exericicos para aprendizado snf

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<p>a) \( 2e^{2x} \)</p><p>b) \( e^{2x} \)</p><p>c) \( 2x e^{2x} \)</p><p>d) \( 2xe^{x} \)</p><p>**Resposta: a) \( 2e^{2x} \)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \( e^{u} \) é \( e^{u} \cdot u' \). Aqui, \( u = 2x \) e \( u' = 2 \).</p><p>Portanto, a derivada é \( e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x} \).</p><p>13. Qual é a integral indefinida \( \int \cos(2x) \, dx \)?</p><p>a) \( \frac{1}{2}\sin(2x) + C \)</p><p>b) \( \sin(2x) + C \)</p><p>c) \( 2\sin(2x) + C \)</p><p>d) \( \frac{1}{2}\cos(2x) + C \)</p><p>**Resposta: a) \( \frac{1}{2}\sin(2x) + C \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra de substituição: \( \int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k}\sin(kx)</p><p>+ C \). Aqui, \( k = 2 \), então a integral é \( \frac{1}{2}\sin(2x) + C \).</p><p>14. Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto \( (4, 2) \).</p><p>a) \( y = \frac{1}{4}x + 1 \)</p><p>b) \( y = \frac{1}{2}x - 2 \)</p><p>c) \( y = \frac{1}{2}x + 0 \)</p><p>d) \( y = \frac{1}{2}x + 1 \)</p><p>**Resposta: d) \( y = \frac{1}{2}x + 1 \)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \( y = \sqrt{x} \) é \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \). No ponto \( (4, 2)</p><p>\), a inclinação é \( \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} \). Usando a fórmula da reta tangente,</p><p>temos \( y - 2 = \frac{1}{4}(x - 4) \), que simplifica para \( y = \frac{1}{2}x + 1 \).</p><p>15. Calcule a integral definida \( \int_0^3 (x^2 - 2x + 1) \, dx \).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 3</p><p>d) 5</p><p>**Resposta: c) 3**</p><p>**Explicação:** Primeiro, calculamos a integral indefinida:</p><p>\( \int (x^2 - 2x + 1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x + C \).</p><p>Avaliando de 0 a 3, temos:</p><p>\( \left[\frac{1}{3}(3^3) - (3^2) + 3\right] - \left[\frac{1}{3}(0^3) - (0^2) + 0\right] = \left[9 - 9</p><p>+ 3\right] - 0 = 3 \).</p><p>16. Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)?</p><p>a) \( \sec^2(x) \)</p><p>b) \( \sin^2(x) \)</p><p>c) \( \cos^2(x) \)</p><p>d) \( \sec(x) \)</p><p>**Resposta: a) \( \sec^2(x) \)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é conhecida e dada por \( \sec^2(x) \).</p><p>17. Determine o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: c) 2**</p><p>**Explicação:** Podemos fatorar o numerador: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). Assim, o limite</p><p>se torna \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \).</p><p>18. Calcule a integral indefinida \( \int x e^{x^2} \, dx \).</p><p>a) \( \frac{1}{2}e^{x^2} + C \)</p><p>b) \( e^{x^2} + C \)</p><p>c) \( e^{x^2} + \frac{1}{2} + C \)</p><p>d) \( \frac{1}{2}e^{x^2} + 1 + C \)</p><p>**Resposta: a) \( \frac{1}{2}e^{x^2} + C \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \) ou \(</p><p>\frac{1}{2} du = x \, dx \). Portanto, a integral se torna \( \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2}</p><p>e^{x^2} + C \).</p><p>19. Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} \)?</p><p>a) \( -\frac{1}{x^2} \)</p><p>b) \( \frac{1}{x^2} \)</p><p>c) \( -x^{-1} \)</p><p>d) \( x^{-2} \)</p><p>**Resposta: a) \( -\frac{1}{x^2} \)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \( x^{-1} \) é dada pela regra da potência: \( -1 \cdot x^{-2}</p><p>= -\frac{1}{x^2} \).</p><p>20. Determine a integral definida \( \int_1^4 (3x^2 - 2) \, dx \).</p><p>a) 15</p><p>b) 10</p><p>c) 12</p><p>d) 5</p><p>**Resposta: a) 15**</p><p>**Explicação:** Primeiro, calculamos a integral indefinida:</p><p>\( \int (3x^2 - 2) \, dx = x^3 - 2x + C \).</p><p>Avaliando de 1 a 4, temos:</p><p>\( [4^3 - 2(4)] - [1^3 - 2(1)] = [64 - 8] - [1 - 2] = 56 + 1 = 57 \).</p><p>21. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{5x + 1} \)?</p><p>a) \( \frac{5}{2\sqrt{5x + 1}} \)</p><p>b) \( \frac{1}{2\sqrt{5x + 1}} \)</p><p>c) \( \frac{5}{\sqrt{5x + 1}} \)</p><p>d) \( \frac{1}{\sqrt{5x + 1}} \)</p><p>**Resposta: a) \( \frac{5}{2\sqrt{5x + 1}} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: a derivada de \( \sqrt{u} \) é \(</p><p>\frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \). Aqui, \( u = 5x + 1 \) e \( u' = 5 \). Assim, a derivada é \(</p><p>\frac{1}{2\sqrt{5x + 1}} \cdot 5 = \frac{5}{2\sqrt{5x + 1}} \).</p><p>22. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \).</p><p>a) 0</p><p>b) 4</p><p>c) 1</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: b) 4**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental que afirma que \( \lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\sin(kx)}{x} = k \). Aqui, \( k = 4 \), portanto, o limite é 4.</p><p>23. Determine a integral indefinida \( \int (3x^2 + 4x + 1) \, dx \).</p><p>a) \( x^3 + 2x^2 + x + C \)</p><p>b) \( x^3 + 2x^2 + 4x + C \)</p><p>c) \( x^3 + 4x^2 + x + C \)</p><p>d) \( x^3 + 4x^2 + 4x + C \)</p><p>**Resposta: a) \( x^3 + 2x^2 + x + C \)**</p><p>**Explicação:** Para calcular a integral, aplicamos a regra de potência:</p><p>\( \int 3x^2 \, dx = x^3 \),</p><p>\( \int 4x \, dx = 2x^2 \), e</p><p>\( \int 1 \, dx = x \). Portanto, a integral total é \( x^3 + 2x^2 + x + C \).</p><p>24. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(3x + 2) \)?</p><p>a) \( \frac{3}{3x + 2} \)</p><p>b) \( \frac{1}{3x + 2} \)</p><p>c) \( \frac{3}{2} \)</p><p>d) \( \frac{2}{3} \)</p><p>**Resposta: a) \( \frac{3}{3x + 2} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot</p><p>u' \). Aqui, \( u = 3x + 2 \) e \( u' = 3 \). Portanto, a derivada é \( \frac{3}{3x + 2} \).</p><p>25. Calcule a integral definida \( \int_0^2 (x^3 - 3x + 2) \, dx \).</p><p>a) 0</p>