prova_p3_gab_calc3_2013_1_mat

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Gabarito da 3a Prova de Ca´lculo III - Matema´tica - Monica
05/07/2013
1a Questa˜o: (2,5 pontos)
Seja
−→
F (x, y, z) =
(
ex sen y, ex cos y, z2
)
um campo vetorial em IR3. Seja C a curva para-
metrizada por σ(t) =
(√
t, t3, e
√
t
)
, 0 ≤ t ≤ 1. Calcule
∫
C
−→
F · ds.
Soluc¸a˜o
Como
−→
F (x, y, z) =
(
ex sen y, ex cos y, z2
)
= ∇f, onde f(x, y, z) = ex sen y + z
3
3
, o campo
−→
F e´ conservativo em IR3. Logo,∫
C
−→
F · ds = f(σ(1))− f(σ(0)) = f(1, 1, e)− f(0, 0, 1) = e sen 1 + e
3
3
− 1
3
.
2a Questa˜o: (4 pontos)
Seja Ω = {(x, y, z) ∈ IR3;x2 + y2 − 2 ≤ z ≤ 2}. Calcule
∫ ∫
∂Ω
(−→
F · η
)
ds, quando:
1.
−→
F (x, y, z) = (x, z, xz).
Soluc¸a˜o
Como o campo
−→
F e´ C1 em IR3, orientando ∂Ω com a normal para fora, podemos
aplicar o teorema de Gauss:∫ ∫
∂Ω
(−→
F · η
)
ds =
∫ ∫ ∫
Ω
divF dxdydz =
∫ ∫ ∫
Ω
(1 + x) dxdydz =
=
∫ 2
0
∫ 2pi
0
∫ 2
r2−2
(1 + r cos θ)r dzdθdr =
∫ 2
0
∫ 2pi
0
(r + r2 cos θ)(2− r2 + 2) dθdr =
=
∫ 2
0
∫ 2pi
0
[
(4r − r3) + r2 cos θ(4− r2)] dθdr = ∫ 2
0
[
(4r − r3)θ + r2 sen θ(4− r2)] |2pi0 dr =
=
∫ 2
0
2pi(4r − r3)dr = 2pi
(
2r2 − r
4
4
)
|20 = 8pi.
2.
−→
F (x, y, z) =
(
y
x2 + y2 + z2
,
−x− z
x2 + y2 + z2
,
y
x2 + y2 + z2
)
.
Soluc¸a˜o
Como o campo
−→
F agora, na˜o e´ C1 em uma vizinhanc¸a da origem, para podermos
aplicar o teorema de Gauss, acrescentamos uma esfera S centrada na origem e de
raio 1, isolando o ponto onde o campo na˜o esta´ definido. Seja R a regia˜o exterior a`
superf´ıcie S e interior a Ω. Como o campo
−→
F e´ C1 em vizinhanc¸a de R, orientando
∂R = ∂Ω ∪ S com a normal para fora em ∂Ω e a normal para dentro em S, podemos
aplicar o teorema de Gauss:∫ ∫
∂R
(−→
F · η
)
ds =
∫ ∫ ∫
R
divF dxdydz =
∫ ∫ ∫
R
0 dxdydz = 0.
Logo, ∫ ∫
∂Ω
(−→
F · η
)
ds = −
∫ ∫
S
(−→
F · ηd
)
ds =
∫ ∫
S
(−→
F · ηf
)
ds,
onde ηd e´ a normal para dentro e ηf e´ a norma para fora de S, ηf = (x, y, z). Mas
F · ηf = 0 e ∫ ∫
∂Ω
(−→
F · η
)
ds = 0.
3a Questa˜o: (3,5 pontos)
Seja
−→
F (x, y, z) =
(
z2 − y2,−2xy2, e
√
z cos z
)
um campo vetorial em IR3. Seja C a curva
parametrizada por σ(t) =
(
cos t, sen t, 8− cos2 t− sen t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
1. Em que domı´nio D de IR3 o campo
−→
F e´ C1?
Soluc¸a˜o
D = {(x, y, z) ∈ IR3; z > 0}.
2. Mostre que C esta´ contida na superf´ıcie S definida pela equac¸a˜o z = 8− x2 − y.
Soluc¸a˜o
Pois 8− x(t)2 − y(t) = 8− cos2 t− sen t = z(t).
3. Qual a projec¸a˜o de C sobre o plano xy? Qual o sentido desta projec¸a˜o, hora´rio ou
trigonome´trico?
Soluc¸a˜o
A projec¸a˜o de C sobre o plano xy e´ a curva (cos t, sen t), que e´ um c´ırculo centrado
na origem e raio 1, percorrido no sentido trigonome´trico.
4. Oriente S de modo a poder calcular
∫
C
−→
F · ds, usando Stokes. Porque pode aplicar
Stokes? Calcule usando Stokes.
Soluc¸a˜o
Como C ⊂ S, podemos trabalhar com C como bordo de uma porc¸a˜o de S, quando
x2 + y2 ≤ 1, que chamaremos de Σ. Como Σ ⊂ D, o campo −→F e´ C1 em vizinhanc¸a
de Σ e orientando Σ com a normal que tem terceira componente positiva, podemos
aplicar Stokes:∫
C
−→
F · ds =
∫ ∫
Σ
rotF · η ds =
∫ ∫
Σ
(
0, 2z,−2y2 + 2y) · (2x, 1, 1)√
4x2 + 2
ds =
=
∫ ∫
Σ
16− 2x2 − 2y2√
4x2 + 2
ds.
Parametrizando Σ com ϕ(u, v) = (u, v, 8− u2 − v2), u2 + v2 ≤ 1,∫ ∫
Σ
16− 2x2 − 2y2√
4x2 + 2
ds =
∫ ∫
u2+v2≤1
16− 2u2 − 2v2√
4u2 + 2
‖ ϕu × ϕv ‖ dudv =
=
∫ ∫
u2+v2≤1
16− 2u2 − 2v2√
4u2 + 2
√
4u2 + 2dudv =
∫ ∫
u2+v2≤1
(
16− 2u2 − 2v2) dudv =
=
∫ 2pi
0
∫ 1
0
(
16− 2r2) r drdθ = 15pi.
2