Apostila Calculo1 com Exercicios_pag67

Prévia do material em texto

<p>63</p><p>Podemos assim considerar a função custo unitário de cada lata dado pela função:</p><p>Custo : (0,+∞)→ R, Custo(r) =</p><p>(</p><p>3πr2 +</p><p>2</p><p>r</p><p>)</p><p>× c.</p><p>Calculando a derivada:</p><p>Custo′(r) =</p><p>(</p><p>6πr − 2</p><p>r2</p><p>)</p><p>× c = 0 ⇐⇒ r3 =</p><p>1</p><p>3π</p><p>⇐⇒ r =</p><p>1</p><p>3</p><p>√</p><p>3π</p><p>.</p><p>Além disso,</p><p>Custo′′(r) =</p><p>(</p><p>6πr +</p><p>4</p><p>r3</p><p>)</p><p>× c > 0, ∀r > 0.</p><p>Logo, a função Custo(r) é convexa em seu domínio e consequentemente o ponto</p><p>r0 = 1/</p><p>3</p><p>√</p><p>3π é ponto de mínimo absoluto. Assim, as medidas da lata cilíndrica com</p><p>menor custo de fabricação são</p><p>r0 = r =</p><p>1</p><p>3</p><p>√</p><p>3π</p><p>dm e h0 =</p><p>1</p><p>πr2</p><p>0</p><p>=</p><p>3</p><p>√</p><p>9</p><p>π</p><p>dm.</p><p>8. Imagem da questão:</p>