Geometria: Triângulos e Proporções

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<p>1</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Ensino Médio</p><p>Prof.ª Valéria Espíndola Lessa</p><p>GEOMETRIA PLANA – Triângulos</p><p>1. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS</p><p>Um triângulo é congruente a outro se há uma correspondência entre seus</p><p>lados e ângulos de forma ordenada.</p><p>Fonte das imagens: https://www.professores.uff.br/dirceuesu/wp-content/uploads/sites/38/2017/07/GBaula2.pdf</p><p>CASOS DE CONGRUÊNCIA</p><p>Existem condições mínimas para que dois triângulos sejam congruentes.</p><p>São o que chamamos de casos de congruência.</p><p>1º caso: LAL (lado, ângulo, lado)</p><p>https://www.professores.uff.br/dirceuesu/wp-content/uploads/sites/38/2017/07/GBaula2.pdf</p><p>2</p><p>2º caso: LLL (lado, lado, lado)</p><p>3º caso: ALA (ângulo, lado, ângulo)</p><p>4º caso: LAA (Lado, ângulo adjacente e ângulo oposto)</p><p>3</p><p>5º caso (caso especial): Um cateto e a hipotenusa congruente no triângulo</p><p>retângulo</p><p>Exemplo 1: Considere os triângulos abaixo. Verifique os congruentes e indique o</p><p>caso de congruência.</p><p>4</p><p>Exemplo 2: Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEC. Determine</p><p>o valor de 𝛼 𝑒 𝛽.</p><p>5</p><p>Exemplo 3: Considere o triângulo isósceles ABC da figura. Sejam os segmento BD</p><p>e CE sobre a base BC congruentes entre si. Prove que o triângulo ADE é isósceles</p><p>2. SEGMENTOS PROPORCIONAIS</p><p>Conceitos iniciais:</p><p>• Feixe de retas paralelas:</p><p>conjunto de retas paralelas</p><p>coplanares</p><p>• Reta transversal: reta do plano</p><p>do feixe que concorre com todas</p><p>as retas do feixe.</p><p>• Pontos correspondentes: são</p><p>pontos das transversais que</p><p>estão na mesma reta do feixe.</p><p>• Segmentos correspondentes:</p><p>são segmentos cujas</p><p>extremidades são os respectivos</p><p>pontos correspondentes.</p><p>6</p><p>Exemplo 4: Nas figuras a seguir, as retas r, s e t são paralelas. Determine os</p><p>valores de x e y.</p><p>a) b)</p><p>TEOREMA DE TALES</p><p>Se duas retas são transversais a um feixe de retas paralelas, então a</p><p>razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual a razão entre os</p><p>respectivos segmentos correspondentes da outra.</p><p>7</p><p>Exemplo 5: Na figura, os segmentos de reta 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ são paralelos. Calcule o</p><p>valor de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .</p><p>𝒙</p><p>𝒄</p><p>=</p><p>𝒚</p><p>𝒃</p><p>TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA</p><p>Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos</p><p>proporcionais aos lados adjacentes.</p><p>8</p><p>𝒙</p><p>𝒄</p><p>=</p><p>𝒚</p><p>𝒃</p><p>Exemplo 6: Se 𝐴𝑆̅̅̅̅ é bissetriz de �̂�, calcule x nos casos:</p><p>a) b) c)</p><p>TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA</p><p>Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta</p><p>que contém o lado oposto, então ela divide este lado oposto externamente</p><p>em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.</p><p>9</p><p>Exemplo 7: Se AP é bissetriz do ângulo externo em A, determine x:</p><p>a) b)</p><p>3. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS</p><p>Definição: Dois triângulos são semelhantes se os três ângulos são</p><p>ordenadamente congruentes e se os lados homólogos são proporcionais.</p><p>Assim, se Δ𝐴𝐵𝐶 ~ Δ𝐴′𝐵′𝐶′, então</p><p>1) os ângulos correspondentes são congruentes: �̂� ≡ 𝐴′̂, �̂� ≡ 𝐵′̂, �̂� ≡ 𝐶 ′̂</p><p>2) os lados homólogos formam uma proporção:</p><p>𝑎</p><p>𝑎′</p><p>=</p><p>𝑏</p><p>𝑏′</p><p>=</p><p>𝑐</p><p>𝑐′</p><p>10</p><p>A inversa é verdadeira.</p><p>OBS: Lados homólogos são opostos a ângulos correspondentes.</p><p>Razão de semelhança:</p><p>Se Δ𝐴𝐵𝐶 ~ Δ𝐴′𝐵′𝐶′ e</p><p>𝑎</p><p>𝑎′ =</p><p>𝑏</p><p>𝑏′ =</p><p>𝑐</p><p>𝑐′</p><p>= 𝑘, chamamos k de razão de</p><p>semelhança.</p><p>Exemplo 7: Os triângulos ABC e PQR são semelhantes. Determine x e y.</p><p>Δ𝐴𝐵𝐶 ~ Δ𝐴′𝐵′𝐶′ ⟺</p><p>�̂� ≡ 𝐴′̂</p><p>�̂� ≡ 𝐵′̂</p><p>�̂� ≡ 𝐶 ′̂</p><p>𝑒</p><p>𝑎</p><p>𝑎′</p><p>=</p><p>𝑏</p><p>𝑏′</p><p>=</p><p>𝑐</p><p>𝑐′</p><p>11</p><p>Exemplo 8: Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura são semelhantes. Se a razão de</p><p>semelhança do 1º para o 2º é 3/2, determine:</p><p>a) a, b e c</p><p>b) a razão entre os seus perímetros.</p><p>TEOREMA FUNDAMENTAL</p><p>Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os</p><p>outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é</p><p>semelhante ao primeiro.</p><p>Observação:</p><p>Em dois triângulos semelhantes, se a razão de semelhança é k,</p><p>então:</p><p>• A razão entre os perímetros é k.</p><p>• A razão entre as alturas homólogas é k.</p><p>• A razão entre as bissetrizes internas homólogas é k.</p><p>• ...</p><p>12</p><p>Δ𝐴𝐵𝐶 ~ Δ𝐴𝐷𝐸</p><p>Sendo DE // BC, temos que:</p><p>1) os ângulos correspondentes são</p><p>congruentes.</p><p>2) os lados correspondentes dos dois</p><p>triângulos ABC e ADE são</p><p>proporcionais.</p><p>𝐴𝐵</p><p>𝐴𝐷</p><p>=</p><p>𝐴𝐶</p><p>𝐴𝐸</p><p>=</p><p>𝐵𝐶</p><p>𝐷𝐸</p><p>Exemplo 9: Na figura 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 3 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ = 3 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ = 14. Calcule 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ,</p><p>sabendo que 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ ∥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅</p><p>13</p><p>CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS</p><p>Assim como nos casos de congruência de triângulos, existem condições</p><p>mínimas para que dois triângulos sejam semelhantes. São o que chamamos de</p><p>casos de semelhança.</p><p>1º caso: AA (dois ângulos congruentes)</p><p>2º caso: LAL (dois lados proporcionais e o ângulo entre eles congruente)</p><p>14</p><p>3º caso: LLL (os três lados são proporcionais)</p><p>Exemplo 10: Associar os pares de triângulos semelhantes e dizer os casos de</p><p>semelhanças.</p><p>15</p><p>Exemplo 11: Na figura, 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ ∥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , e os pontos C, D e E são colineares. Sabendo</p><p>que 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ = 14 𝑐𝑚, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 18 𝑐𝑚 e 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ = 10 𝑐𝑚, calcule a medida do lado 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ .</p><p>Exemplo 12: Na figura a seguir, consideremos os quadros de lado x, 6 e 9.</p><p>Determine o perímetro do quadrado de lado x.</p><p>16</p><p>Exemplo 13: (ENEM 2009)</p><p>A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros.</p><p>Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e</p><p>alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda</p><p>deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é</p><p>a) 1,16 metros</p><p>b) 3,0 metros</p><p>c) 5,4 metros</p><p>d) 5,6 metros</p><p>e) 7,04 metros</p><p>17</p><p>4. PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO E BASES MÉDIAS</p><p>4.1 BARICENTRO – MEDIANAS</p><p>O que são as medianas de um triângulo?</p><p>São segmentos de retas que possuem um dos extremos num vértice do</p><p>triângulo e o outro extremo no ponto médio do lado oposto a este vértice.</p><p>O ponto de interseção das três medianas de um triângulo é o baricentro do</p><p>triângulo. Na figura, G é o baricentro do triângulo ABC.</p><p>18</p><p>4.2 INCENTRO – BISSETRIZES</p><p>4.3 CIRCUNCENTRO – MEDIATRIZES</p><p>O que são mediatrizes?</p><p>São retas que passam pelo ponto médio dos lados dos triângulos e são</p><p>perpendiculares com esses lados.</p><p>19</p><p>4.4 ORTOCENTRO – ALTURAS</p><p>O encontro das alturas é o ortocentro.</p><p>Exemplo 14:</p><p>20</p><p>4.5 O CASO ESPECIAL DO TRIÂNGULO RETÂNGULO</p><p>O triângulo retângulo possui três eixos de simetria e, portanto, um eixo de</p><p>simetria.</p><p>As medianas, as bissetrizes, as</p><p>mediatrizes e as alturas se</p><p>coincidem.</p><p>Logo, os pontos notáveis</p><p>vistos também se coincidem.</p><p>Relação da altura com o lado:</p><p>21</p><p>Relação do lado e raio da circunferência circunscrita</p><p>Relação do apótema e raio da circunferência circunscrita</p><p>Relação do raio da circunferência inscrita</p><p>22</p><p>6. BASE MÉDIA DOS TRIÂNGULOS</p><p>Exemplo 15: (ENEM – 2021)</p><p>23</p><p>ENEM 2022 PPL - Letra B</p><p>Usar a ideia da base média</p><p>letraB</p><p>7. BASE MÉDIA DOS TRAPÉZIOS</p><p>24</p><p>25</p><p>8. LISTA DE EXERCÍCIOS</p><p>1) Na figura, o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD. Calcular</p><p>x e y.</p><p>2) Sobre os lados de um triângulo equilátero, tomam-se três pontos D, E e F</p><p>conforme a figura. Sendo 𝐴𝐷 ≡ 𝐵𝐸 ≡ 𝐶𝐹, prove que o triângulo DEF é</p><p>equilátero.</p><p>3) Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo CDE. Determine o valor</p><p>de x e y.</p><p>26</p><p>4) Na figura, o triângulo PCD é congruente ao triângulo ao triângulo PBA.</p><p>Determine os valores de x, y e a razão entre os perímetros dos triângulos PCA e</p><p>PBD.</p><p>5) Na figura, calcule o valor de x.</p><p>6) Um feixe de quatro paralelas determina sobre uma transversal três segmentos</p><p>que medem 5 cm, 6 cm e 9 cm, respectivamente. Determine os comprimentos</p><p>dos segmentos que este mesmo feixe determina sobre uma outra transversal,</p><p>sabendo que o segmento compreendido entre a primeira e quarta paralela mede</p><p>60.</p><p>27</p><p>7) Nas figuras, as retas r, s e t são paralelas. Determine os valores de x e y.</p><p>8) Na figura, calcule os valores de x e y, respectivamente, sendo 𝐵𝑆̅̅̅̅ a bissetriz</p><p>interna do ângulo em B.</p><p>9) No triângulo ABC da figura ao lado, 𝐴𝑆̅̅̅̅ é bissetriz interna do ângulo �̂� e 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ é</p><p>bissetriz externa. Calcule a medida do segmento 𝑆𝑃̅̅̅̅</p><p>28</p><p>10) Os lados de um triângulo medem 4cm, 8cm e 12cm. Calcule as medidas dos</p><p>lados de um triângulo semelhante, cujo perímetro mede 96cm.</p><p>11) Se 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ é paralelo a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , determine x nos casos:</p><p>12) O perímetro de um triângulo é 60 m e um dos lados tem 25 m. Qual o</p><p>perímetro do triângulo semelhante cujo lado homólogo ao lado dado mede 15</p><p>m?</p><p>13) As bases de um trapézio medem 12 m e 18 m e os lados oblíquos às bases</p><p>medem 5 m e 7 m. Determine os lados do menor triângulo que obtemos ao</p><p>prolongar os lados oblíquos às bases.</p><p>14) Se 𝛼 = 𝛽, determine x e y nos casos:</p><p>29</p><p>15) Na figura abaixo, AB é paralelo a DE.</p><p>a) Prove que os triângulos ABC e EDC são semelhantes.</p><p>b) Sendo AB = 5, AC = 6, BC = 7 e DE = 10, Calcule CD.</p><p>16) Na figura abaixo, determine o valor de x.</p><p>Gabarito:</p><p>1) 16; 8</p><p>2) Demonstração</p><p>3) 9; 5</p><p>4) 10; 9; 1</p><p>5) 32/3</p><p>6) 15, 18 e 27 cm</p><p>7) a) 10/3; b) -25/4; c) 10/3 e 18/5.</p><p>8) 5; 4</p><p>9) 40</p><p>10) 16, 32 e 48 cm</p><p>11) a) 16/3; b) 40</p><p>12) 36 cm</p><p>13) 10, 12 e 14 cm</p><p>14) a) 9 e 32/3; b) 7 e 10.</p><p>15) a) 1º caso de semelhança; b) CD = 14</p><p>16) 4</p><p>1. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS</p><p>2. SEGMENTOS PROPORCIONAIS</p><p>3. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS</p><p>4. PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO E BASES MÉDIAS</p><p>4.1 BARICENTRO – MEDIANAS</p><p>4.2 INCENTRO – BISSETRIZES</p><p>4.3 CIRCUNCENTRO – MEDIATRIZES</p><p>4.4 ORTOCENTRO – ALTURAS</p><p>4.5 O CASO ESPECIAL DO TRIÂNGULO RETÂNGULO</p><p>6. BASE MÉDIA DOS TRIÂNGULOS</p><p>7. BASE MÉDIA DOS TRAPÉZIOS</p><p>8. LISTA DE EXERCÍCIOS</p>