Álgebra Linear Algorítmica-Segunda Prova bis-20101

Prévia do material em texto

<p>Segunda Prova bis�2010/1</p><p>1. Seja U o plano de equação x− y + 2z = 0 e ` a reta gerada por (1, 1, 2).</p><p>(a) Determine um operador linear de R3 cujo núcleo é U e cuja imagem é `.</p><p>(b) Prove que um operador que satisfaz as propriedades de (a) não pode ser auto-</p><p>adjunto.</p><p>2. Determine todos os valores possíveis de a, b e c para os quais a matriz</p><p>1 b 0</p><p>0 2 c</p><p>0 0 a</p><p></p><p>corresponda a um operador diagonalizável.</p><p>3. Ache um paralelepípedo que seja levado em um cubo de lado 8 pelo operador linear</p><p>T de R3 de�nido por</p><p>T (x, y, z) = (2x+ y + z, x+ 2y + z, x+ y + 2z).</p><p>4. Seja R uma rotação de eixo ` em R3 e v = (1, 1, 1) um vetor ortogonal a `. Sabendo-</p><p>se que Rv = (1,−1, 1), determine:</p><p>(a) o cosseno do ângulo de rotação de R;</p><p>(b) o eixo da rotação R;</p><p>(c) a matriz de R na base canônica.</p><p>Resolução</p><p>Page 12</p><p>Prova Final�2010/1</p><p>1. Seja P o operador de R2 que descreve a projeção ortogonal sobre uma reta `.</p><p>Determine a matriz de T na base canônica sabendo que P (1, 1) = (10, 15).</p><p>2. Considere os subespaços do R4</p><p>U = {(x, y, z, w) | y + z + w = 0}</p><p>W = 〈(1,−, 1, 0, 0), (2,−2, 2, 1), (5,−5, 2, 1)〉</p><p>(a) Ache a base e a dimensão de U +W .</p><p>(b) Ache a base e a dimensão de U ∩W .</p><p>(c) Ache um subespaço complementar de U em R4.</p><p>3. Seja T o operador linear de R3 de�nido por T (x, y, z) = (3x+ y, x+ 3y, 2z).</p><p>(a) Determine os autovalores e os autovetores de T .</p><p>(b) Determine uma base ortonormal B formada por autovetores de T .</p><p>(c) Determine a matriz Q de mudança de base de B para a base canônica. Q é</p><p>uma rotação?</p><p>4. Considere a matriz</p><p>A =</p><p></p><p>a</p><p>√</p><p>2 0</p><p>b c 0</p><p>0 0 1</p><p> .</p><p>(a) Determine todos os valores de a, b e c para os quais A descreve uma re�exão.</p><p>(b) Determine a equação do plano de re�exão (o espelho).</p><p>Page 13</p><p>Primeira Prova�2010/2</p><p>1. Seja T : R2 → R2 a transformação linear que consiste de uma rotação anti-horária</p><p>de π/3 radianos seguida de uma re�exão que tem a reta y = 2x como espelho.</p><p>(a) Determine a matriz de T .</p><p>(b) Explique porque T é uma isometria.</p><p>(c) T é uma rotação ou uma re�exão?</p><p>2. Determine a matriz de uma transformação linear S : R2 → R2 que leve o paralelo-</p><p>gramo de vértices</p><p>(0, 0), (2, 0), (2, 1), (4, 1)</p><p>no quadrado de vértices</p><p>(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1).</p><p>3. Calcule o valor de c em função de a e b de modo que o sistema</p><p>x+ 8y − 2z = a</p><p>5x+ 4y − 2z = b</p><p>7x− 16y + 2z = c</p><p>admita (a) uma única solução, (b) nenhuma solução ou (c) mais de uma solução.</p><p>4. Considere o sistema linear AX = b, em que</p><p>A =</p><p></p><p>1 2 4 1</p><p>1 0 2 −1</p><p>4 2 10 −2</p><p>5 2 12 −3</p><p></p><p>, X =</p><p></p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>w</p><p></p><p>e b =</p><p></p><p>7</p><p>3</p><p>16</p><p>19</p><p></p><p>(a) Determine geradores para o conjunto solução do sistema linear homogêneo</p><p>AX = 0.</p><p>(b) Determine uma expressão geral para todas as soluções de AX = b.</p><p>Page 14</p><p>1. A matriz da rotação é</p><p>R =</p><p>cos(π/3) − sen(π/3)</p><p>sen(π/3) cos(π/3)</p><p> =</p><p> 1/2 −</p><p>√</p><p>3/2</p><p>√</p><p>3/2 1/2</p><p> .</p><p>A re�exão se dá relativamente ao espelho y = 2x, que tem vetor diretor (1, 2). Logo, o</p><p>vetor unitário perpendicular a y = 2x é ut = (2,−1)/</p><p>√</p><p>5, de modo que a re�exão terá</p><p>matriz</p><p>F = I − 2uut =</p><p>1</p><p>5</p><p>−3 4</p><p>4 3</p><p> .</p><p>Logo a matriz A de T é igual a</p><p>A = FR =</p><p>1</p><p>10</p><p>4</p><p>√</p><p>3− 3 3</p><p>√</p><p>3 + 4</p><p>3</p><p>√</p><p>3 + 4 −4</p><p>√</p><p>3 + 3</p><p> .</p><p>Esta é uma isometria porque uma rotação e uma re�exão são isometrias e a composta de</p><p>quaisquer duas isometrias também é uma isometria. Além do mais, como o determinante</p><p>desta matriz é igual a −1, então T tem que ser uma re�exão.</p><p>2. É mais fácil determinar a matriz da transformação S−1 que leva o quadrado no</p><p>paralelogramo, pois</p><p>S−1(1, 0) = (2, 0) e S−1(0, 1) = (2, 1);</p><p>que nos dá a matriz</p><p>A =</p><p>2 2</p><p>0 1</p><p> .</p><p>Para achar S basta calcular a inversa desta matriz; mas se2 2</p><p>0 1</p><p></p><p>a b</p><p>c d</p><p> =</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p> ,</p><p>então obtemos o sistema</p><p>2a+ 2c = 1</p><p>2b+ 2d = 0</p><p>c = 0</p><p>d = 1</p><p>Page 15</p><p>que nos dá a = 1/2 b = −1, c = 0 e d = 1; donde</p><p>A−1 =</p><p>1/2 −1</p><p>0 1</p><p> ,</p><p>que é a matriz de S.</p><p>3. A matriz aumentada do sistema é</p><p>1 8 −2 a</p><p>5 4 −2 b</p><p>7 −16 2 c</p><p> .</p><p>Aplicando eliminação gaussiana a esta matriz obtemos</p><p>1 8 −2 a</p><p>0 −36 8 b− 5a</p><p>0 0 0 3a− 2b+ c</p><p> .</p><p>Para começar, o sistema nunca tem uma única solução (determinado). Ele tem mais de</p><p>uma solução (indeterminado) quando c = −3a + 2b e nenhuma solução (impossível) em</p><p>qualquer outro caso.</p><p>4. A matrix aumentada do sistema AX = b é</p><p>A =</p><p></p><p>1 2 4 1 7</p><p>1 0 2 −1 3</p><p>4 2 10 −2 16</p><p>5 2 12 −3 19</p><p></p><p>,</p><p>cuja forma escada é </p><p>1 2 4 1 7</p><p>0 1 1 1 2</p><p>0 0 0 0 0</p><p>0 0 0 0 0</p><p></p><p>Page 16</p><p>que corresponde ao sistema</p><p>x+ 2y + 4z + w = 7</p><p>y + z + w = 2</p><p>que tem como uma de suas soluções [1, 1, 1, 0]t. Por outro lado, o sistema linear homgêneo</p><p>associado corresponde</p><p>x+ 2y + 4z + w = 0</p><p>y + z + w = 0</p><p>de modo que</p><p>y = −z − w e x = −2z + w;</p><p>donde</p><p>[x, y, z, w] = [−2z + w,−z − w, z, w] = z[−2,−1, 1, 0] + w[1,−1, 0, 1].</p><p>Portanto o conjunto solução do sistema homogêneo associado é gerado pelos vetores</p><p>[−2,−1, 1, 0]t e [1,−1, 0, 1]t. Como qualquer solução de um sistema indeterminado é</p><p>igual a uma solução particular somada a uma solução qualquer do sistema homogêneo</p><p>associado, podemos escrever a solução geral de AX = b na forma</p><p>[1, 1, 1, 0]t + z[−2,−1, 1, 0]t + w[1,−1, 0, 1]t</p><p>quaisquer que sejam os valores escolhidos para z e w.</p><p>Page 17</p>