P3-2302_2015

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<p>ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO</p><p>Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica</p><p>PEF 2302 – Mecânica das Estruturas I – Prova 3 (01/12/2015)</p><p>Questão 1 (5,0)</p><p>A Figura 1(a) ilustra uma barragem de seção transversal retangular, de altura L e largura 2c. A</p><p>estrutura apresenta comprimento (direção z) muito maior do que a altura e a largura. É dado o</p><p>campo de tensões no plano xy da seção transversal representada na Figura 1(a). Esse campo é</p><p>idêntico para todas as seções transversais presentes ao longo do eixo z, e essas seções não se</p><p>deslocam na direção z. O material apresenta comportamento elástico linear, com módulo de</p><p>elasticidade E e coeficiente de Poisson 𝜈. O valor de q é constante.</p><p>(a) (b)</p><p>Figura 1 – (a) Seção transversal de uma barragem (b) Faces de interesse</p><p>𝜎𝑥𝑥 =</p><p>𝑞𝑥3𝑦</p><p>4𝑐3</p><p>+</p><p>𝑞</p><p>4𝑐3</p><p>(−2𝑥𝑦3 +</p><p>6</p><p>5</p><p>𝑐2𝑥𝑦)</p><p>𝜎𝑦𝑦 = −</p><p>𝑞𝑥</p><p>2</p><p>+ 𝑞𝑥 (</p><p>𝑦3</p><p>4𝑐3</p><p>−</p><p>3𝑦</p><p>4𝑐</p><p>)</p><p>𝜎𝑥𝑦 =</p><p>3𝑞𝑥2</p><p>8𝑐3</p><p>(𝑐2 − 𝑦2) −</p><p>𝑞</p><p>8𝑐3</p><p>(𝑐4 − 𝑦4) +</p><p>3𝑞</p><p>20𝑐</p><p>(𝑐2 − 𝑦2)</p><p>Pede-se:</p><p>a) Qual a abordagem bidimensional simplificada da Teoria de Elasticidade 3D mais plausível</p><p>para a modelagem desse problema? Justifique.</p><p>b) Com base na hipótese assumida no item anterior, determinar 𝜎𝑧𝑧, 𝜎𝑥𝑧 e 𝜎𝑦𝑧 em função dos</p><p>parâmetros dados (q, c, x, y).</p><p>c) Calcular as três componentes do carregamento de volume fx</p><p>B, fy</p><p>B e fz</p><p>B em equilíbrio com o</p><p>campo de tensões fornecido. Justificar todas as conclusões.</p><p>d) A Figura 1(b) ilustra três faces de interesse no contorno da barragem. Determinar os vetores</p><p>de carregamentos distribuídos 𝐟s (por unidade de comprimento) nas superfícies 1 (y = c) e</p><p>2 (y = -c) e representá-los graficamente. Se o vetor for nulo, indicar claramente em sua</p><p>representação gráfica. Interpretar a constante q no contexto de um carregamento de pressão</p><p>hidrostática.</p><p>e) Determinar o campo de carregamentos distribuídos 𝐟s na superfície 3. Esse carregamento</p><p>é nulo? Qual o valor de sua resultante (por unidade de comprimento)?</p><p>f) Determinar o tensor das tensões, as tensões principais e as direções principais de tensão no</p><p>ponto (x,y) = (L,c).</p><p>1 2</p><p>3</p><p>ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO</p><p>Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica</p><p>PEF 2302 – Mecânica das Estruturas I – Prova 3 (01/12/2015)</p><p>Questão 2 (5,0)</p><p>A Figura 2 ilustra uma chapa muito fina, composta de material com comportamento elástico linear</p><p>de propriedades E = 210GPa (módulo de elasticidade) e ν = 0.3 (coeficiente de Poisson). As</p><p>vinculações na chapa estão atuantes conforme a Figura 2. Atuam como carregamentos: um campo</p><p>gravitacional de intensidade −fv𝐣 e um carregamento distribuído na superfície superior da chapa,</p><p>de intensidade qy, também ilustrado na Figura 2.</p><p>Figura 2 – Geometria e carregamentos atuantes para o exercício 2</p><p>Deseja-se utilizar a malha de elementos finitos de estado plano de tensão ilustrada na Figura 3 para</p><p>solução aproximada desse problema. Nesse modelo, é considerada uma espessura unitária da chapa.</p><p>São considerados 4 elementos retangulares, e 8 graus de liberdade globais, com a numeração já</p><p>atribuída na Figura 3.</p><p>Figura 3 – Malha para o exercício 2</p><p>Considere os seguintes valores numéricos para os carregamentos distribuídos no volume e</p><p>superfície:</p><p>fv = 250.000 kN/m</p><p>3</p><p>qy = 200.000 kN/m2</p><p>X</p><p>Y</p><p>qy</p><p>fv</p><p>X</p><p>Y</p><p>1 2 3</p><p>4</p><p>3 m 3 m 3 m</p><p>1 m</p><p>1 m</p><p>12</p><p>34</p><p>56</p><p>78</p><p>ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO</p><p>Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica</p><p>PEF 2302 – Mecânica das Estruturas I – Prova 3 (01/12/2015)</p><p>Pede-se:</p><p>a) Dada a matriz de rigidez de cada elemento no sistema local (ver formulário), calcular os</p><p>seguintes valores da matriz de rigidez global: k11</p><p>𝐺 , k12</p><p>𝐺 e k48</p><p>𝐺 .</p><p>b) Calcular o vetor de carregamentos nodais equivalentes nos graus de liberdade 1-8 do</p><p>sistema.</p><p>c) Determinou-se o deslocamento da estrutura para os carregamentos dados, obtendo-se os</p><p>valores da tabela abaixo:</p><p>U1 -3.997E-04</p><p>U2 3.997E-04</p><p>U3 1.225E-03</p><p>U4 -1.225E-03</p><p>U5 -5.996E-03</p><p>U6 -5.996E-03</p><p>U7 -4.351E-03</p><p>U8 -4.351E-03</p><p>Para o elemento (1), determinar as funções que descrevem os deslocamento u(x,y) e v(x,y).</p><p>d) Determinar as deformações ϵxx e ϵyy no centro do elemento (1).</p><p>e) Determinar as tensões σxx e σyy no centro do elemento (1).</p><p>f) Determinar a tensão normal no centro do elemento (3), para um plano de corte cuja normal</p><p>é -i.</p><p>ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO</p><p>Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica</p><p>PEF 2302 – Mecânica das Estruturas I – Prova 3 (01/12/2015)</p><p>Estado Plano de Tensão:</p><p>{𝜎} = {</p><p>𝜎𝑥𝑥</p><p>𝜎𝑦𝑦</p><p>𝜎𝑥𝑦</p><p>} {𝜀} = {</p><p>𝜀𝑥𝑥</p><p>𝜀𝑦𝑦</p><p>𝛾𝑥𝑦</p><p>} =</p><p>{</p><p>𝜕𝑢</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝜕𝑣</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝜕𝑢</p><p>𝜕𝑦</p><p>+</p><p>𝜕𝑣</p><p>𝜕𝑥}</p><p>{𝜎} = [𝐶]{𝜀} [𝐶] =</p><p>𝐸</p><p>1− 𝜈2</p><p>[</p><p>1 𝜈 0</p><p>𝜈 1 0</p><p>0 0</p><p>1−𝜈</p><p>2</p><p>]</p><p>Estado Plano de Deformação:</p><p>{𝜎} = {</p><p>𝜎𝑥𝑥</p><p>𝜎𝑦𝑦</p><p>𝜎𝑥𝑦</p><p>} {𝜀} = {</p><p>𝜀𝑥𝑥</p><p>𝜀𝑦𝑦</p><p>𝛾𝑥𝑦</p><p>} =</p><p>{</p><p>𝜕𝑢</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝜕𝑣</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝜕𝑢</p><p>𝜕𝑦</p><p>+</p><p>𝜕𝑣</p><p>𝜕𝑥}</p><p>{𝜎} = [𝐶]{𝜀} [𝐶] =</p><p>𝐸(1−𝜈)</p><p>(1+𝜈)(1−2𝜈)</p><p>[</p><p>1</p><p>𝜈</p><p>1−𝜈</p><p>0</p><p>𝜈</p><p>1−𝜈</p><p>1 0</p><p>0 0</p><p>1−2𝜈</p><p>2(1−𝜈)]</p><p>ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO</p><p>Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica</p><p>PEF 2302 – Mecânica das Estruturas I – Prova 3 (01/12/2015)</p><p>Elemento finito de estado plano de 4 nós (sistema de coordenadas local):</p><p>ℎ1(𝑥, 𝑦) =</p><p>1</p><p>4</p><p>(1 +</p><p>2𝑥</p><p>𝑎</p><p>) (1 +</p><p>2𝑦</p><p>𝑏</p><p>)</p><p>ℎ2(𝑥, 𝑦) =</p><p>1</p><p>4</p><p>(1 −</p><p>2𝑥</p><p>𝑎</p><p>) (1 +</p><p>2𝑦</p><p>𝑏</p><p>)</p><p>ℎ3(𝑥, 𝑦) =</p><p>1</p><p>4</p><p>(1 −</p><p>2𝑥</p><p>𝑎</p><p>) (1 −</p><p>2𝑦</p><p>𝑏</p><p>)</p><p>ℎ4(𝑥, 𝑦) =</p><p>1</p><p>4</p><p>(1 +</p><p>2𝑥</p><p>𝑎</p><p>) (1 −</p><p>2𝑦</p><p>𝑏</p><p>)</p><p>31 2 4</p><p>31 2 4</p><p>1 2 1 2 1 2 1 2</p><p>1 1 1 1</p><p>2 2 2 2</p><p>1 2 1 2 1 2 1 2</p><p>1 1 1 1</p><p>2 2 2 2</p><p>hh h hy y y y</p><p>x a b x a b x a b x a b</p><p>hh h hx x x x</p><p>y b a y b a y b a y b a</p><p>         </p><p>                </p><p>          </p><p>         </p><p>                </p><p>          </p><p>Matriz de rigidez – numeração local seguindo a ordem: u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4:</p><p>1 2 3 4 5 6 7 8</p><p>1 1.06E+11 3.75E+10 1.47E+10 -2.88E+09 -5.32E+10 -3.75E+10 -6.79E+10 2.88E+09</p><p>2 3.75E+10 2.40E+11 2.88E+09 1.06E+11 -3.75E+10 -1.20E+11 -2.88E+09 -2.26E+11</p><p>3 1.47E+10 2.88E+09 1.06E+11 -3.75E+10 -6.79E+10 -2.88E+09 -5.32E+10 3.75E+10</p><p>4 -2.88E+09 1.06E+11 -3.75E+10 2.40E+11 2.88E+09 -2.26E+11 3.75E+10 -1.20E+11</p><p>5 -5.32E+10 -3.75E+10 -6.79E+10 2.88E+09 1.06E+11 3.75E+10 1.47E+10 -2.88E+09</p><p>6 -3.75E+10 -1.20E+11 -2.88E+09 -2.26E+11 3.75E+10 2.40E+11 2.88E+09 1.06E+11</p><p>7 -6.79E+10 -2.88E+09 -5.32E+10 3.75E+10 1.47E+10 2.88E+09 1.06E+11 -3.75E+10</p><p>8 2.88E+09 -2.26E+11 3.75E+10 -1.20E+11 -2.88E+09 1.06E+11 -3.75E+10 2.40E+11</p>