matematica na pratica b vqf

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<p>- C) \( y = \frac{C}{x} \)</p><p>- D) \( y = Ce^{x} \)</p><p>**Resposta**: A) \( y = \frac{1}{C - x} \)</p><p>**Explicação**: A equação é separável. Reescrevemos como \( \frac{dy}{y^2 - y} = dx \).</p><p>Fatorando o denominador, obtemos \( \frac{1}{y(y - 1)} dy = dx \). Integrando ambos os</p><p>lados, obtemos a solução \( y = \frac{1}{C - x} \).</p><p>30. **Questão 30**: Qual é o resultado da integral \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \)?</p><p>- A) 0</p><p>- B) 1</p><p>- C) \( \ln(e) \)</p><p>- D) \( 1 + \ln(1) \)</p><p>**Resposta**: B) 1</p><p>**Explicação**: A integral \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx = [\ln(x)]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 =</p><p>1 \).</p><p>31. **Questão 31**: Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \)?</p><p>- A) 0</p><p>- B) 1</p><p>- C) 3</p><p>- D) Infinito</p><p>**Resposta**: C) 3</p><p>**Explicação**: Usando a regra fundamental do limite \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1</p><p>\), substituímos \( u = 3x \). Assim, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \cdot 1 = 3 \).</p><p>32. **Questão 32**: Qual é a equação da reta tangente à curva \( y = x^3 \) no ponto \( (1,</p><p>1) \)?</p><p>- A) \( y = 3x - 2 \)</p><p>- B) \( y = 2x - 1 \)</p><p>- C) \( y = 3x - 3 \)</p><p>- D) \( y = x^3 \)</p><p>**Resposta**: A) \( y = 3x - 2 \)</p><p>**Explicação**: A derivada de \( y = x^3 \) é \( y' = 3x^2 \). Avaliando em \( x = 1 \), temos</p><p>\( y' = 3(1^2) = 3 \). A equação da reta tangente é dada por \( y - 1 = 3(x - 1) \) ou \( y = 3x - 2</p><p>\).</p><p>33. **Questão 33**: Qual é a equação característica da matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2</p><p>\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)?</p><p>- A) \( \lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0 \)</p><p>- B) \( \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 \)</p><p>- C) \( \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 \)</p><p>- D) \( \lambda^2 + 5\lambda + 2 = 0 \)</p><p>**Resposta**: A) \( \lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0 \)</p><p>**Explicação**: Para encontrar a equação característica, calculamos \( \text{det}(A -</p><p>\lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{vmatrix} = (1 -</p><p>\lambda)(4 - \lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda + 2 \).</p><p>34. **Questão 34**: O que representa a matriz dos coeficientes de um sistema linear?</p><p>- A) A soma dos coeficientes</p><p>- B) A inversa do sistema</p><p>- C) A relação entre as variáveis</p><p>- D) A matriz que contém os coeficientes das variáveis</p><p>**Resposta**: D) A matriz que contém os coeficientes das variáveis</p><p>**Explicação**: A matriz dos coeficientes é uma representação compacta de um</p><p>sistema de equações lineares, onde cada linha representa uma equação e cada coluna</p><p>representa um coeficiente associado a uma variável.</p><p>35. **Questão 35**: Qual é a soma dos ângulos internos de um hexágono?</p><p>- A) 720°</p><p>- B) 360°</p><p>- C) 540°</p><p>- D) 180°</p><p>**Resposta**: A) 720°</p><p>**Explicação**: A soma dos ângulos internos de um polígono é dada pela fórmula \( (n -</p><p>2) \times 180° \), onde \( n \) é o número de lados. Para um hexágono (\( n = 6 \)), temos \(</p><p>(6 - 2) \times 180° = 4 \times 180° = 720° \).</p><p>36. **Questão 36**: Qual é a integral de \( \sin^2(x) \)?</p><p>- A) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \)</p><p>- B) \( \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \)</p><p>- C) \( -\cos(x) + C \)</p><p>- D) \( \sin(x) + C \)</p><p>**Resposta**: A) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \)</p><p>**Explicação**: A integral \( \int \sin^2(x) \, dx \) pode ser resolvida usando a identidade</p><p>\( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \):</p><p>\[</p><p>\int \sin^2(x) \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C.</p><p>\]</p><p>37. **Questão 37**: O que representa o gráfico da função \( y = e^{-x^2} \)?</p><p>- A) Uma função crescente</p><p>- B) Uma função decrescente</p><p>- C) Uma função par</p><p>- D) Uma função ímpar</p><p>**Resposta**: C) Uma função par</p><p>**Explicação**: A função \( y = e^{-x^2} \) é par, pois \( f(-x) = f(x) \). O gráfico dela é</p><p>simétrico em relação ao eixo y.</p><p>38. **Questão 38**: Qual é o valor de \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx \)?</p><p>- A) 1</p><p>- B) \( \frac{\pi}{2} \)</p><p>- C) 0</p><p>- D) \( 2 \)</p><p>**Resposta**: A) 1</p><p>**Explicação**: A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Avaliando de 0 a \( \frac{\pi}{2} \):</p><p>\[</p><p>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx = [-\cos(x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = 0 + 1 = 1.</p><p>\]</p><p>39. **Questão 39**: Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)?</p><p>- A) \( \sec^2(x) \)</p><p>- B) \( \cos^2(x) \)</p><p>- C) \( \sin^2(x) \)</p><p>- D) \( \frac{1}{\cos^2(x)} \)</p><p>**Resposta**: A) \( \sec^2(x) \)</p><p>**Explicação**: A derivada da função tangente é dada pela regra da derivação,</p><p>resultando em \( f'(x) = \sec^2(x) \).</p><p>40. **Questão 40**: Qual é a integral \( \int e^{2x} \, dx \)?</p><p>- A) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \)</p><p>- B) \( e^{2x} + C \)</p><p>- C) \( 2e^{2x} + C \)</p><p>- D) \( \ln(e^{2x}) + C \)</p><p>**Resposta**: A) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \)</p><p>**Explicação**: Integrando \( e^{2x} \) usando a regra básica de integração, temos:</p><p>\[</p><p>\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C.</p><p>\]</p><p>41. **Questão 41**: Qual é a solução da equação \( y' = y \cdot (1 - y) \)?</p><p>- A) \( y = \frac{1}{1 + Ce^{-x}} \)</p><p>- B) \( y = Ce^{-x} + 1 \)</p><p>- C) \( y = Ce^{x} + 1 \)</p><p>- D) \( y = e^{1 - x} \)</p><p>**Resposta**: A) \( y = \frac{1}{1 + Ce^{-x}} \)</p><p>**Explicação**: A equação é separável. Reescrevemos como \( \frac{dy}{y(1 - y)} = dx \).</p><p>Integrando ambos os lados, obtemos a solução na forma \( y = \frac{1}{1 + Ce^{-x}} \).</p><p>42. **Questão 42**: Qual é o valor de \( \int_0^1 x^3 \, dx \)?</p><p>- A) \( \frac{1}{4} \)</p>