Aula 11 - Espaços Vetoriais

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Aula 11 - Espaços Vetoriais 
 
 
Definição 1: Um Espaço Vetorial Real é um conjunto não vazio (cujos elementos são chamados de 
vetores), munido de duas operações, a adição de vetores e a multiplicação por escalar 
 
 ( ) 
 e 
 
 ( ) 
 
que satisfazem as seguintes propriedades: 
i) Associatividade da adição: ( ) ( ) 
ii) Existência de elemento neutro da adição: 
iii) Existência de inverso aditivo: ( ) 
iv) Comutatividade da adição: 
v) Associatividade da multiplicação por escalar: ( ) ( ) 
vi) Existência de elemento neutro da multiplicação por escalar: 
vii) Distributividade da multiplicação em relação a adição: ( ) 
viii) Distributividade da adição em relação a multiplicação: ( ) 
 
 
Observação 1: a) Devido a propriedade iii), podemos definir a subtração de vetores: ( ). 
b) Na propriedade v) as multiplicações são feitas em conjuntos diferentes. 
c) Na propriedades vii), cada sinal de + representa a adição em conjuntos diferentes. 
 d) Para explicitar as operações, diz-se que a terna ( ) é um espaço vetorial. 
 
Exercício 1: Mostre que o conjunto com a soma e multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial. 
 
 
Exercício 2: Mostre que com as operações usuais é um espaço vetorial. 
 
 
Proposição 1: Seja um espaço vetorial real. Valem as seguintes propriedades: 
i) Se é o elemento neutro da adição em , então , para todo . 
ii) Para todo , tem-se , onde e . 
iii) Se e são tais que , então ou . 
iv) Para todo e para todo , tem-se ( ) ( ) . 
 
 
Exercício 3: Mostre que ( ) com as operações usuais é um espaço vetorial real. 
 
 
Exercício 4: Mostre que o conjunto dos números complexos com a adição usual de números complexos e a 
multiplicação por escalar definida por ( ) , é um espaço vetorial 
real. 
 
 
Exercício 5: Mostre que o conjunto dos polinômios de grau menor igual a , 
 
 
 
 , 
com as operações usuais, é um espaço vetorial real. 
 
 
Exercício 6: Considere o conjunto , com as operações 
 
 ( ) 
 e
 
 ( ) 
( ) é um espaço vetorial? Se não é, quais propriedades não são satisfeitas? 
 
 
Exercício 7: Seja um conjunto não vazio e considere o conjunto de todas as funções definidas em que 
assumem valores reais, isto é, o conjunto ( ) . Mostre que ( ), com as operações: 
 ( ) ( ) ( )
 ( ) 
 e 
 ( ) ( )
 ( ) 
 
onde ( )( ) ( ) ( ) e ( )( ) ( ), é um espaço vetorial real. 
 
 
Exercício 8: Em cada um dos casos abaixo, ( ) com as operações assim definidas é um espaço vetorial 
real? Se não é, quais propriedades são violadas? 
a) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ). 
b) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) 
c) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) 
d) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) 
e) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) 
 
 
Exercício 9: Sejam e dois espaços vetoriais. Considere o conjunto ( ) . 
Para quaisquer ( ) ( ̃ ̃) e qualquer escalar , sejam ( ) ( ̃ ̃) e ( ) definidos 
como 
( ) ( ̃ ̃) ( ̃ ̃) e ( ) ( ) 
Mostre que com as operações assim definidas é um espaço vetorial.