Lista de Exercício sistema Lineares UFF

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<p>Álgebra Linear</p><p>Prof. Javier Ribón</p><p>Lista 1 (Gabarito)</p><p>2020-2</p><p>Graduação - Turma B1</p><p>Sistemas lineares</p><p>1. Resolva os sistemas</p><p>a)</p><p> x + y + z = 4</p><p>2x + 5y − 2z = 3</p><p>x + 7y − 7z = 5</p><p>e b)</p><p> x + y + z = 2</p><p>2x + 5y − 2z = 0</p><p>x + 7y − 7z = −6</p><p>Solução:</p><p>Vamos a reduzir os sistemas à forma escalonada fazendo operações elementares em linhas. O resultado</p><p>de aplicar operações elementares é sempre um sistema equivalente, ou seja com as mesmas soluções.</p><p>Usaremos a notação Ei := Ei+cEj para indicar a operação elementar na qual somamos c vezes a equação</p><p>j à equação i. Usaremos Ei := cEi como notação para a operação elementar na qual multiplicamos a</p><p>equação i pelo escalar c (c precisa ser distinto de 0). Finalmente, usaremos a notação Ei ↔ Ej para a</p><p>operação elementar que permuta as equações i e j.</p><p>Consideremos o sistema a). Temos x + y + z = 4</p><p>2x + 5y − 2z = 3</p><p>x + 7y − 7z = 5</p><p>E2:=E2−2E1, E3:=E3−E1−→</p><p> x + y + z = 2</p><p>3y − 4z = −5</p><p>6y − 8z = 1</p><p>Na verdade, precisaŕıamos fazer primeiro a operação elementar E2 := E2−2E1 e áı a operação elementar</p><p>E3 := E3−E1. Mas como a primeira equação não muda na operação elementar E2 := E2−2E1, podemos</p><p>fazer as duas simultaneamente. Vamos continuar o processo de redução, temos x + y + z = 2</p><p>3y − 4z = −5</p><p>6y − 8z = 1</p><p>E2:=</p><p>E2</p><p>3−→</p><p> x + y + z = 2</p><p>y − 4</p><p>3z = − 5</p><p>3</p><p>6y − 8z = 1</p><p>E3:=E3−6E2−→</p><p> x + y + z = 2</p><p>y − 4</p><p>3z = − 5</p><p>3</p><p>0 = 11</p><p>Como o sistema é equivalente a um sistema que contém a equação 0 = 11, então o sistema é incompat́ıvel.</p><p>Vamos tratar agora o caso b). Como os sistemas a) e b) são os mesmos, salvo os termos independentes,</p><p>o processo de redução dos sistemas é o mesmo. Temos x + y + z = 2</p><p>2x + 5y − 2z = 0</p><p>x + 7y − 7z = −6</p><p>E2:=E2−2E1, E3:=E3−E1−→</p><p> x + y + z = 2</p><p>3y − 4z = −4</p><p>6y − 8z = −8</p><p>E2:=</p><p>E2</p><p>3−→</p><p> x + y + z = 2</p><p>y − 4</p><p>3z = − 4</p><p>3</p><p>6y − 8z = −8</p><p>E3:=E3−6E2−→</p><p> x + y + z = 2</p><p>y − 4</p><p>3z = − 4</p><p>3</p><p>0 = 0</p><p>Como o sistema está em forma escalonada e não possui nenhuma equação do tipo 0 = c com c 6= 0,</p><p>então o sistema é compat́ıvel. Mais ainda, o sistema tem duas variáveis lideres (x e y) e uma variável</p><p>livre (z), logo a solução não é única, ou seja o sistema é compat́ıvel indeterminado. A solução é obtida</p><p>colocando em evidência x e y como funções da variável livre. Mais precisamente, temos</p><p>y =</p><p>4z − 4</p><p>3</p><p>e x +</p><p>4z − 4</p><p>3</p><p>+ z = 2,</p><p>Álgebra Linear</p><p>Prof. Javier Ribón</p><p>Lista 1 (Gabarito)</p><p>2020-2</p><p>Graduação - Turma B1</p><p>Sistemas lineares</p><p>o que implica que a solução geral é</p><p>(x, y, z) =</p><p>(</p><p>10− 7z</p><p>3</p><p>,</p><p>4z − 4</p><p>3</p><p>, z</p><p>)</p><p>.</p><p>2. Resolva os sistemas</p><p>a)</p><p> x + y + z = 4</p><p>2x + 5y − 2z = 3</p><p>x + 6y − 6z = 5</p><p>e b)</p><p> x + y + z = 4</p><p>2x + 5y − 2z = 3</p><p>x + 4y − 3z = −1</p><p>Solução:</p><p>Como no primeiro exerćıcio, vamos a reduzir os sistemas à forma escalonada fazendo operações ele-</p><p>mentares em linhas. O resultado de aplicar operações elementares é sempre um sistema equivalente, ou</p><p>seja com as mesmas soluções.</p><p>Vamos resolver a).</p><p> x + y + z = 4</p><p>2x + 5y − 2z = 3</p><p>x + 6y − 6z = 5</p><p>E2:=E2−2E1, E3:=E3−E1−→</p><p> x + y + z = 4</p><p>3y − 4z = −5</p><p>5y − 7z = 1</p><p>E2:=</p><p>E2</p><p>3−→</p><p> x + y + z = 4</p><p>y − 4</p><p>3z = − 5</p><p>3</p><p>5y − 7z = 1</p><p>E3:=E3−5E2−→</p><p> x + y + z = 4</p><p>y − 4</p><p>3z = − 5</p><p>3</p><p>− 1</p><p>3z = 28</p><p>3</p><p>O sistema escalonado é compat̀ıvel (não possui equações do tipo 0 = c com c 6= 0) e determinado (não</p><p>possui variáveis livres). Da última equação deduzimos z = −28. Da segunda, obtemos</p><p>y =</p><p>4</p><p>3</p><p>(−28)− 5</p><p>3</p><p>= −39.</p><p>Da primeira equação, deduze-se</p><p>x = 4 + 39 + 28 = 71,</p><p>ou seja a única solução é (x, y, z) = (71,−39,−28).</p><p>Vamos tratar agora o caso b).</p><p>Temos x + y + z = 4</p><p>2x + 5y − 2z = 3</p><p>x + 4y − 3z = −1</p><p>E2:=E2−2E1, E3:=E3−E1−→</p><p> x + y + z = 4</p><p>3y − 4z = −5</p><p>3y − 4z = −5</p><p>E3:=E3−E2−→</p><p> x + y + z = 4</p><p>3y − 4z = −5</p><p>0 = 0</p><p>O sistema está em forma escalonada, não possui nenhuma equação do tipo 0 = c com c 6= 0 e tem uma</p><p>variável livre. Logo, é um sistema compat́ıvel indeterminado. A solução geral é obtida em função da</p><p>variável livre. Temos</p><p>y =</p><p>4z − 5</p><p>3</p><p>y x +</p><p>4z − 5</p><p>3</p><p>+ z = 4,</p><p>Page 2</p><p>Álgebra Linear</p><p>Prof. Javier Ribón</p><p>Lista 1 (Gabarito)</p><p>2020-2</p><p>Graduação - Turma B1</p><p>Sistemas lineares</p><p>ou seja obtemos</p><p>(x, y, z) =</p><p>(</p><p>17− 7z</p><p>3</p><p>,</p><p>4z − 5</p><p>3</p><p>, z</p><p>)</p><p>como solução geral do sistema.</p><p>3. Resolva os sistemas</p><p>a)</p><p></p><p>x + y + z = 4</p><p>2x + 5y − 2z = 3</p><p>x + 6y − 6z = 5</p><p>x + 2y = 0</p><p>e b)</p><p></p><p>x + y + z = 4</p><p>2x + 5y − 2z = 3</p><p>x + 6y − 6z = 5</p><p>x + 2y = −7</p><p>Solução:</p><p>As três primeiras equações são às do sistema 2a) que tem solução única (x, y, z) = (71,−39,−28).</p><p>Como (71,−39,−28) não cumpre a equação x + 2y = 0, então o sistema 3a) não possui soluções, é</p><p>incompat́ıvel. Como (71,−39,−28) é solução da equação x+ 2y = −7, então o sistema 3b) tem solução</p><p>única (x, y, z) = (71,−39,−28). É compat́ıvel determinado.</p><p>4. Resolva os sistemas</p><p>a)</p><p> 2x + y − 2z = 1</p><p>3x + z = 8</p><p>13x + 2y − z = 9</p><p>e b)</p><p> 2x + y − 2z = 1</p><p>3x + z = 8</p><p>14x + 2y − z = 9</p><p>Solução:</p><p>Como no primeiro exerćıcio, vamos a reduzir os sistemas à forma escalonada fazendo operações ele-</p><p>mentares em linhas. O resultado de aplicar operações elementares é sempre um sistema equivalente, ou</p><p>seja com as mesmas soluções.</p><p>Vamos resolver a).</p><p> 2x + y − 2z = 1</p><p>3x + z = 8</p><p>13x + 2y − z = 9</p><p>E1:=</p><p>E1</p><p>2−→</p><p> x + y</p><p>2 − z = 1</p><p>2</p><p>3x + z = 8</p><p>13x + 2y − z = 9</p><p>E2:=E2−3E1, E3:=E3−13E1−→</p><p> x + y</p><p>2 − z = 1</p><p>2</p><p>− 3</p><p>2y + 4z = 13</p><p>2</p><p>− 9</p><p>2y + 12z = 5</p><p>2</p><p>E3:=E3−3E2−→</p><p> x + y</p><p>2 − z = 1</p><p>2</p><p>− 3</p><p>2y + 4z = 13</p><p>2</p><p>0 = −17,</p><p>logo o sistema não tem solução, é incompat́ıvel.</p><p>Vamos resolver b). Temos 2x + y − 2z = 1</p><p>3x + z = 8</p><p>14x + 2y − z = 9</p><p>E1:=</p><p>E1</p><p>2−→</p><p> x + y</p><p>2 − z = 1</p><p>2</p><p>3x + z = 8</p><p>14x + 2y − z = 9</p><p>E2:=E2−3E1, E3:=E3−14E1−→</p><p>Page 3</p><p>Álgebra Linear</p><p>Prof. Javier Ribón</p><p>Lista 1 (Gabarito)</p><p>2020-2</p><p>Graduação - Turma B1</p><p>Sistemas lineares</p><p> x + y</p><p>2 − z = 1</p><p>2</p><p>− 3</p><p>2y + 4z = 13</p><p>2</p><p>− 5y + 13z = 2</p><p>E2:=−2E2</p><p>3−→</p><p> x + y</p><p>2 − z = 1</p><p>2</p><p>y − 8</p><p>3z = − 13</p><p>3</p><p>− 5y + 13z = 2</p><p>E3:=E3+5E2−→</p><p> x + y</p><p>2 − z = 1</p><p>2</p><p>y − 8</p><p>3z = − 13</p><p>3</p><p>− z</p><p>3 = − 59</p><p>3</p><p>O sistema escalonado é compat̀ıvel (não possui equações do tipo 0 = c com c 6= 0) e determinado (não</p><p>possui variáveis livres). Da última equação deduzimos z = 59. Da segunda, obtemos</p><p>y =</p><p>8</p><p>3</p><p>59− 13</p><p>3</p><p>= 153.</p><p>Da primeira equação, deduze-se</p><p>x =</p><p>1</p><p>2</p><p>− 153</p><p>2</p><p>+ 59 = −17.</p><p>ou seja a única solução é (x, y, z) = (−17, 153, 59).</p><p>5. Resolva os sistemas</p><p>a)</p><p> 2x + y = 7</p><p>3x + 2y = 9</p><p>9x + 3y = 36</p><p>e b)</p><p> 10x + 5y = 35</p><p>12x + 8y = 36</p><p>9x + 3y = 37</p><p>Solução:</p><p>Como no primeiro exerćıcio, vamos a reduzir os sistemas à forma escalonada fazendo operações ele-</p><p>mentares em linhas. O resultado de aplicar operações elementares é sempre um sistema equivalente, ou</p><p>seja com as mesmas soluções.</p><p>Vamos resolver a). Temos 2x + y = 7</p><p>3x + 2y = 9</p><p>9x + 3y = 36</p><p>E1:=</p><p>E1</p><p>2−→</p><p> x + y</p><p>2 = 7</p><p>2</p><p>3x + 2y = 9</p><p>9x + 3y = 36</p><p>E2:=E2−3E1, E3:=E3−9E1−→</p><p> x + y</p><p>2 = 7</p><p>2</p><p>y</p><p>2 = − 3</p><p>2</p><p>− 3</p><p>2y = 9</p><p>2</p><p>E3:=E3+3E2−→</p><p> x + y</p><p>2 = 7</p><p>2</p><p>y</p><p>2 = − 3</p><p>2</p><p>0 = 0</p><p>O sistema escalonado é compat̀ıvel (não possui equações do tipo 0 = c com c 6= 0) e determinado (não</p><p>possui variáveis livres). Da segunda equação deduzimos y = −3. Da primeira, obtemos</p><p>x =</p><p>7</p><p>2</p><p>+</p><p>3</p><p>2</p><p>= 5.</p><p>ou seja a única solução é (x, y) = (5,−3).</p><p>Vamos resolver b). Temos 10x + 5y = 35</p><p>12x + 8y = 36</p><p>9x + 3y = 37</p><p>E1:=</p><p>E1</p><p>10−→</p><p> x + y</p><p>2 = 7</p><p>2</p><p>12x + 8y = 36</p><p>9x + 3y = 37</p><p>E2:=E2−12E1, E3:=E3−9E1−→</p><p>Page 4</p><p>Álgebra Linear</p><p>Prof. Javier Ribón</p><p>Lista 1 (Gabarito)</p><p>2020-2</p><p>Graduação - Turma B1</p><p>Sistemas lineares</p><p> x + y</p><p>2 = 7</p><p>2</p><p>2y = −6</p><p>− 3y</p><p>2 = 11</p><p>2</p><p>E2:=</p><p>E2</p><p>2−→</p><p> x + y</p><p>2 = 7</p><p>2</p><p>y = −3</p><p>− 3y</p><p>2 = 11</p><p>2</p><p>E3:=E3+3</p><p>E2</p><p>2−→</p><p> x + y</p><p>2 = 7</p><p>2</p><p>y = −3</p><p>0 = 1,</p><p>logo o sistema não tem solução, é incompat́ıvel.</p><p>6. Justifique se for verdadeira ou dê um contraexemplo se for falsa a afirmação:</p><p>1) Todo sistema linear homogêneo é compat́ıvel determinado.</p><p>2) Se acrescentamos equações a um sistema incompat́ıvel continua sendo incompat́ıvel.</p><p>3) Se multiplicamos uma equação de</p><p>um sistema linear por um número real, obtemos um sistema</p><p>equivalente.</p><p>4) Se um sistema linear S é equivalente a um sistema linear homogêneo T , então S é homogêneo.</p><p>5) Se um sistema linear possui no mı́nimo duas soluções, então possui infinitas soluções.</p><p>6) Um sistema linear compat́ıvel indeterminado não possui variáveis livres.</p><p>7) Um sistema linear possui no mı́nimo uma variável ĺıder.</p><p>8) O sistema linear {</p><p>3x + 5y = 7</p><p>6x + 10y = k</p><p>não pode ser compat́ıvel determinado, independentemente do valor de k.</p><p>Solução:</p><p>1) É falso. O sistema x + y = 0 é homogêneo e compat́ıvel indeterminado.</p><p>2) É verdadeiro. Seja S um sistema linear e S′ um sistema linear obtido acrescentando equações ao</p><p>sistema S. Toda solução de S′ é uma solução de S. Logo se S não tem solução, S′ também não tem</p><p>solução.</p><p>3) É falso. O número real precisa ser distinto de 0. Por exemplo se multiplicamos a primeira equação</p><p>do sistema linear {</p><p>x = 0</p><p>y = 0</p><p>por 0, obtemos o sistema {</p><p>0 = 0</p><p>y = 0</p><p>O primeiro sistema tem solução única e o segundo tem infinitas soluções, logo não são equivalentes.</p><p>4) É verdadeiro. Se a coluna de termos independentes é uma coluna de zeros, uma operação elementar</p><p>dá um sistema equivalente cuja coluna de termos independentes também é uma coluna de zeros. Além</p><p>Page 5</p><p>Álgebra Linear</p><p>Prof. Javier Ribón</p><p>Lista 1 (Gabarito)</p><p>2020-2</p><p>Graduação - Turma B1</p><p>Sistemas lineares</p><p>disso, as operações elementares não podem transformar a coluna de termos independentes em uma coluna</p><p>de zeros se não era já uma coluna de zeros antes da operação elementar.</p><p>5) É verdadeiro. Se o sistema possui duas soluções no mı́nimo, é compat́ıvel indeterminado. Dáı,</p><p>o sistema tem no mı́nimo uma variável livre. Dando infinitos valores às variáveis livres do sistema,</p><p>obtemos infinitas soluções.</p><p>6) É falso. Um sistema (escalonado) compat́ıvel é indeterminado se, e somente se, possui variáveis livres.</p><p>7) É falso. Consideremos um sistema com uma incógnita x e uma única equação 0 = 0. O sistema é</p><p>compat́ıvel e a única variável é uma variável livre.</p><p>8) Vamos tentar resolver o sistema {</p><p>3x + 5y = 7</p><p>6x + 10y = k</p><p>Temos {</p><p>3x + 5y = 7</p><p>6x + 10y = k</p><p>E2:=E2−2E1−→</p><p>{</p><p>3x + 5y = 7</p><p>0 = k − 14</p><p>O sistema é incompat́ıvel se k 6= 14 e compat́ıvel indeterminado se k = 14 (tem uma variável livre).</p><p>Logo o sistema nunca é compat́ıvel determinado. A afirmação é verdadeira.</p><p>Page 6</p>