a hora de fazer DGT

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<p>61. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(5x) \)?</p><p>A) \( \frac{1}{x} \)</p><p>B) \( \frac{5}{x} \)</p><p>C) \( \frac{1}{5x} \)</p><p>D) \( \frac{5}{5x} \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{1}{x} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot</p><p>u' \), onde \( u = 5x \) e \( u' = 5 \).</p><p>62. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 3</p><p>D) Indeterminado</p><p>**Resposta: C) 3**</p><p>**Explicação:** Usamos a propriedade do limite fundamental \( \lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\tan(kx)}{x} = k \). Aqui, \( k = 3 \).</p><p>63. Determine a integral de \( f(x) = 7x^4 \).</p><p>A) \( x^5 + C \)</p><p>B) \( \frac{7}{5}x^5 + C \)</p><p>C) \( \frac{7}{4}x^5 + C \)</p><p>D) \( \frac{7}{6}x^5 + C \)</p><p>**Resposta: B) \( \frac{7}{5}x^5 + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral de \( 7x^4 \) é \( \frac{7}{5}x^5 + C \).</p><p>64. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \)?</p><p>A) \( 2xe^{x^2} \)</p><p>B) \( e^{x^2} \)</p><p>C) \( x^2 e^{x} \)</p><p>D) \( 2e^{x^2} \)</p><p>**Resposta: A) \( 2xe^{x^2} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( e^{u} \) é \( e^{u} \cdot u' \),</p><p>onde \( u = x^2 \) e \( u' = 2x \).</p><p>65. Qual é o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^5 - 1}{x - 1} \)?</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 5</p><p>D) 10</p><p>**Resposta: C) 5**</p><p>**Explicação:** O numerador pode ser fatorado como \( (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) \),</p><p>então o limite se torna \( \lim_{x \to 1} (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 5 \).</p><p>66. Determine a integral de \( f(x) = 4x^2 - 3x + 2 \).</p><p>A) \( \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \)</p><p>B) \( \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + 1 + C \)</p><p>C) \( 4x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \)</p><p>D) \( \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2 + C \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \)**</p><p>**Explicação:** Integrando cada termo, temos \( \int 4x^2 dx = \frac{4}{3}x^3 \), \( \int -3x</p><p>dx = -\frac{3}{2}x^2 \), e \( \int 2 dx = 2x \).</p><p>67. Qual é a derivada de \( f(x) = \sin(5x) \)?</p><p>A) \( 5\cos(5x) \)</p><p>B) \( \cos(5x) \)</p><p>C) \( 5\sin(5x) \)</p><p>D) \( -5\sin(5x) \)</p><p>**Resposta: A) \( 5\cos(5x) \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \sin(u) \) é \( \cos(u) \cdot u'</p><p>\), onde \( u = 5x \) e \( u' = 5 \).</p><p>68. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(2x)} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) Indeterminado</p><p>**Resposta: B) 1**</p><p>**Explicação:** Usamos a série de Taylor para \( \sin(2x) \): \( \sin(2x) \approx 2x -</p><p>\frac{(2x)^3}{6} + O(x^5) \). Assim, \( \frac{x^2}{2x} \to 1 \).</p><p>69. Determine a integral de \( f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 1 \).</p><p>A) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x + C \)</p><p>B) \( \frac{3}{5}x^5 - x^3 + x + C \)</p><p>C) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3 + x + C \)</p><p>D) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 1 + C \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x + C \)**</p><p>**Explicação:** Integrando cada termo, temos \( \int 3x^4 dx = \frac{3}{5}x^5 \), \( \int -</p><p>2x^2 dx = -\frac{2}{3}x^3 \), e \( \int 1 dx = x \).</p><p>70. Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2} \)?</p><p>A) \( -\frac{2}{x^3} \)</p><p>B) \( -\frac{1}{2x^3} \)</p><p>C) \( \frac{1}{2x^3} \)</p><p>D) \( \frac{2}{x^3} \)</p><p>**Resposta: A) \( -\frac{2}{x^3} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do poder: \( f(x) = x^{-2} \) resulta em \( f'(x) = -2x^{-3} = -</p><p>\frac{2}{x^3} \).</p><p>71. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - 1}{x^2} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) \( -\frac{9}{2} \)</p><p>D) Indeterminado</p><p>**Resposta: C) \( -\frac{9}{2} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a série de Taylor para \( \cos(3x) \): \( \cos(3x) \approx 1 -</p><p>\frac{(3x)^2}{2} + O(x^4) \). Assim, \( \frac{\cos(3x) - 1}{x^2} \approx -\frac{9}{2} \).</p><p>72. Determine a integral de \( f(x) = 2\sin(x) \).</p><p>A) \( -2\cos(x) + C \)</p><p>B) \( 2\cos(x) + C \)</p><p>C) \( -\sin(x) + C \)</p><p>D) \( \sin(x) + C \)</p><p>**Resposta: A) \( -2\cos(x) + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) + C \). Portanto, a integral de \(</p><p>2\sin(x) \) é \( -2\cos(x) + C \).</p><p>73. Qual é a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x) \)?</p><p>A) \( 2x \ln(x) + x \)</p><p>B) \( 2x \ln(x) + x^2 \)</p><p>C) \( 2x \ln(x) + 2x \)</p><p>D) \( 2x \ln(x) - x \)</p><p>**Resposta: A) \( 2x \ln(x) + x \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = u'v + uv' \), onde \( u = x^2 \) e \( v =</p><p>\ln(x) \).</p><p>74. Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + x}{\sin(x)} \)?</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) Indeterminado</p><p>**Resposta: C) 2**</p><p>**Explicação:** Usamos \( \sin(x) \approx x \) para \( x \to 0 \). Assim, \( \frac{x^2 +</p><p>x}{\sin(x)} \approx \frac{x^2 + x}{x} = x + 1 \to 1 \).</p><p>75. Determine a integral de \( f(x) = 6x^3 - 4x + 1 \).</p><p>A) \( \frac{6}{4}x^4 - 2x^2 + x + C \)</p>