prova_pf_calc3_2013_1_mat

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Prova final de Ca´lculo III - Matema´tica - Monica
12/07/2013
Ao longo da prova na˜o se esquec¸a de orientar a curva ou a superf´ıcie, sempre que
necessa´rio.
1a Questa˜o: (2,5 pontos)
Seja S a superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida girando a curva σ(v) =
(
v, 0,
1
v
)
, 1 ≤ v ≤ 2, em
torno do eixo z.
1. Deˆ uma parametrizac¸a˜o de S.
2. Calcule o fluxo do campo F (x, y, z) = (x, y, z) atrave´s de S, na direc¸a˜o da normal −→η
exterior a S.
2a Questa˜o: (2,5 pontos)
Seja F (x, y, z) = (x, x+y, 1) e S uma superf´ıcie orientada de modo que sua fronteira seja a
curva C, definida por σ(t) =
(
2 cos t, sen t, 4− cos2 t) , 0 ≤ t ≤ 2pi. Calcule ∫ ∫
S
(rotF · η) dS.
3a Questa˜o: (2,5 pontos)
Calcule a integral de linha
∮
C
[
sen
(
ex
2
+ 5
)
− y
]
dx+
[
cos
(
y7 + 1
)
+ x
]
dy, onde C e´ a
unia˜o das curvas
C1 : x+ y = 6, −3 ≤ x ≤ 2,
C2 : y = x
2, −3 ≤ x ≤ −1, 1 ≤ x ≤ 2
C3 : y = 1, −1 ≤ x ≤ 1.
Indique o sentido do percursso.
4a Questa˜o: (2,5 pontos)
Considere a superf´ıcie S = S1 ∪ S2, onde
S1 : z =
√
x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 2
√
2,
S2 : x
2 + y2 + z2 = 16, 8 ≤ x2 + y2 ≤ 16, z ≥ 0.
Calcule o fluxo de F (x, y, z) = (y2x, z2y + x, x2z − 5) atrave´s de S na direc¸a˜o da normal
exterior a S, usando o teorema de Gauss.
Boa Sorte!!!
A nota e revisa˜o da prova sera´ na segunda feira, dia 15 de julho, no meu gabinete (C-114-B),
a`s 10h15m. A prova de segunda chamada sera´ dia 19 de julho, sexta feira.