Slides 15 - Transformações lineares e matrizes (parte 2)

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<p>AULA Nº 15</p><p>Geometria Analítica e Álgebra Linear</p><p>Prof. Pedro L. Fagundes</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Ex: Seja dada por . Encontre a matriz de em relação às bases canônicas.</p><p>Sejam e as bases canônicas de respectivamente.</p><p>Vamos calcular nos vetores da base .</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Usando a matriz obtida no exemplo anterior calcule a derivada do polinômio</p><p>Sejam e . Vimos que</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>logo</p><p>.</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Def. Seja um espaço vetorial, o operador linear dado por será chamado operador identidade de .</p><p>Se é uma base de , então a matriz de com relação a base é a matiz identidade de ordem , ou seja,</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Seja uma outra base de , então a matriz do operador com relação às bases tem a seguinte propriedade:</p><p>Como a expressão acima se transforma em:</p><p>Assim a matriz relaciona as coordenadas do vetor na base com suas coordenadas na base</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Ex: Sejam e bases de . Determine a matriz do operador identidade em relação às bases Se quais são suas coordenadas na base ?</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>,</p><p>Vamos verificar:</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>,</p><p>Vamos verificar:</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>,</p><p>Vamos verificar:</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Sejam um operador linear de um espaço vetorial e uma base qualquer de .</p><p>é invertível se, e só se, a matriz for invertível, neste caso, é um operador linear e vale:</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Exemplo: Seja o operador linear dado por , é invertível?</p><p>,</p><p>Logo não é invertível.</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Exemplo: Seja o operador linear dado por . Determine a matriz de em relação a base canônica de</p><p>, , Logo é invertível.</p><p>.</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Calcule , onde é o operador do exemplo anterior.</p><p>, , assim temos:</p><p>,</p><p>logo .</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Calcule , onde é o operador do exemplo anterior.</p><p>, , assim temos:</p><p>,</p><p>logo .</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Calcule , onde é o operador do exemplo anterior.</p><p>, , assim temos:</p><p>,</p><p>logo .</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Calcule , onde é o operador do exemplo anterior.</p><p>, , assim temos:</p><p>,</p><p>logo .</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Sejam operadores lineares de um espaço vetorial e uma base qualquer de , então:</p><p>Dado , é linear e .</p><p>ii) é linear e .</p><p>iii) é linear e .</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Ex. Sejam operadores lineares definidos por .</p><p>Determine a matriz do operador em relação à base canônica de .</p><p>, , logo</p><p>, , logo</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Logo</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Ex. Sejam operadores lineares tais que e .</p><p>Determine a matriz do operador em relação à base canônica de .</p><p>Assim</p><p>Logo,</p><p>image15.png</p><p>image16.png</p><p>image17.png</p><p>image18.png</p><p>image1.png</p><p>image2.png</p><p>image3.png</p><p>image4.png</p><p>image5.png</p><p>image6.png</p><p>image7.png</p><p>image8.png</p><p>image9.png</p><p>image10.png</p><p>image11.png</p><p>image12.png</p><p>image13.png</p><p>image14.png</p><p>image150.png</p><p>image19.png</p><p>image20.png</p><p>image180.png</p>