a logica do universoMMCXII

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<p>\]</p><p>35. **Qual é a soma das raízes da equação \( x^2 - 4x + 3 = 0 \)?**</p><p>A) 3 B) 4 C) 5 D) 6</p><p>**Resposta:** B) 4</p><p>**Explicação:** Pela fórmula de Vieta, a soma das raízes é \( -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4</p><p>\).</p><p>36. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)?**</p><p>A) 0 B) 1 C) 2 D) 3</p><p>**Resposta:** C) 2</p><p>**Explicação:** Podemos fatorar o numerador:</p><p>\[</p><p>\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1, \text{ para } x \neq 1</p><p>\]</p><p>Portanto, \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \).</p><p>37. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (6x^5 - 3x^3 + 2) \, dx \)?**</p><p>A) 1 B) 2 C) 3 D) 4</p><p>**Resposta:** A) 1</p><p>**Explicação:** A primitiva é \( x^6 - \frac{3}{4}x^4 + 2x \). Avaliando nos limites:</p><p>\[</p><p>\left[ x^6 - \frac{3}{4}x^4 + 2x \right]_0^1 = \left( 1 - \frac{3}{4} + 2 \right) - 0 = 1 - \frac{3}{4}</p><p>+ 2 = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}</p><p>\]</p><p>38. **Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)?**</p><p>A) \( \sec^2(x) \) B) \( \cos^2(x) \) C) \( \sin^2(x) \) D) \( \frac{1}{\cos^2(x)} \)</p><p>**Resposta:** A) \( \sec^2(x) \)</p><p>**Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é conhecida:</p><p>\[</p><p>f'(x) = \sec^2(x)</p><p>\]</p><p>39. **Qual é o valor de \( \int (x^3 - 4x + 1) \, dx \)?**</p><p>A) \( \frac{x^4}{4} - 2x^2 + x + C \) B) \( \frac{x^4}{4} - 4x + C \) C) \( \frac{x^4}{4} - 2x + C \)</p><p>D) \( \frac{x^4}{4} - 4x^2 + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{x^4}{4} - 2x^2 + x + C \)</p><p>**Explicação:** A primitiva é:</p><p>\[</p><p>\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}, \quad \int -4x \, dx = -2x^2, \quad \int 1 \, dx = x</p><p>\]</p><p>40. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \)?**</p><p>A) 0 B) 1 C) 2 D) Não existe</p><p>**Resposta:** B) 1</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1</p><p>\).</p><p>41. **Qual é o valor da integral \( \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx \)?**</p><p>A) \( x^3 + x^2 + x + C \) B) \( \frac{3}{3} x^3 + x^2 + x + C \) C) \( 3x^3 + 2x^2 + x + C \) D) \(</p><p>3x^3 + 2x + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( x^3 + x^2 + x + C \)</p><p>**Explicação:** A primitiva é:</p><p>\[</p><p>\int 3x^2 \, dx = x^3, \quad \int 2x \, dx = x^2, \quad \int 1 \, dx = x</p><p>\]</p><p>42. **Qual é a soma dos ângulos internos de um octógono?**</p><p>A) 720° B) 900° C) 1080° D) 1440°</p><p>**Resposta:** C) 1080°</p><p>**Explicação:** A soma dos ângulos internos de um polígono é dada por \( (n-2) \times</p><p>180° \). Para um octógono, \( n = 8 \):</p><p>\[</p><p>(8-2) \times 180° = 6 \times 180° = 1080°</p><p>\]</p><p>43. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (4x^3 + 2) \, dx \)?**</p><p>A) 1 B) 2 C) 3 D) 4</p><p>**Resposta:** B) 2</p><p>**Explicação:** A primitiva é \( x^4 + 2x \). Avaliando nos limites:</p><p>\[</p><p>\left[ x^4 + 2x \right]_0^1 = (1 + 2) - 0 = 3</p><p>\]</p><p>44. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(x)} \)?**</p><p>A) 0 B) 1 C) 2 D) Não existe</p><p>**Resposta:** A) 0</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(x)}</p><p>= 0 \).</p><p>45. **Qual é o valor da derivada de \( f(x) = \ln(x^3) \)?**</p><p>A) \( \frac{3}{x} \) B) \( \frac{1}{x^3} \) C) \( \frac{1}{x} \) D) \( 3x^2 \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{3}{x} \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do logaritmo:</p><p>\[</p><p>f'(x) = \frac{3}{x}</p><p>\]</p><p>46. **Qual é o valor de \( \int_1^2 (5x^2 - 3) \, dx \)?**</p><p>A) 5 B) 6 C) 7 D) 8</p><p>**Resposta:** A) 5</p><p>**Explicação:** A primitiva é \( \frac{5}{3}x^3 - 3x \). Avaliando nos limites:</p><p>\[</p><p>\left[ \frac{5}{3}x^3 - 3x \right]_1^2 = \left( \frac{5}{3}(8) - 6 \right) - \left( \frac{5}{3} - 3</p><p>\right) = \left( \frac{40}{3} - 6 \right) - \left( \frac{5}{3} - 3 \right)</p><p>\]</p><p>47. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{5x^2 - 4} \)?**</p><p>A) 0 B) 1 C) \( \frac{2}{5} \) D) 2</p><p>**Resposta:** C) \( \frac{2}{5} \)</p><p>**Explicação:** Dividimos o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x \):</p><p>\[</p><p>\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{5 - \frac{4}{x^2}} = \frac{2 + 0}{5 - 0} = \frac{2}{5}</p><p>\]</p><p>48. **Qual é o valor da integral \( \int (6x^5 - 2x^3 + 2) \, dx \)?**</p><p>A) \( x^6 - \frac{1}{2} x^4 + 2x + C \) B) \( 6x^6 - 2x^4 + 2 + C \) C) \( 6x^6 - \frac{1}{2} x^4 + 2</p><p>+ C \) D) \( x^6 - \frac{1}{2} x^4 + x + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( x^6 - \frac{1}{2} x^4 + 2x + C \)</p><p>**Explicação:** A primitiva é:</p><p>\[</p><p>\int 6x^5 \, dx = x^6, \quad \int -2x^3 \, dx = -\frac{1}{2}x^4, \quad \int 2 \, dx = 2x</p><p>\]</p><p>49. **Qual é o valor da soma \( \sum_{k=1}^{4} k^2 \)?**</p><p>A) 10 B) 14 C) 30 D) 55</p><p>**Resposta:** B) 30</p><p>**Explicação:** A soma dos quadrados dos primeiros \( n \) números naturais é dada por</p><p>\( \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \). Para \( n = 4 \):</p><p>\[</p><p>\frac{4(4 + 1)(2 \cdot 4 + 1)}{6} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 9}{6} = \frac{180}{6} = 30</p><p>\]</p><p>50. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \)?**</p><p>A) 0 B) 1 C) -1 D) \( -\frac{1}{2} \)</p><p>**Resposta:** D) \( -\frac{1}{2} \)</p><p>**Explicação:** Usamos a expansão de Taylor para \( \cos(x) \):</p>