Vamos resolver passo a passo. Dado o espaço vetorial \( V = \mathbb{R}^2 \) com produto interno definido por: \[ u \cdot v = x_1 x_2 + 2 y_1 y_2 \] onde \( u = (x_1, y_1) \) e \( v = (x_2, y_2) \). Temos: \[ u = (1, 0), \quad v = (1, 1) \] 1. Calcular \( u \cdot v \): \[ u \cdot v = (1)(1) + 2 \times (0)(1) = 1 + 0 = 1 \] 2. Calcular \( \|u\| \) (norma de \( u \)): \[ \|u\| = \sqrt{u \cdot u} = \sqrt{1^2 + 2 \times 0^2} = \sqrt{1} = 1 \] 3. Calcular \( \|v\| \) (norma de \( v \)): \[ \|v\| = \sqrt{v \cdot v} = \sqrt{1^2 + 2 \times 1^2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3} \] 4. Calcular o cosseno do ângulo \( \theta \) entre \( u \) e \( v \): \[ \cos \theta = \frac{u \cdot v}{\|u\| \|v\|} = \frac{1}{1 \times \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] 5. Calcular o ângulo \( \theta \): \[ \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 54,74^\circ \quad (\text{aproximadamente}) \] Resposta: O ângulo formado pelos vetores \( u \) e \( v \) segundo o produto interno dado é aproximadamente 54,74°.