Exercícios de Álgebra Linear

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matema´tica - CCEN - A´rea II
6a Lista de exerc´ıcios A´lgebra Linear
Prof. Cla´udio Tadeu Cristino
1. Para a matriz a seguir, encontre o posto, o polinoˆmio caracter´ıstico, o polinoˆmio
minimal, os autovalores e tantos autovetores quanto poss´ıvel. Se poss´ıvel, encontrar
P tal que P−1AP e´ diagonal.
A =
 4 −1 1−1 4 −1
1 −1 4

2. Seja T : R4 → R4 um operador linear definido por:
T (x, y, z, t) =
(
1
3
y − 1
3
z − 1
3
t,
1
2
x+
1
2
t,
−1
2
x+
1
3
y +
2
3
z +
1
6
t,
1
3
y − 1
3
z +
2
3
t
)
.
(a) Determine a matriz representativa de T em relac¸a˜o a` base canoˆnica de R4.
(b) Esta transformac¸a˜o e´ injetiva? E´ sobrejetiva?
(c) Encontre uma base para o nu´cleo (caso exista) e uma base para a imagem.
(d) Encontre os polinoˆmios caracter´ıstico e minimal de T .
(e) Determine os autovalores e autovetores de T .
(f) O operador T e´ diagonaliza´vel? Se sim, determine uma matriz P tal que
P−1AP e´ diagonal, onde A e´ a matriz encontrada no item A.
3. Deˆ um exemplo de uma matriz 3×3 com entradas reais cujo polinoˆmio caracter´ıstico
tem somente uma raiz real. Que efeito o operador linear representado por tal matriz
produz sobre os vetores de R3?
4. Determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal do subespac¸o gerado
pelo vetor (2, 0,−1) em R3, considerando o seguinte produto interno (definic¸a˜o):
〈v, w〉 = 2x1x2 − 1
5
x2y1 − 1
5
x1y2 + y1y2 − 1
10
y2z1 − 1
10
y1z2 − 3z1z2,
onde v = (x1, y1, z1)
T e w = (x2, y2, z2)
T .
5. Mostre que dois vetores v e w em um espac¸o vetorial com produto interno sa˜o
ortogonais se, e somente se, ‖v + w‖ = ‖v − w‖.
6. Seja V um espac¸o vetorial real com produto interno. Prove que para quaisquer
u, v ∈ V , tem-se ||u| − |v|| ≤ |u− v|.