154_PDFsam_2APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Prévia do material em texto

ÁLGEBRA LINEAR
Marcelo Maximiliano Danesi
Espaços vetoriais: 
produtos internos gerais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Explicar a importância de produto interno e norma para um espaço 
vetorial.
 � Usar o produto interno em espaços vetoriais arbitrários.
 � Reconhecer o conceito de ortogonalidade.
Introdução
Neste capítulo, você definirá o conceito de produto interno e norma para 
um espaço vetorial qualquer, com exemplos no espaço vetorial das n-uplas 
reais, das matrizes e das funções contínuas; verá como a ortogonalidade 
fica definida de acordo com o produto interno do espaço vetorial e alguns 
exemplos de conjuntos ortogonais no espaço das funções.
O conceito de produto interno generaliza, para um espaço vetorial 
qualquer, a noção de medida de vetores, ângulos, distâncias e ortogona-
lidade definida pelo produto escalar no ℝn. Inclusive, essa generalização 
permite que, no ℝn, seja definida uma medida diferente da proposta 
pelo produto escalar, criando uma geometria diferente entre os vetores.
Produto interno e norma
Um produto interno num espaço vetorial E é uma função ⟨,⟩: E × E → ℝ que 
associa, a cada par de vetores u, v ∈ E, um número real ⟨u, v⟩ chamado de 
produto interno de u por v, de modo que, dados u, v, w ∈ E e α ∈ ℝ, sejam 
válidas as propriedades:
1. ⟨u, v⟩ ≥ 0 e ⟨u, u⟩ = 0 somente se u = 0 (positividade);
2. ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩ (comutatividade);
3. ⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩ + ⟨u, w⟩ (distributividade em relação à soma vetorial);
4. ⟨u, α ⋅ v⟩ = α ⋅ ⟨u, v⟩ (associatividade).
Todo produto interno define o número real não negativo , dito 
norma ou comprimento de u com respeito a ⟨,⟩.
O produto interno permite a extensão de noções de ângulo, ortogonalidade, 
comprimento e distância a espaços vetoriais que não necessariamente o ℝn. 
Assim, a geometria do espaço vetorial é definida pela associação do espaço 
com um produto interno, a qual chamamos de espaço vetorial com produto 
interno.
No ℝn, o produto interno canônico é o produto escalar, e a norma canônica corresponde 
ao módulo do vetor (||u
→|| = √u→ · u→ = |u→|). Contudo, o produto interno canônico não é 
o único no ℝn nem a única forma de medir comprimentos.
Em ℝ2, um produto interno (não canônico) é dado por:
⟨ , ⟩D: ℝ2 × ℝ2 → ℝ
⟨(u1, u2), (v1, v2)⟩D = 3u1v1 + 5u2v2
Mostramos, a seguir, que essa função, de fato, satisfaz as propriedades necessárias, 
pois, dados u→ = (u1, u2), v
→ = (v1, v2), w
→ = (w1, w2) ∈ ℝ2 e α ∈ ℝ:
1. ⟨u→, u→⟩D = ⟨(u1, u2), (u1, u2)⟩D = 3u1u1 + 5u2u2 = 3u1
2 + 5u2
2 ≥ 0 . Vale a igualdade se, e 
somente se, u1 = u2 = 0, isto é, se u→ = (0, 0).
2. ⟨u→, v→⟩D = ⟨(u1, u2), (v1, v2)⟩D = 3u1v1 + 5u2v2 = 3v1u1 + 5v2v2 = ⟨(v1, v2), (u1, u2)⟩D = ⟨v→, u→⟩D;
3. ⟨u→, v→ + w→⟩D = ⟨(u1, u2), (v1, v2) + (w1, w2)⟩D = ⟨(u1, u2), (v1 + w1, v2 + w2)⟩D =
 3u1(v1 + w1) + 5u2(v2 + w2) = 3u1v1 + 5u2v2 + 3u1w1 + 5u2w2 = ⟨u→, v→⟩D + ⟨u→, w→ ⟩D ;
Espaços vetoriais: produtos internos gerais2