Método de Newton Raphson

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Método de
Newton-Raphson
2° TRABALHO DE MÉTODOS ITERATIVOS PARA
REFINAMENTO DE RAÍZES DE EQUAÇÕES
NÃO-LINEARES
Disciplina: Cálculo Numérico
Professor (a): Dr. Rosilei Souza Novak
Alunos: Lara Dornelas de Campos
Marcos Vinicios Sousa Flavis
Curso: Engenharia Civil
História do Método
História do Método
• O Método foi desenvolvido por
Isaac Newton em 1669
• Foi publicado em 1711
• Objetivo: estimar raízes de uma
função
História do Método
• Aprimorado por Joseph Raphson
em 1690
• Para qualquer tipo de função real
Dedução do Método
Dedução do Método
Dada uma função f tal que f(x) = 0 e seja x0 uma aproximação
de x de modo que | x0 − x | seja “pequeno”. O primeiro polinômio
de Taylor para f, expandido em torno de x0, é dado por
f(x) = f (x0) + ( x - x0 ) f ʼ ( x0 ) + 0 f ˮ (δ)
onde δ está entre x e x0.
( 𝑥 − 𝑥 )2
2
Substituindo x = x e junto com f (x) = 0 na equação obtêm-se:
0 = f (x0) + ( x - x0 ) f ʼ ( x0 ) + 0 f ˮ (δ)( 𝑥 − 𝑥 )2
2
Dedução do Método
Se | x0 - x | é “pequeno”, então será “pequeno” em
comparação com os dois primeiros termos no lado direito da
equação:
0 = f (x ˳) + ( x - x ˳ ) f ʼ ( x0 ) + f ˮ (δ)
Deste modo, temos que:
0 f (x ˳) + ( x - x ˳ ) f ʼ ( x0 )
( 𝑥 − 𝑥˳)2
2
𝑥˳ − 𝑥 2
͌
Dedução do Método
Isolando x, a expressão anterior pode ser reescrita como:
x x1 = x˳ - 𝑓 (𝑥˳)
𝑓 ’ (𝑥˳) ͌
Dedução do Método
Assim, obtemos então a fórmula iterativa de Newton -
Raphson:
x1 = x˳ - 𝑓 (𝑥˳)
𝑓 ’ (𝑥˳)
Dedução do Método
1 - Usar o método Newton-Raphson para encontrar uma raiz
negativa do seguinte polinômio cúbico:
𝑥3 − 2𝑥 + 1
Utilizar como ponto de partida o valor x˳ = - 1,5 para encontrar por
aproximações sucessivas o valor da raiz com três casas decimais de
precisão.
Exercício
Seguimos estes passos para aplicar o método Newton-Raphson:
1) Definir a função, neste exemplo, temos:
f (x) = 𝑥3 − 2𝑥 + 1
2) Encontrar a derivada desta função:
f ̓ (x) = 3𝑥2 − 2
3) Escolha o ponto de partida, no nosso exemplo este valor é considerado se
segue:
x˳ = - 1,5
Resolução
Seguimos estes passos para aplicar o método Newton-Raphson:
4) Avalie a função e a sua derivada em x˳:
f (x˳) = 0,625 e f ̓ (x˳) = 4,75
5) Aplicar a fórmula iterativa de Newton-Raphson para encontrar uma
primeira estimativa:
x1 = x˳ - 𝑓 (𝑥˳)
𝑓 ’ (𝑥˳)
x1 = - 1,6316
Resolução
Seguimos estes passos para aplicar o método Newton-Raphson:
6) Repetir os passos 4) e 5) até a estimativa corresponder ao número
desejado de casas decimais:
f (x1) = - 8,0187. 10−2 f ̓ (x1) = 5,9861
x2 = x1 -
𝑓 (𝑥1)
𝑓 ’ (𝑥1)
x2 = - 1,6182
f (x2) = - 8,7589. 10−4 f ̓ (x2) = 5,8556
x3 = x2 -
𝑓 (𝑥2)
𝑓 ’ (𝑥2)
x3 = - 1,618
Resolução
Seguimos estes passos para aplicar o método Newton-Raphson:
7) Neste exemplo, só foi necessário fazer 3 iterações, uma vez que as três 
casas decimais foram repetidas entre a segunda e a terceira iteração.
O valor para a raiz é tomado como o valor da última iteração: 
Solução: x = − 1,618
Solução
Obrigado!
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