61_PDFsam_2Matemática Elementar

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<p>UNIDADE III</p><p>O TEOREMA DE PITÁGORAS</p><p>Professor Mestre Arthur Ernandes Torres da Silva</p><p>Plano de Estudo:</p><p>• Enunciado do Teorema de Pitágoras;</p><p>• Relações Trigonométricas;</p><p>• Generalização do Teorema de Pitágoras;</p><p>• Recíproco do Teorema de Pitágoras.</p><p>Objetivos de Aprendizagem:</p><p>• Explorar o teorema de Pitágoras com vários exercícios resolvidos;</p><p>• Estudar as relações trigonométricas oriundas do triângulo retângulo, como</p><p>seno, cosseno e tangente;</p><p>• Aprender a generalização do Teorema de Pitágoras, bem como a sua relação</p><p>recíproca.</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Prezado (a) aluno (a), nesta unidade, primeiramente vamos estudar o</p><p>Teorema de Pitágoras abordando alguns casos resolvidos. Na sequência,</p><p>iremos definir as três relações trigonométricas mais presentes na literatura. No</p><p>capítulo três, vamos aprender a generalização do Teorema de Pitágoras e</p><p>descobrir que esse famoso tópico da Matemática Elementar vai muito mais além.</p><p>Na última parte, para concluir o assunto, será abordado o recíproco do Teorema</p><p>de Pitágoras.</p><p>Esperamos que esta unidade seja imensamente proveitosa e seja de bom</p><p>uso na sua formação acadêmica.</p><p>Bons estudos!</p><p>1 ENUNCIADO DO TEOREMA DE PITÁGORAS</p><p>ID do vetor stock livre de direitos: 1649859793</p><p>Ao longo da história, houveram diferentes formas de enunciar o Teorema</p><p>de Pitágoras. Nesse capítulo, iremos ver uma das mais práticas e simples, que</p><p>envolve a área dos quadrados de cada lado do triângulo retângulo. Primeiro,</p><p>vamos definir o que é um triângulo retângulo.</p><p>Existem várias classificações de triângulos: O equilátero formado por 3</p><p>lados iguais, o que proporciona que os três ângulos internos sejam iguais a 60°.</p><p>O triângulo obtuso, que possui um ângulo interno maior que 90°, entre outros.</p><p>No estudo do Teorema de Pitágoras, vamos analisar o triângulo retângulo,</p><p>caracterizado por ter um dos ângulos internos iguais a 90°, também chamado de</p><p>ângulo reto.</p><p>Figura 1 – Triângulo retângulo</p><p>ID do vetor stock livre de direitos: 1634337292</p><p>A imagem a cima representa um triângulo retângulo de lado A, B e H.</p><p>Como vamos caracterizar esses lados? De forma muito simples. Nesse triângulo,</p><p>o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Enquanto os dois outros</p><p>lados, são denominados de catetos.</p><p>O Teorema de Pitágoras pode ser escrito da seguinte forma:</p><p>A soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos</p><p>corresponde a área do quadrado construído sobre a hipotenusa.</p><p>Esse teorema pode ser esquematizado na figura abaixo:</p><p>Figura 2 – Demonstração do Teorema de Pitágoras</p><p>ID da ilustração stock livre de direitos: 561653665</p><p>Em outras palavras, o que ele diz é: se o lado 𝑎 medir 3, o quadrado sobre</p><p>ele tem o valor de 9 (pois a área de um quadrado é lado multiplicado pelo lado).</p><p>Já o lado 𝑏 tem tamanho de 4 e, consequentemente, o quadrado a cima dele tem</p><p>o valor de 16. Portanto, o quadrado a cima do lado 𝑐 é a soma da área do</p><p>quadrado de lado 𝑎 mais a área do quadrado de lado 𝑏.</p><p>Matematicamente, essa interpretação pode ser escrita como:</p><p>(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 + (𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 = (ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑛𝑢𝑠𝑎)2</p><p>Vamos fazer alguns exemplos do Teorema de Pitágoras.</p><p>Ex. 01</p><p>Calcule o valor da hipotenusa</p><p>Figura 3 – Triângulo retângulo com lados iguais a 3 e 4</p><p>Fonte: O autor (2021).</p><p>Resolução:</p><p>Pelo teorema de Pitágoras, temos:</p><p>(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2</p><p>𝑥2 = (3)2 + (4)2</p><p>𝑥2 = 9 + 16</p><p>𝑥2 = 25</p><p>∴ 𝑥 = 5</p><p>Ex. 02</p><p>Determine o calor de x, que corresponde a hipotenusa do triângulo</p><p>retângulo abaixo.</p><p>Figura 4 - Triângulo retângulo com lados iguais a 5 e 12</p><p>Fonte: O autor (2021).</p><p>Resolução:</p><p>Pelo Teorema de Pitágoras, temos:</p><p>(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2</p><p>𝑥2 = (5)2 + (12)2</p><p>𝑥2 = 25 + 144</p><p>𝑥2 = 169</p><p>∴ 𝑥 = 13</p><p>Ex. 03</p><p>Usando o teorema de Pitágoras, calcule o valor de 𝑥 no triângulo</p><p>rentângulo.</p><p>Figura 5 - Triângulo retângulo com lados iguais a 6 e 7</p><p>Fonte: O autor (2021).</p><p>Resolução:</p>