1375r = 4125 → r= 41251375</p><p>𝐫 = 𝟑</p><p>(Resposta: B).</p><p>(79) (UNEMAT) Um topógrafo deseja medir a distância entre dois pontos (𝐴 e 𝐶), situados em</p><p>margens opostas de um rio. Para isso, ele escolheu um ponto 𝐵, à 80 𝑚 do ponto 𝐶, com o qual ele</p><p>obteve os ângulos 𝛼 = 60° e 𝛽 = 30°, indicados na figura abaixo.</p><p>De acordo com a figura, assinale a alternativa que corresponde à distância (em metros) do ponto 𝐴 ao</p><p>ponto 𝐶, considerando √3 = 1, 73.</p><p>(a) 34, 60 m</p><p>(b) 40 m</p><p>(c) 46, 13 m</p><p>(d) 69, 20 m</p><p>(e) 138, 40 m</p><p>Solução</p><p>Devemos ter o seguinte:</p><p>A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°,</p><p>logo:</p><p>x + 60° + 30° = 180°</p><p>x + 90° = 180°</p><p>x = 180° − 90°</p><p>𝐱 = 𝟗𝟎°</p><p>O triângulo ABC é retângulo e o lado BC = 80 m é a hipotenusa. Logo:</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>70</p><p>sen 60° = AC80 → √32 = AC80 → AC = 40√3 → AC = 40.1,73 → 𝐀𝐂 = 𝟔𝟗, 𝟐𝟎 𝐦</p><p>Resposta: D</p><p>(80) (EPCAR) Um terreno com formato de um triângulo retângulo será dividido em dois lotes por</p><p>uma cerca feita na mediatriz da hipotenusa, conforme mostra figura.</p><p>Sabe-se que os lados AB e BC desse terreno medem, respectivamente, 80 m e 100 m. Assim, a razão</p><p>entre o perímetro do lote I e o perímetro do lote II, nessa ordem, é:</p><p>(a) 5/3</p><p>(b) 10/11</p><p>(c) 3/5</p><p>(d) 11/10</p><p>(e) 6/16</p><p>Solução</p><p>Devemos ter o seguinte:</p><p>Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC,</p><p>temos:</p><p>(100)2 = (80)2 + x2 10000 − 6400 = x2</p><p>x2 = 3600 x = √3600 → 𝐱 = 𝟔𝟎 𝐦</p><p>Ainda no triângulo retângulo ABC, temos:</p><p>sen b = x100 → sen b = 60100 → sen b = 610 → 𝐬𝐞𝐧 𝐛 = 𝟑𝟓</p><p>Baixado por Oscar Felipe (oscarfemelo@gmail.com)</p><p>lOMoARcPSD|39980494</p><p>Geometria Plana</p><p>Celso do Rozário Brasil</p><p>---------------------</p><p>71</p><p>cos b = 80100 → cos b = 810 → 𝐜𝐨𝐬 𝐛 = 𝟒𝟓</p><p>De acordo com o enunciado da questão, devemos ter o seguinte:</p><p>Novamente, o cosseno de x, no triângulo PMB, é:</p><p>cos b = 50PB → 45 = 50PB → PB = 2504 → 𝐏𝐁 = 𝟔𝟐, 𝟓</p><p>Note que AP = 80 – PB</p><p>AP = 80 – 62,5</p><p>AP = 17,5 m</p><p>Agora vamos aplicar o seno de b no triângulo PMB:</p><p>sen b = PM62,5 → 35 = PM62,5 → PM = 187,55 →</p><p>𝐏𝐌 = 𝟑𝟕, 𝟓 𝐦</p><p>Agora podemos calcular o perímetro dos lotes I e II que é</p><p>simplesmente a soma dos seus lados.</p><p>Perímetro do lote I (APMC)</p><p>P1 = 50 + 60 + 17,5 + 37,5</p><p>P1 = 165 m</p><p>Perímetro do lote 2 (PMB)</p><p>P2 = 37,5 +62,5 +50</p><p>P2 = 150 m</p><p>Finalmente, a razão entre</p>