Derivada-Função-Inversa

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Introduc¸a˜o
Dizemos que a func¸a˜o inversa de f , representada por f −1, e´ uma
func¸a˜o tal que para todo x no dom´ınio de f temos:
f (x) = y ⇔ f −1(y) = x .
X Yf X Y
f
-1
x1
x2
x3
y1
y2
y3
x1
x2
x3
y1
y2
y3
Figura: Exemplo de uma func¸a˜o f e sua inversa f −1.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Introduc¸a˜o
Dizemos que a func¸a˜o inversa de f , representada por f −1, e´ uma
func¸a˜o tal que para todo x no dom´ınio de f temos:
f (x) = y ⇔ f −1(y) = x .
X Yf X Y
f
-1
x1
x2
x3
y1
y2
y3
x1
x2
x3
y1
y2
y3
Figura: Exemplo de uma func¸a˜o f e sua inversa f −1.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Introduc¸a˜o
Para que uma func¸a˜o f possua inversa e´ necessa´rio que duas
propriedades sejam atendidas:
(i) para quaisquer x1 e x2 no dom´ınio de f , se x1 6= x2, enta˜o
f (x1) 6= f (x2).
(ii) para qualquer y no contra-dom´ınio de f , existe algum x no
dom´ınio de f , tal que f (x) = y .
Uma func¸a˜o que atenda a essas duas propriedades e´ chamada de
bijetora.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Introduc¸a˜o
X Yf
x1
x2
x3
y1
y2
y3
X Yf
x1
x2
x3
y1
y2
y3
x4
X Yf
x1
x2
x3
y1
y2
y3
X Yf
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
Figura: Apenas a func¸a˜o em destaque e´ bijetora.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Me´todo de resoluc¸a˜o
Suponha que a derivada de uma func¸a˜o f seja conhecida. Ale´m
disso, suponha que f possua inversa, sendo essa inversa
diferencia´vel.
Podemos determinar a derivada de f −1 usando o conhecimento da
derivada de f .
Primeiro note que para todo x no dom´ınio de f −1 temos que:
f (f −1(x)) = x .
De fato, suponha que f −1(x) = k. Desse modo, temos que
f (k) = x . Note que:
f (f −1(x)) = f (k) = x .
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Me´todo de resoluc¸a˜o
Suponha que a derivada de uma func¸a˜o f seja conhecida. Ale´m
disso, suponha que f possua inversa, sendo essa inversa
diferencia´vel.
Podemos determinar a derivada de f −1 usando o conhecimento da
derivada de f .
Primeiro note que para todo x no dom´ınio de f −1 temos que:
f (f −1(x)) = x .
De fato, suponha que f −1(x) = k. Desse modo, temos que
f (k) = x . Note que:
f (f −1(x)) = f (k) = x .
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Me´todo de resoluc¸a˜o
Suponha que a derivada de uma func¸a˜o f seja conhecida. Ale´m
disso, suponha que f possua inversa, sendo essa inversa
diferencia´vel.
Podemos determinar a derivada de f −1 usando o conhecimento da
derivada de f .
Primeiro note que para todo x no dom´ınio de f −1 temos que:
f (f −1(x)) = x .
De fato, suponha que f −1(x) = k. Desse modo, temos que
f (k) = x . Note que:
f (f −1(x)) = f (k) = x .
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Me´todo de resoluc¸a˜o
Suponha que a derivada de uma func¸a˜o f seja conhecida. Ale´m
disso, suponha que f possua inversa, sendo essa inversa
diferencia´vel.
Podemos determinar a derivada de f −1 usando o conhecimento da
derivada de f .
Primeiro note que para todo x no dom´ınio de f −1 temos que:
f (f −1(x)) = x .
De fato, suponha que f −1(x) = k. Desse modo, temos que
f (k) = x . Note que:
f (f −1(x)) = f (k) = x .
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Me´todo de resoluc¸a˜o
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o, obtemos
[f (f −1(x))]′ = (x)′
f ′(f −1(x))[f −1(x)]′ = 1
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
Note que e´ necessa´rio que f ′(f −1(x)) 6= 0.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Me´todo de resoluc¸a˜o
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o, obtemos
[f (f −1(x))]′ = (x)′
f ′(f −1(x))[f −1(x)]′ = 1
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
Note que e´ necessa´rio que f ′(f −1(x)) 6= 0.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Sabemos que a func¸a˜o f (x) = ax , com a ∈ R∗+ \ {1},
possui derivada dada por f ′(x) = ax ln a. Por outro lado, sabemos
que a inversa de f e´ dada por f −1(x) = loga x . Calcule a derivada
de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
af −1(x) ln a
[f −1(x)]′ =
1
aloga x ln a
[f −1(x)]′ =
1
x ln a
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Sabemos que a func¸a˜o f (x) = ax , com a ∈ R∗+ \ {1},
possui derivada dada por f ′(x) = ax ln a. Por outro lado, sabemos
que a inversa de f e´ dada por f −1(x) = loga x . Calcule a derivada
de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
af −1(x) ln a
[f −1(x)]′ =
1
aloga x ln a
[f −1(x)]′ =
1
x ln a
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Sabemos que a func¸a˜o f (x) = ax , com a ∈ R∗+ \ {1},
possui derivada dada por f ′(x) = ax ln a. Por outro lado, sabemos
que a inversa de f e´ dada por f −1(x) = loga x . Calcule a derivada
de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
af −1(x) ln a
[f −1(x)]′ =
1
aloga x ln a
[f −1(x)]′ =
1
x ln a
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Sabemos que a func¸a˜o f (x) = ax , com a ∈ R∗+ \ {1},
possui derivada dada por f ′(x) = ax ln a. Por outro lado, sabemos
que a inversa de f e´ dada por f −1(x) = loga x . Calcule a derivada
de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
af −1(x) ln a
[f −1(x)]′ =
1
aloga x ln a
[f −1(x)]′ =
1
x ln a
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Sabemos que a func¸a˜o f (x) = ax , com a ∈ R∗+ \ {1},
possui derivada dada por f ′(x) = ax ln a. Por outro lado, sabemos
que a inversa de f e´ dada por f −1(x) = loga x . Calcule a derivada
de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
af −1(x) ln a
[f −1(x)]′ =
1
aloga x ln a
[f −1(x)]′ =
1
x ln a
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 2: A inversa da func¸a˜o f (x) = sen x e´
f −1(x) = arcsen x . Determine a derivada de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
Sabemos que f ′(x) = cos x .
[f −1(x)]′ =
1
cos(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
cos( arcsen (x))
Sabemos que cos x =
√
1− sen 2x .
[f −1(x)]′ =
1√
1− [ sen ( arcsen x)]2
[f −1(x)]′ =
1√
1− x2
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 2: A inversa da func¸a˜o f (x) = sen x e´
f −1(x) = arcsen x . Determine a derivada de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
Sabemos que f ′(x) = cos x .
[f −1(x)]′ =
1
cos(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
cos( arcsen (x))
Sabemos que cos x =
√
1− sen 2x .
[f −1(x)]′ =
1√
1− [ sen ( arcsen x)]2
[f −1(x)]′ =
1√
1− x2
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 2: A inversa da func¸a˜o f (x) = sen x e´
f −1(x) = arcsen x . Determine a derivada de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
Sabemos que f ′(x) = cos x .
[f −1(x)]′ =
1
cos(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
cos( arcsen (x))
Sabemos que cos x =
√
1− sen 2x .
[f −1(x)]′ =
1√
1− [ sen ( arcsen x)]2
[f −1(x)]′ =
1√
1− x2
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 2: A inversa da func¸a˜o f (x) = sen x e´
f −1(x) = arcsen x . Determine a derivada de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
Sabemos que f ′(x) = cos x .
[f −1(x)]′ =
1
cos(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
cos( arcsen (x))
Sabemos que cos x =
√
1− sen 2x .
[f −1(x)]′ =
1√
1− [ sen ( arcsen x)]2
[f −1(x)]′ =
1√
1− x2
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 2: A inversa da func¸a˜o f (x) = sen x e´
f −1(x) = arcsen x . Determine a derivada de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
Sabemos que f ′(x) = cos x .
[f −1(x)]′ =
1
cos(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
cos( arcsen (x))
Sabemos que cos x =
√
1− sen 2x .
[f −1(x)]′ =
1√
1− [ sen ( arcsen x)]2
[f −1(x)]′ =
1√
1− x2
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 3: A inversa da func¸a˜o f (x) = cos x e´ f −1(x) = arccos x .
Determine a derivada de f −1.
Usando um procedimento ana´logo ao que foi feito no exerc´ıcio
anterior obtemos que
[f −1(x)]′ = − 1√
1− x2
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 4: A inversa da func¸a˜o f (x) = tg x e´ f −1(x) = arctg x .
Determine a derivada de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
Sabemos que f ′(x) = sec2 x .
[f −1(x)]′ =
1
sec2(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
sec2( arctg (x))
Sabemos que sec2 x = tg 2x + 1.
[f −1(x)]′ =
1
[ tg ( arctg x)]2 + 1
[f −1(x)]′ =
1
x2 + 1
Derivadada Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 4: A inversa da func¸a˜o f (x) = tg x e´ f −1(x) = arctg x .
Determine a derivada de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
Sabemos que f ′(x) = sec2 x .
[f −1(x)]′ =
1
sec2(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
sec2( arctg (x))
Sabemos que sec2 x = tg 2x + 1.
[f −1(x)]′ =
1
[ tg ( arctg x)]2 + 1
[f −1(x)]′ =
1
x2 + 1
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 4: A inversa da func¸a˜o f (x) = tg x e´ f −1(x) = arctg x .
Determine a derivada de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
Sabemos que f ′(x) = sec2 x .
[f −1(x)]′ =
1
sec2(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
sec2( arctg (x))
Sabemos que sec2 x = tg 2x + 1.
[f −1(x)]′ =
1
[ tg ( arctg x)]2 + 1
[f −1(x)]′ =
1
x2 + 1
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 4: A inversa da func¸a˜o f (x) = tg x e´ f −1(x) = arctg x .
Determine a derivada de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
Sabemos que f ′(x) = sec2 x .
[f −1(x)]′ =
1
sec2(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
sec2( arctg (x))
Sabemos que sec2 x = tg 2x + 1.
[f −1(x)]′ =
1
[ tg ( arctg x)]2 + 1
[f −1(x)]′ =
1
x2 + 1
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 4: A inversa da func¸a˜o f (x) = tg x e´ f −1(x) = arctg x .
Determine a derivada de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
Sabemos que f ′(x) = sec2 x .
[f −1(x)]′ =
1
sec2(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
sec2( arctg (x))
Sabemos que sec2 x = tg 2x + 1.
[f −1(x)]′ =
1
[ tg ( arctg x)]2 + 1
[f −1(x)]′ =
1
x2 + 1
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 4: A inversa da func¸a˜o f (x) = tg x e´ f −1(x) = arctg x .
Determine a derivada de f −1.
[f −1(x)]′ =
1
f ′(f −1(x))
Sabemos que f ′(x) = sec2 x .
[f −1(x)]′ =
1
sec2(f −1(x))
[f −1(x)]′ =
1
sec2( arctg (x))
Sabemos que sec2 x = tg 2x + 1.
[f −1(x)]′ =
1
[ tg ( arctg x)]2 + 1
[f −1(x)]′ =
1
x2 + 1
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 5: Seja a func¸a˜o f (x) = x +
√
x . Calcule [f −1(2)]′.
[f −1(2)]′ =
1
f ′(f −1(2))
Sabemos que f ′(x) = 1 + 1
2
√
x
.
[f −1(2)]′ =
1
1 + 1
2
√
f −1(2)
Sabemos que se f −1(2) = k , enta˜o f (k) = 2. Desse modo, para
determinar k precisamos resolver a equac¸a˜o
k +
√
k = 2
E´ fa´cil perceber que k = 1, mas vejamos como resolver essa
equac¸a˜o.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 5: Seja a func¸a˜o f (x) = x +
√
x . Calcule [f −1(2)]′.
[f −1(2)]′ =
1
f ′(f −1(2))
Sabemos que f ′(x) = 1 + 1
2
√
x
.
[f −1(2)]′ =
1
1 + 1
2
√
f −1(2)
Sabemos que se f −1(2) = k , enta˜o f (k) = 2. Desse modo, para
determinar k precisamos resolver a equac¸a˜o
k +
√
k = 2
E´ fa´cil perceber que k = 1, mas vejamos como resolver essa
equac¸a˜o.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 5: Seja a func¸a˜o f (x) = x +
√
x . Calcule [f −1(2)]′.
[f −1(2)]′ =
1
f ′(f −1(2))
Sabemos que f ′(x) = 1 + 1
2
√
x
.
[f −1(2)]′ =
1
1 + 1
2
√
f −1(2)
Sabemos que se f −1(2) = k , enta˜o f (k) = 2. Desse modo, para
determinar k precisamos resolver a equac¸a˜o
k +
√
k = 2
E´ fa´cil perceber que k = 1, mas vejamos como resolver essa
equac¸a˜o.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 5: Seja a func¸a˜o f (x) = x +
√
x . Calcule [f −1(2)]′.
[f −1(2)]′ =
1
f ′(f −1(2))
Sabemos que f ′(x) = 1 + 1
2
√
x
.
[f −1(2)]′ =
1
1 + 1
2
√
f −1(2)
Sabemos que se f −1(2) = k , enta˜o f (k) = 2. Desse modo, para
determinar k precisamos resolver a equac¸a˜o
k +
√
k = 2
E´ fa´cil perceber que k = 1, mas vejamos como resolver essa
equac¸a˜o.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Exemplo 5: Seja a func¸a˜o f (x) = x +
√
x . Calcule [f −1(2)]′.
[f −1(2)]′ =
1
f ′(f −1(2))
Sabemos que f ′(x) = 1 + 1
2
√
x
.
[f −1(2)]′ =
1
1 + 1
2
√
f −1(2)
Sabemos que se f −1(2) = k , enta˜o f (k) = 2. Desse modo, para
determinar k precisamos resolver a equac¸a˜o
k +
√
k = 2
E´ fa´cil perceber que k = 1, mas vejamos como resolver essa
equac¸a˜o.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
k +
√
k = 2
√
k = 2− k
√
k
2
= (2− k)2
k = 4− 4k + k2
De onde obtemos k = 4 e k = 1. Mas, apenas k = 1 atende a
equac¸a˜o original.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
k +
√
k = 2
√
k = 2− k
√
k
2
= (2− k)2
k = 4− 4k + k2
De onde obtemos k = 4 e k = 1. Mas, apenas k = 1 atende a
equac¸a˜o original.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
k +
√
k = 2
√
k = 2− k
√
k
2
= (2− k)2
k = 4− 4k + k2
De onde obtemos k = 4 e k = 1. Mas, apenas k = 1 atende a
equac¸a˜o original.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
k +
√
k = 2
√
k = 2− k
√
k
2
= (2− k)2
k = 4− 4k + k2
De onde obtemos k = 4 e k = 1. Mas, apenas k = 1 atende a
equac¸a˜o original.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
k +
√
k = 2
√
k = 2− k
√
k
2
= (2− k)2
k = 4− 4k + k2
De onde obtemos k = 4 e k = 1. Mas, apenas k = 1 atende a
equac¸a˜o original.
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Continuando a soluc¸a˜o do exerc´ıcio, temos que f −1(2) = 1.
[f −1(2)]′ =
1
1 + 1
2
√
1
[f −1(2)]′ =
1
1 + 12
[f −1(2)]′ =
2
3
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Continuando a soluc¸a˜o do exerc´ıcio, temos que f −1(2) = 1.
[f −1(2)]′ =
1
1 + 1
2
√
1
[f −1(2)]′ =
1
1 + 12
[f −1(2)]′ =
2
3
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Exerc´ıcio
Continuando a soluc¸a˜o do exerc´ıcio, temos que f −1(2) = 1.
[f −1(2)]′ =
1
1 + 1
2
√
1
[f −1(2)]′ =
1
1 + 12
[f −1(2)]′ =
2
3
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Resumo
Nesta aula aprendemos mais treˆs novas func¸o˜es derivadas,
resumidas na tabela abaixo.
f (x) f ′(x)
arcsen x
1√
1− x2
arccos x − 1√
1− x2
arctg x
1
x2 + 1
Observac¸a˜o
Em alguns textos, voceˆ pode encontrar as seguintes notac¸o˜es:
sen−1x para representar arcsen x ;
cos−1 x para representar arccos x ;
tg−1x para representar arctg x .
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Resumo
Nesta aula aprendemos mais treˆs novas func¸o˜es derivadas,
resumidas na tabela abaixo.
f (x) f ′(x)
arcsen x
1√
1− x2
arccos x − 1√
1− x2
arctg x
1
x2 + 1
Observac¸a˜o
Em alguns textos, voceˆ pode encontrar as seguintes notac¸o˜es:
sen−1x para representar arcsen x ;
cos−1 x para representar arccos x ;
tg−1x para representar arctg x .