Slides AULA 17 - Produto interno e ortogonalidade

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<p>AULA Nº 17</p><p>Geometria Analítica e Álgebra Linear</p><p>Prof. Pedro L. Fagundes</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>Def. Seja um espaço vetorial real. Um produto interno para é uma função , que a cada par de vetores associa um número real tal que, para todo , temos:</p><p>1)</p><p>2)</p><p>3)</p><p>4)</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>Exemplos:</p><p>1) e (produto de números reais)</p><p>2) e (produto escalar de vetores)</p><p>3) podemos definir um produto interno em imitando o produto escalar de , ou seja,</p><p>4) ,</p><p>Vamos fazer um exemplo para ver como funciona este produto interno.</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>,</p><p>,</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>5) , temos dois produtos internos que são mais utilizados para os polinômios.</p><p>a) Escolha números reais distintos onde , defina.</p><p>.</p><p>b) Escolha reais e defina .</p><p>6) , tome .</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>Def. Sejam um espaço vetorial com produto interno e definimos a norma do vetor como sendo o número real positivo .</p><p>Exemplo: a) Calcule a norma da matriz .</p><p>Logo .</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>b) Escolhidos os pontos , calcule a norma de .</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>c) Sejam um espaço com produto interno, com , determine e .</p><p>Logo e</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>Propriedades. Sejam um espaço vetorial com produto interno, .</p><p>1)</p><p>2) (Desigualdade Triangular)</p><p>3) (Desigualdade de Cauchy Schwarz)</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>Def. Seja um espaço vetorial com produto interno, dados , dizemos que eles são ortogonais se, e só se, . Notação: .</p><p>Ex: 1) Verifique se as funções são ortogonais em .</p><p>Logo .</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>2) Determine tal que e , onde q.</p><p>Suponha</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>Calculando a 1ª linha menos a 2ª obtemos , logo , substituindo na 2ª linha, , logo . Assim , o que podemos escrever</p><p>é uma base para o subespaço destes polinômios.</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>Prop. Seja um espaço vetorial com produto interno, dados , é ortogonal a se, e só se, vale a relação de Pitágoras.</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>Exemplo: As matrizes , são ortogonais, mostre que elas satisfazem a relação de Pitágoras.</p><p>, logo</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>Def. Seja um espaço vetorial com produto interno, uma base é ortogonal se os vetores de forem dois a dois ortogonais.</p><p>Uma base é ortonormal se for ortogonal e todos os seus vetores tiverem norma .</p><p>é ortonormal ⇔</p><p>Produto Interno e Ortogonalidade</p><p>Exemplo: As bases canônicas de e de são bases ortonormais com relação aos produtos internos canônicos destes espaços.</p><p>Teorema de Gram-Schmidt: Seja um espaço vetorial com produto interno e uma base de , então existe uma base ortonormal de , tal que:</p><p>1) é LD</p><p>2) é gerador do mesmo subespaço gerado por para todo</p><p>image1.png</p><p>image2.png</p><p>image3.png</p><p>image4.png</p><p>image5.png</p><p>image6.png</p><p>image7.png</p><p>image70.png</p><p>image8.png</p><p>image9.png</p><p>image10.png</p><p>image11.png</p><p>image90.png</p><p>image12.png</p><p>image110.png</p><p>image120.png</p><p>image13.png</p><p>image14.png</p><p>image15.png</p><p>image16.png</p>