Calcule o limite \lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - 1}{x^2}. A) 0 B) 1 C) -\frac{9}{2} D) Indeterminado

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - 1}{x^2}\), podemos usar a expansão em série de Taylor para \(\cos(3x)\) em torno de \(x = 0\): \[ \cos(3x) \approx 1 - \frac{(3x)^2}{2} + O(x^4) = 1 - \frac{9x^2}{2} + O(x^4) \] Substituindo isso na expressão do limite, temos: \[ \cos(3x) - 1 \approx -\frac{9x^2}{2} \] Assim, a expressão se torna: \[ \frac{\cos(3x) - 1}{x^2} \approx \frac{-\frac{9x^2}{2}}{x^2} = -\frac{9}{2} \] Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - 1}{x^2} = -\frac{9}{2} \] A alternativa correta é: C) -\frac{9}{2}.