TRANSFORMAÇÕES LINEARES

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TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Professor: Antônio Fabiano Paiva
Considerando os espaços vetoriais V e W, definimos uma
transformação linear de V em W ( 𝑻: 𝑽 → 𝑾 ), como sendo uma
aplicação que leva cada vetor 𝒗 ∈ 𝑽 a um único vetor 𝒘 ∈ 𝑾.
Denotaremos transformação linear aplicada a um vetor 𝒗 como 𝑻(𝒗).
Importante
Uma transformação linear deverá ser “fechada” para a soma e
também para o produto por escalar.
Sendo dados dois vetores 𝒗𝟏 e 𝒗𝟐 pertencentes ao espaço amostral
V, onde 𝑻: 𝑽 → 𝑾 , teremos:
∗ 𝑻 𝒗𝟏 + 𝑻 𝒗𝟐 = 𝑻 𝒗𝟏 + 𝒗𝟐 ∗ 𝒌. 𝑻 𝒗𝟏 = 𝑻 (𝒌. 𝒗𝟏 )
Definição:
Portanto para verificar se uma determinada aplicação entre dois
espaços vetoriais é uma transformação linear, basta verificarmos
essas duas situações:
Exemplo:
Consideremos os espaço vetoriais V= ℝ𝟐 e W = ℝ𝟑. Vamos apresentar
a aplicação:
𝑻: 𝑽 → 𝑾 , tal que 𝑻 𝒙; 𝒚 = ( −𝒙 ; 𝒙 + 𝒚, 𝟎 ) e verificar que se trata de
uma transformação linear.
Primeira parte: Consideremos dois vetores 𝒗𝟏, 𝒗𝟐 ∈ 𝑽, onde vamos
verificar o fechamento para a soma.
Sabemos que 𝒗𝟏, 𝒗𝟐 ∈ ℝ𝟐 logo poder ser expressos assim:
𝒗𝟏 = ( 𝒙𝟏; 𝒚𝟏 ) e 𝒗𝟐 = ( 𝒙𝟐; 𝒚𝟐 ) , com 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒚𝟏 𝒆 𝒚𝟐 ∈ ℝ e portanto
𝒗𝟏 + 𝒗𝟐 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐; 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 )
Logo:
𝑻 𝒗𝟏 = 𝑻( 𝒙𝟏; 𝒚𝟏 ) = −𝒙𝟏; 𝒙𝟏 + 𝒚𝟏; 𝟎
𝑻 𝒗𝟐 = 𝑻( 𝒙𝟐; 𝒚𝟐 ) = −𝒙𝟐; 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐; 𝟎 e assim 𝑻 𝒗𝟏 + 𝑻 𝒗𝟐 seria:
𝑻 𝒗𝟏 + 𝑻 𝒗𝟐 = −𝒙𝟏; 𝒙𝟏 + 𝒚𝟏; 𝟎 + −𝒙𝟐; 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐; 𝟎
𝑻 𝒗𝟏 + 𝑻 𝒗𝟐 = −𝒙𝟏 − 𝒙𝟐; 𝒙𝟏 + 𝒚𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐; 𝟎 + 𝟎
𝑻 𝒗𝟏 + 𝑻 𝒗𝟐 = −(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐); 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐; 𝟎 = 𝑻 (𝒗𝟏 + 𝒗𝟐)
Resolução:
Segunda parte: Consideremos agora o vetor 𝒗 ∈ ℝ𝟐e um número real k.
𝒗 = 𝒙 ; 𝒚 → 𝒌 ∙ 𝒗 = 𝒌 𝒙; 𝒚 = (𝒌𝒙; 𝒌𝒚 )
portanto 𝑻 𝒗 = 𝑻 𝒙; 𝒚 = −𝒙 ; 𝒙 + 𝒚; 𝟎 e assim 
𝒌 ∙ 𝑻 𝒗 = 𝒌 ∙ 𝑻 𝒙; 𝒚 = 𝒌 ∙ −𝒙; 𝒙 + 𝒚; 𝟎 = −𝒌𝒙; 𝒌𝒙 + 𝒌𝒚; 𝟎 = 𝑻(𝒌𝒗)
E finalmente então verificamos que a aplicação é uma transformação
linear.
Considerando T como uma transformação linear de V em W, sendo V e W
dois espaços vetoriais ( 𝑻: 𝑽 → 𝑾 ), podemos estabelecer as seguintes
propriedades:
 𝑻 𝟎 = 𝟎
 𝑻 −𝒗 = −𝑻 𝒗 , para qualquer 𝒗 ∈ 𝑽.
 𝑻 𝒖 − 𝒗 = 𝑻 𝒖 − 𝑻(𝒗)
PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Considere a seguinte transformação linear: 𝑻: 𝑽 → 𝑾 onde V = ℝ𝟐 e W = P2 e
que T (1;1) = 2 – 3x + x2 e T ( 2;3) = 1 – x2, vamos então determinar T (- 2 ; 1).
Resolução:
Os vetores ( 1; 1 ) e ( 2; 3) são base para ℝ𝟐, logo, todos os outros vetores do
ℝ𝟐 podem ser escritos como uma combinação linear deles, logo:
𝜶 ∙ 𝟏; 𝟏 + 𝜷 ∙ 𝟐; 𝟑 = −𝟐 ; 𝟏 e assim encontraremos 𝜶 = −𝟖 𝒆 𝜷 = 𝟑
Portanto:
−𝟖 ∙ 𝟏; 𝟏 + 𝟑 ∙ 𝟐; 𝟑 = −𝟐 ; 𝟏 ⇒ 𝑻 −𝟐; 𝟏 = 𝑻( −𝟖 ∙ 𝟏; 𝟏 + 𝟑 ∙ 𝟐; 𝟑 )
𝑻 −𝟖. 𝟏; 𝟏 + 𝑻 𝟑 ∙ 𝟐; 𝟑 = −𝟖 ∙ 𝑻 𝟏; 𝟏 + 𝟑 ∙ 𝑻 𝟐; 𝟑
⟹ −𝟖 ∙ 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝟑 ∙ 𝟏 − 𝒙𝟐
Logo:
𝑻 −𝟐; 𝟏 = −𝟏𝟏𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙 − 𝟏𝟑
Exemplo Importante
ATÉ A PRÓXIMA AULA!