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D) \( \sqrt{\beta/\pi} \) 
 **Resposta**: C 
 **Explicação**: Para normalizar a função de onda, devemos ter \( \int_{-\infty}^{\infty} 
|\psi(x)|^2 dx = 1 \). Calculando: 
 \[ 
 \int_{-\infty}^{\infty} |A|^2 e^{-2\beta x^2} dx = |A|^2 \sqrt{\frac{\pi}{2\beta}} = 1 
\Rightarrow |A|^2 = \sqrt{2\beta/\pi} 
 \] 
 
12. **Questão 12**: Um elétron é acelerado de repouso por uma diferença de potencial 
de \( 500 \, \text{V} \). Qual é a sua velocidade ao final do processo? 
 **Alternativas**: 
 A) \( 1.0 \times 10^6 \, \text{m/s} \) 
 B) \( 1.5 \times 10^6 \, \text{m/s} \) 
 C) \( 2.0 \times 10^6 \, \text{m/s} \) 
 D) \( 2.5 \times 10^6 \, \text{m/s} \) 
 **Resposta**: A 
 **Explicação**: A energia cinética adquirida pelo elétron é \( KE = eV \), onde \( e = 1.6 
\times 10^{-19} \, \text{C} \). Assim, 
 \[ 
 KE = (1.6 \times 10^{-19})(500) = 8.0 \times 10^{-17} \, \text{J} 
 \] 
 A energia cinética também é dada por \( KE = \frac{1}{2} mv^2 \). Igualando e resolvendo 
para \( v \): 
 \[ 
 8.0 \times 10^{-17} = \frac{1}{2} (9.11 \times 10^{-31}) v^2 \Rightarrow v \approx 1.0 
\times 10^6 \, \text{m/s} 
 \] 
 
13. **Questão 13**: Calcule a energia de um fóton que possui um comprimento de onda 
de \( 400 \, \text{nm} \). 
 **Alternativas**: 
 A) \( 4.97 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 B) \( 3.1 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 C) \( 6.63 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 D) \( 2.5 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 **Resposta**: A 
 **Explicação**: A energia de um fóton é dada por \( E = \frac{hc}{\lambda} \), onde \( h = 
6.626 \times 10^{-34} \, \text{J s} \) e \( c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \). Portanto, 
 \[ 
 E = \frac{(6.626 \times 10^{-34})(3 \times 10^8)}{400 \times 10^{-9}} \approx 4.97 \times 
10^{-19} \, \text{J} 
 \] 
 
14. **Questão 14**: Um sistema quântico tem um estado excitado com energia \( 5 \, 
\text{eV} \). Calcule a frequência da radiação emitida quando o sistema retorna ao estado 
fundamental. 
 **Alternativas**: 
 A) \( 1.2 \times 10^{15} \, \text{Hz} \) 
 B) \( 2.5 \times 10^{14} \, \text{Hz} \) 
 C) \( 3.2 \times 10^{14} \, \text{Hz} \) 
 D) \( 5.0 \times 10^{14} \, \text{Hz} \) 
 **Resposta**: A 
 **Explicação**: A energia da radiação emitida é igual à diferença de energia entre os 
estados. Convertendo \( 5 \, \text{eV} \) para Joules: 
 \[ 
 E = 5 \times 1.6 \times 10^{-19} = 8.0 \times 10^{-19} \, \text{J} 
 \] 
 A frequência é dada por \( E = h \nu \Rightarrow \nu = \frac{E}{h} \approx \frac{8.0 \times 
10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} \approx 1.2 \times 10^{15} \, \text{Hz} 
 \] 
 
15. **Questão 15**: Um átomo de hidrogênio está no estado \( n = 3 \). Calcule a energia 
total do átomo. 
 **Alternativas**: 
 A) \( -1.51 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 B) \( -4.54 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 C) \( -2.00 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 D) \( -2.18 \times 10^{-18} \, \text{J} \) 
 **Resposta**: B 
 **Explicação**: A energia do nível \( n \) do hidrogênio é dada por \( E_n = -\frac{13.6 \, 
\text{eV}}{n^2} \). Para \( n=3 \): 
 \[ 
 E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \, \text{eV} \Rightarrow -1.51 \times 
1.6 \times 10^{-19} \approx -2.42 \times 10^{-19} \, \text{J} 
 \] 
 
16. **Questão 16**: Um elétron está em uma caixa unidimensional de comprimento \( L = 
2 \, \text{nm} \). Calcule a energia do primeiro estado excitado. 
 **Alternativas**: 
 A) \( 1.02 \times 10^{-18} \, \text{J} \) 
 B) \( 2.04 \times 10^{-18} \, \text{J} \) 
 C) \( 3.06 \times 10^{-18} \, \text{J} \) 
 D) \( 4.08 \times 10^{-18} \, \text{J} \) 
 **Resposta**: B 
 **Explicação**: A energia dos níveis em uma caixa unidimensional é dada por \( E_n = 
\frac{n^2 h^2}{8mL^2} \). Para o primeiro estado excitado (\( n=2 \)): 
 \[ 
 E_2 = \frac{(2^2)(6.626 \times 10^{-34})^2}{8(9.11 \times 10^{-31})(2 \times 10^{-9})^2} 
\approx 2.04 \times 10^{-18} \, \text{J} 
 \] 
 
17. **Questão 17**: Calcule a energia de um fóton com frequência \( 2 \times 10^{15} \, 
\text{Hz} \). 
 **Alternativas**: 
 A) \( 1.32 \times 10^{-18} \, \text{J} \) 
 B) \( 2.0 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 C) \( 6.626 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 D) \( 5.0 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 **Resposta**: A 
 **Explicação**: A energia de um fóton é dada por \( E = h \nu \). Portanto,