a logica do universoMMCXXXVI

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<p>\]</p><p>83. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \)?**</p><p>A) 0 B) 1 C) 5 D) 10</p><p>**Resposta:** C) 5</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} =</p><p>k \). Aqui, \( k = 5 \), então o limite é 5.</p><p>84. **Qual é o valor da integral \( \int (3x^2 + 4x + 1) \, dx \)?**</p><p>A) \( x^3 + 2x^2 + x + C \) B) \( x^3 + 4x^2 + x + C \) C) \( 3x^3 + 2x^2 + x + C \) D) \( 3x^3 + 4x</p><p>+ C \)</p><p>**Resposta:** A) \( x^3 + 2x^2 + x + C \)</p><p>**Explicação:** A primitiva é:</p><p>\[</p><p>\int 3x^2 \, dx = x^3, \quad \int 4x \, dx = 2x^2, \quad \int 1 \, dx = x</p><p>\]</p><p>85. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (2x^2 - 4) \, dx \)?**</p><p>A) 1 B) 2 C) 3 D) 4</p><p>**Resposta:** A) 1</p><p>**Explicação:** A primitiva é \( \frac{2}{3}x^3 - 4x \). Avaliando nos limites:</p><p>\[</p><p>\left[ \frac{2}{3}x^3 - 4x \right]_0^1 = \left( \frac{2}{3} - 4 \right) - 0 = -\frac{10}{3}</p><p>\]</p><p>86. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^5 - 1}{x - 1} \)?**</p><p>A) 0 B) 1 C) 2 D) 5</p><p>**Resposta:** C) 5</p><p>**Explicação:** Podemos fatorar o numerador:</p><p>\[</p><p>\frac{(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)}{x - 1} = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, \text{ para } x \neq 1</p><p>\]</p><p>Portanto, \( \lim_{x \to 1} (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 5 \).</p><p>87. **Qual é o valor da soma \( \sum_{k=1}^{7} k^2 \)?**</p><p>A) 28 B) 30 C) 49 D) 55</p><p>**Resposta:** D) 55</p><p>**Explicação:** A soma dos quadrados dos primeiros \( n \) números naturais é dada por</p><p>\( \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \). Para \( n = 7 \):</p><p>\[</p><p>\frac{7(7 + 1)(2 \cdot 7 + 1)}{6} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 15}{6} = 140</p><p>\]</p><p>88. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^3 + 2x) \, dx \)?**</p><p>A) 1 B) 2 C) 3 D) 4</p><p>**Resposta:** B) 2</p><p>**Explicação:** A primitiva é \( \frac{x^4}{4} + x^2 \). Avaliando nos limites:</p><p>\[</p><p>\left[ \frac{x^4}{4} + x^2 \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4} + 1 \right) - 0 = \frac{5}{4}</p><p>\]</p><p>89. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\tan(x)} \)?**</p><p>A) 0 B) 1 C) 2 D) Não existe</p><p>**Resposta:** A) 0</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\tan(x)}</p><p>= 0 \).</p><p>90. **Qual é o valor da derivada de \( f(x) = \sqrt{x} + x^2 \)?**</p><p>A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x \) B) \( \frac{1}{\sqrt{x}} + 2 \) C) \( 2x + \frac{1}{2} \) D) \( 2 +</p><p>\frac{1}{2\sqrt{x}} \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x \)</p><p>**Explicação:** A derivada é dada por:</p><p>\[</p><p>f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x</p><p>\]</p><p>91. **Qual é o valor de \( \int_1^2 (3x^2 + 1) \, dx \)?**</p><p>A) 5 B) 6 C) 7 D) 8</p><p>**Resposta:** A) 5</p><p>**Explicação:** A primitiva é \( x^3 + x \). Avaliando nos limites:</p><p>\[</p><p>\left[ x^3 + x \right]_1^2 = (8 + 2) - (1 + 1) = 10 - 2 = 8</p><p>\]</p><p>92. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2}{4x^2 - 5} \)?**</p><p>A) 0 B) 1 C) \( \frac{3}{4} \) D) 2</p><p>**Resposta:** C) \( \frac{3}{4} \)</p><p>**Explicação:** Dividimos o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x \):</p><p>\[</p><p>\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x^2}}{4 - \frac{5}{x^2}} = \frac{3 + 0}{4 - 0} = \frac{3}{4}</p><p>\]</p><p>93. **Qual é o valor da integral \( \int (5x^3 - 2x + 1) \, dx \)?**</p><p>A) \( \frac{5}{4} x^4 - x^2 + x + C \) B) \( \frac{5}{4} x^4 - x + C \) C) \( \frac{5}{4} x^4 - 2x + C</p><p>\) D) \( 5x^4 - x^2 + x + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{5}{4} x^4 - x^2 + x + C \)</p><p>**Explicação:** A primitiva é:</p><p>\[</p><p>\int 5x^3 \, dx = \frac{5}{4} x^4, \quad \int -2x \, dx = -x^2, \quad \int 1 \, dx = x</p><p>\]</p><p>94. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (2x^2 - 4x + 1) \, dx \)?**</p><p>A) 1 B) 2 C) 3 D) 4</p><p>**Resposta:** A) 1</p><p>**Explicação:** A primitiva é \( \frac{2}{3}x^3 - 2x^2 + x \). Avaliando nos limites:</p><p>\[</p><p>\left[ \frac{2}{3}x^3 - 2x^2 + x \right]_0^1 = \left( \frac{2}{3} - 2 + 1 \right) - 0 = \frac{2}{3} - 2</p><p>+ 1 = -\frac{1}{3}</p><p>\]</p><p>95. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^6 - 1}{x - 1} \)?**</p><p>A) 0 B) 1 C) 2 D) 6</p><p>**Resposta:** D) 6</p><p>**Explicação:** Podemos fatorar o numerador:</p><p>\[</p><p>\frac{(x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)}{x - 1} = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, \text{ para }</p><p>x \neq 1</p><p>\]</p><p>Portanto, \( \lim_{x \to 1} (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 6 \).</p><p>96. **Qual é o valor da soma \( \sum_{k=1}^{8} k^2 \)?**</p><p>A) 30 B) 36 C) 55 D) 80</p><p>**Resposta:** D) 80</p><p>**Explicação:** A soma dos quadrados dos primeiros \( n \) números naturais é dada por</p><p>\( \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \). Para \( n = 8 \):</p><p>\[</p><p>\frac{8(8 + 1)(2 \cdot 8 + 1)}{6} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204</p><p>\]</p><p>97. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (5x^3 + 2) \, dx \)?**</p><p>A) 1 B) 2 C) 3 D) 4</p><p>**Resposta:** B) 2</p><p>**Explicação:** A primitiva é \( \frac{5}{4}x^4 + 2x \). Avaliando nos limites:</p><p>\[</p><p>\left[ \frac{5}{4}x^4 + 2x \right]_0^1 = \left( \frac{5}{4} + 2 \right) - 0 = \frac{5}{4} + 2 =</p><p>\frac{13}{4}</p><p>\]</p>