51 - EXERCÍCIOS SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS

Prévia do material em texto

<p>Exercícios sobre números complexos</p><p>Os números complexos são números que apresentam a forma ,</p><p>onde a representa a parte real de z e a parte imaginária corresponde a b,</p><p>sendo i a unidade imaginária.</p><p>Questão 1</p><p>Qual o resultado obtido com a realização da soma e da subtração,</p><p>respectivamente, dos números complexos z1 = 3 + i e z2 = 1 + 2i?</p><p>a) 2 + 3i e 1 – i</p><p>b) 3 + 2i e -4 – i</p><p>c) 4 + 3i e 2 – i</p><p>d) 1 + 2i e -3 – i</p><p>Resposta correta: c) 4 + 3i e 2 – i.</p><p>Operação de soma:</p><p>z1 + z2 = (a + c, b + d)</p><p>Na forma algébrica, temos:</p><p>(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i</p><p>Portanto:</p><p>Operação de subtração:</p><p>z1 – z2 = (a – c, b – d)</p><p>Na forma algébrica, temos:</p><p>(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i</p><p>Portanto:</p><p>Sendo assim, a soma e a subtração dos números complexos z1 = 3 + i e z2 = 1</p><p>+ 2i são, respectivamente, 4 + 3i e 2 - i.</p><p>Questão 2</p><p>Qual a forma algébrica de z no caso 3z = z - (- 8 + 6i)?</p><p>a) z = 4 – 2i</p><p>b) z = 4 – 3i</p><p>c) z = 2 – 2i</p><p>d) z = 1 – 2i</p><p>Resposta correta: b) z = 4 – 3i.</p><p>A forma algébrica de z é utilizada para representar um número complexo</p><p>através da fórmula:</p><p>z = x + yi</p><p>Onde:x é a parte real de z</p><p>y é a parte imaginária de z</p><p>Portanto:</p><p>Logo, a forma algébrica de z no caso 3z = z - (-8 + 6i) é z = 4 – 3i.</p><p>Questão 3</p><p>O resultado -5 - 5i é obtido realizando qual das operações abaixo com os</p><p>números complexos z1 = 1 + 3i e z2 = -2 + i? (Lembre-se que i2 = -1).</p><p>a) z1 + z2</p><p>b) z1 –z2</p><p>c) z1z2</p><p>Resposta correta: c) z1z2.</p><p>Para encontrar a resposta correta, vamos realizar as operações apresentadas</p><p>nas alternativas.</p><p>a) z1 + z2</p><p>b) z1 -z2</p><p>c) z1z2</p><p>Sendo assim, o resultado -5 - 5i é obtido pela multiplicado de z1 e z2.</p><p>Questão 4</p><p>O valor de z8, para z = 2 - 2i, é: (Lembre-se que i2 = -1)</p><p>a) 3024</p><p>b) 4096</p><p>c) 5082</p><p>d) 1294</p><p>Resposta correta: b) 4096.</p><p>Podemos representar z8 como (z2)4, pois 2.4 = 8.</p><p>Portanto, vamos começar encontrando o valor de z2.</p><p>Agora, calculamos (z2)4.</p><p>Portanto, se z = 2 - 2i então z8 é igual a 4096.</p><p>Questão 5</p><p>Quais os valores de x que resolvem a equação do 2º grau x2 + 4x + 5?</p><p>(Lembre-se que i2 = -1).</p><p>a) -2 + i e -2 – i</p><p>b) -1 + i e -1 – i</p><p>c) -2 + i e -1 + i</p><p>d) -1 + 2i e -1 + i</p><p>Resposta correta: a) -2 + i e -2 - i.</p><p>Para resolver a equação x2 + 4x + 5 utilizaremos a fórmula de Bhaskara.</p><p>Como a = 1, b = 4 e C = 5, temos:</p><p>Portanto, os valores de x que resolvem a equação do 2º grau x2 + 4x + 5 são -2</p><p>+ i e -2 - i.</p><p>Questão 6</p><p>Quais os valores de x para que o número complexo z = x + (x2 - 1)i seja um</p><p>número real?</p><p>a) x = 1</p><p>b) x = 3</p><p>c) x = 4</p><p>d) x = 2</p><p>Resposta correta: a) x = 1.</p><p>Um número complexo é formado por:</p><p>Portanto, para um número complexo ser real é necessário que a parte</p><p>imaginária seja nula. Sendo assim, para z = x + (x2 - 1)i ser um número real</p><p>x2-1 deve ser igual a 0.</p><p>x2 - 1 = 0⇒ x2 = 1⇒ x = 1</p><p>Questão 7</p><p>Quais os valores de x e y para que a igualdade 2x + (y – 1)i = 8 + 5i seja</p><p>verdadeira?</p><p>a) x = 4 e y = 6</p><p>b) x = 2 e y = 6</p><p>c) x = 4 e y = 7</p><p>d) x = 5 e y = 9</p><p>Resposta correta: a) x = 4 e y = 6.</p><p>Sendo dois números complexos z1= (a, b) e z2 = (c, d), eles são iguais quando</p><p>a = c e b = d. Isso porque eles possuem partes reais e imaginárias idênticas.</p><p>Assim:</p><p>a + bi = c + di quando a = c e b = d</p><p>Então, para 2x + (y – 1)i = 8 + 5i, temos:</p><p>Portanto, os valores de x e y para que a igualdade 2x + (y – 1)i = 8 + 5i seja</p><p>verdadeira devem ser 4 e 6, respectivamente.</p><p>Questão 8</p><p>Qual o resultado da divisão ? (Lembre-se que i2 = -1).</p><p>a) 2 – 4i</p><p>b) 3 – 5i</p><p>c) 5 – 2i</p><p>d) 2 – i</p><p>Resposta correta: b) 3 - 5i.</p><p>Para efetuar a divisão de dois números complexos devemos multiplicar o</p><p>numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.</p><p>O conjugado de um número complexo é indicado por z, definido por z = a – bi.</p><p>Assim, troca-se o sinal de sua parte imaginária.</p><p>Então, se z = a + bi, logo z = a – bi</p><p>Portanto, o resultado da divisão é 3 - 5i, conforme a letra b.</p>