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Resumo de Álgera Linear I unidade 1 Thiago Carreiro I. Sistemas Lineares: A ideia nessa unidade é aprender a resolver sistemas de equações lineares de um jeito diferente daquele aprendido no ensino médio. Esse novo método, chamado de Escalonamento, geralmente é mais rápido além de possibilitar estudar as possíveis soluções. Nesse método, fazemos uso de duas matrizes que montamos a partir do sistema dado, a chamada matriz dos coeficientes e a matriz ampliada. 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑟1 𝑏1𝑥1 + 𝑏2𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑛𝑥𝑛 = 𝑟2 ⋮ 𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑟𝑛 ≡ Essa é a forma usual de se representar um sistema. 𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛 𝑏1 𝑏2 ⋯ 𝑏𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑚1 𝑚2 ⋯ 𝑚𝑛 . 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑛 = 𝑟1 𝑟2 ⋮ 𝑟𝑛 ≡ Essa é a forma matricial de se representar um sistema, onde a primeira matriz corresponde aos coeficientes das equações (daí o nome Matriz dos Coeficientes), a segunda é a matriz das incógnitas e a última é a matriz dos resultados. A Matriz Ampliada é a Matriz dos Coeficientes adicionada da coluna dos resultados no fim. 𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛 𝑏1 𝑏2 ⋯ 𝑏𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑚1 𝑚2 ⋯ 𝑚𝑛 ≡ Matriz dos Coeficientes; 𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛 𝑟1 𝑏1 𝑏2 ⋯ 𝑏𝑛 𝑟2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑚1 𝑚2 ⋯ 𝑚𝑛 𝑟𝑛 ≡ Matriz Ampliada. Ex.: Dado o sistema abaixo, monte a Matriz dos Coeficientes e a Matriz Ampliada: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 9 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 Mas: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 9 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 1. 𝑥 + 1. 𝑦 + 1. 𝑧 = 9 1. 𝑥 + 1. 𝑦 + (−1). 𝑧 = 1 1. 𝑥 + (−1). 𝑦 + 1. 𝑧 = 3 A Matriz dos Coeficientes fica: 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 Enquanto a Matriz Ampliada fica: 1 1 1 9 1 1 −1 1 1 −1 1 3 Resumo de Álgera Linear I unidade 2 Thiago Carreiro I.a. Escalonamento: O método do escalonamento consiste em fazer operações elementares entre as linhas (que correspondem a uma equação cada) de modo a tentar reduzir a matriz à Forma Escada. As três operações elementares são: a) Multiplicar uma linha por um escalar; b) Somar (subtrair) uma linha pela outra; c) Substituir (trocar de lugar) duas linhas. Para a matriz ser considerada na forma escada ela deve obedecer 4 condições: 1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula deve ser 1; 2) A coluna que contém o primeiro elemento não nulo de uma linha, tem os demais iguais a zero; 3) Toda linha nula ocorre abaixo das linhas não nulas; 4) Todo elemento não nulo está em uma coluna maior em relação ao elemento não nulo da anterior. Ex.: 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 , 1 2 0 8 0 0 1 4 0 0 0 0 , 1 0 2 10 0 1 0 3 0 0 0 0 Estão reduzidas à forma escada. 1 0 2 10 0 1 0 3 0 0 1 4 , 1 1 0 5 0 0 0 0 0 0 1 4 , 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 2 8 , 1 0 0 2 0 0 1 4 0 1 0 3 Não estão reduzidas à forma escada pois desrespeitam as condições 2, 3, 1 e 4 respectivamente. Ex.: Reduzir a Matriz Ampliada do exemplo anterior à forma escada: 1 1 1 9 1 1 −1 1 1 −1 1 3 𝑎𝑑𝑖 çã𝑜/𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎 çã𝑜 𝐿2 𝐿2 − 𝐿1 𝐿3 𝐿3 − 𝐿1 1 1 1 9 0 0 −2 −8 0 −2 0 −6 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝐿2 − 1 2 . 𝐿2 𝐿3 − 1 2 . 𝐿3 1 1 1 9 0 0 1 4 0 1 0 3 𝑎𝑑𝑖 çã𝑜/𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎 çã𝑜 𝐿1 𝐿1 − 𝐿2 − 𝐿3 1 0 0 2 0 0 1 4 0 1 0 3 𝑇𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖 çã𝑜 𝐿3 ↔ 𝐿2 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 Obs.: Dizemos que uma matriz é linha equivalente a outra quando é obtida a partir da segunda através de um número finito de operações elementares. Ex.: A matriz 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 é linha equivalente da matriz 1 1 1 9 1 1 −1 1 1 −1 1 3 . Resumo de Álgera Linear I unidade 3 Thiago Carreiro I.b. Matriz: POSTO: O posto de uma matriz é, por definição, o número de linhas não nulas que a matriz linha equivalente reduzida à forma escada possui. Nominando, temos: 𝑃𝐶 ≡ Posto da Matriz dos Coeficientes; 𝑃𝐴 ≡ Posto da Matriz Ampliada; 𝐶 ≡ Número de Colunas da matriz; 𝑛 ≡ Número de incógnitas do sistema (número de colunas da Matriz dos Coeficientes). NULIDADE: A nulidade de uma matriz X (N) é a diferença entre o número de colunas e o posto dessa matriz. 𝑁(𝑋) = 𝐶(𝑋) − 𝑃(𝑋). I.c. Tipos de soluções de um sistema: O sistema pode ser classificado de 3 formas: I. Sistema Incompatível: Quando 𝑃𝐶 < 𝑃𝐴. Nesse caso não há solução para o sistema; II. Sistema Compatível Determinado: Quando 𝑃𝐶 = 𝑃𝐴 = 𝑛. Nesse caso, o sistema possui uma única solução, onde podemos determinar através do escalonamento; III. Sistema Compatível Indeterminado: Quando 𝑃𝐶 = 𝑃𝐴 < 𝑛. Nesse caso, o sistema possui infinitas soluções, onde podemos dar o conjunto solução parametrizando alguma(s) das incógnitas. Obs.: Nesse caso falamos de Grau de liberdade do Sistema que é a diferença do número de incógnitas pelo posto das matrizes (corresponde ao número de incógnitas que temos que parametrizar): 𝑮𝒓 𝑿 = 𝒏 − 𝑷𝒄 . Ex.: Dê o conjunto solução (quando possível) dos sistemas abaixo: (Feito com passo-a-passo) I. 𝑥 + 𝑦 = 3 𝑥 + 𝑦 = 5 a) Primeira coisa a fazer é montar a Matriz Ampliada: 1 1 3 1 1 5 b) Segunda coisa é achar a matriz linha equivalente reduzida à forma escada: 1 1 3 1 1 5 𝐿2 𝐿2 − 𝐿1 1 1 3 0 0 2 Resumo de Álgera Linear I unidade 4 Thiago Carreiro c) Analisar os postos das matrizes e o número de incógnitas do sistema: 𝑃𝐶 = 1; 𝑃𝐴 = 2; 𝑛 = 2. 𝑃𝐶 < 𝑃𝐴 Sistema Incompatível. II. 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 14 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −5 a) Primeira coisa a fazer é montar a Matriz Ampliada: 1 2 1 14 1 −1 1 5 2 −1 −1 −5 b) Segunda coisa é achar a matriz linha equivalente reduzida à forma escada: 1 2 1 14 1 −1 1 5 2 −1 −1 −5 𝐿1 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 4 0 1 14 1 −1 1 5 2 −1 −1 −5 𝐿3 𝐿3 − 𝐿2 4 0 1 14 1 −1 1 5 1 0 −2 −10 𝐿1 2. 𝐿1 + 𝐿2 9 0 0 18 1 −1 1 5 1 0 −2 −10 𝐿1 1 9 . 𝐿1 𝐿3 −𝐿3 + 𝐿1 𝐿2 −𝐿2 1 0 0 2 −1 1 −1 −5 0 0 2 12 𝐿2 𝐿2 + 𝐿1 + 1 2 . 𝐿3 𝐿3 1 2 . 𝐿3 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 6 c) Analisar os postos das matrizes e o número de incógnitas do sistema: 𝑃𝐶 = 3; 𝑃𝐴 = 3; 𝑛 = 3. 𝑃𝐶 = 𝑃𝐴 = 𝑛 Sistema Compatível Determinado. Solução 𝑥 = 2 𝑦 = 3 𝑧 = 6 . III. 2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 12 𝑥 + 3𝑧 = 9 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 a) Primeira coisa a fazer é montar a Matriz Ampliada: 2 −1 4 12 1 0 3 9 1 −1 1 3 Resumo de Álgera Linear I unidade 5 Thiago Carreiro b) Segunda coisa é achar a matriz linha equivalente reduzida à forma escada: 2 −1 4 12 1 0 3 9 1 −1 1 3 𝐿1 𝐿1 − 𝐿3 𝐿2 𝐿2 − 𝐿3 1 0 3 9 0 1 2 6 1 −1 1 3 𝐿3 𝐿3 − 𝐿1 + 𝐿2 1 0 3 9 0 1 2 6 0 0 0 0 c) Analisar os postos das matrizes e o número de incógnitas do sistema: 𝑃𝐶 = 2; 𝑃𝐴 = 2; 𝑛 = 3. 𝑃𝐶 = 𝑃𝐴 < 𝑛 Sistema Compatível Indeterminado. d) Parametrizara(s) incógnita(s) em comum nas linhas: A incógnita z aparece nas duas linhas, então fazemos: 𝑧 = 𝜆; 1. 𝑥 + 3. 𝑧 = 9 𝑥 = 9 − 3. 𝑧 𝑥 = 9 − 3. 𝜆; 1. 𝑦 + 2. 𝑧 = 6 𝑦 = 6 − 2. 𝑧 𝑦 = 6 − 2. 𝜆. 𝑥 = 9 − 3. 𝜆 𝑦 = 6 − 2. 𝜆 𝑧 = 𝜆 O Grau de Liberdade é 𝐺𝑟 = 𝑛 − 𝑃𝐴 = 3 − 2 = 1 (número de parâmetros).
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